ztm16 (Р.М. Игнатищев, П.Н. Громыко, С.Н. Хатетовский - Курс теоретической механики - статика, кинематика, динамика), страница 3
Описание файла
Документ из архива "Р.М. Игнатищев, П.Н. Громыко, С.Н. Хатетовский - Курс теоретической механики - статика, кинематика, динамика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "ztm16"
Текст 3 страницы из документа "ztm16"
Самостоятельно предлагаем получить результат:
к
30.23
30.24
инетическую энергию плоско движущегося тела можно вычислять как сумму двух слагаемых – кинетической энергии поступательного его движения со скоростью центра масс и кинетической энергии во вращательном движении этого тела относительно центромассовой системы отсчёта: 
.
277
30.8. Закон об изменении кинетической энергии
Является основой 32 - 34 разделов данного «Курса», широко используется для получения рабочих формул в специальных инженерно-механических дисциплинах.
Принимаем к рассмотрению произвольную механическую систему; число её частиц - 
. 
- масса, скорость и ускорение 
-той из них; 
и 
- равнодействующие внешних и внутренних, приложенных к ней сил. Развиваемые равнодействующими и мощности: 
. Неподвижная система отсчёта инерциальная.
Записываем основное уравнение динамики для -той частицы:
.
Скалярно умножаем записанное уравнение на 
. Получаем:
а
,
б
и, поэтому:
в
.
(в) - это мысленно представляемых записанными в столбец равенств - второе под первым, третье под вторым и т.д. (с индексами 
и т.д. ).
Почленно складываем левые и правые части равенств (в):
. Итак, получен
з
акон об изменении кинетической энергии через мощности:
-
производная по времени от кинетической энергии для любой механической системы равна сумме мощностей, развиваемых всеми внешними и внутренними силами, действующими на точки этой механической системы.
278
Распространены и две другие записи закона об изменении кинетической энергии.
После умножения математического выражения 30.24 на 
, получаем
з
30.25
акон об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:
- -- элементарное изменение кинетической энергии для любой механической системы равно суммарной элементарной работе всех внешних и внутренних сил, действующих на точки этой механической системы.
Пусть 
и 
- два, отличающиеся на конечную величину, момента времени. Интегрируя выражение 30.25 – 
- получаем
з
30.26
акон об изменении кинетической энергии в конечной (интегральной) форме:
- для любой механической системы изменение кинетической энергии за конечный промежуток времени 
равно суммарной работе за тот же промежуток времени всех внешних и внутренних сил, действующих на эту механическую систему.
Замечания: 1. В отличие от ранее рассмотренных законов динамики, здесь обязателен учёт не только внешних, но и внутренних сил;
2. Если механическая система состоит из абсолютно твёрдых тел и нерастяжимых нитей, а трением в трущихся друг о друга телах пренебрегается (по причине их малости во многих конкретно решаемых задачах), то внутренние силы можно не учитывать.
Системы, в которых суммарные мощности (и работы) внутренних сил равны нулям, называют механическими системами с идеальными связями.
Для механических систем с идеальными связями математические выражения 30.24-26 принимают вид: 
; 
; 
.
Корректное использование закона об изменении кинетической энергии даёт высоконадёжные предсказания, что проверено тремя столетиями – понятие «работа силы» введено в 1615 году французом Саломоном де Ко (1576-1630); величина 
встречается у Х.Гюйгенса (1629-1695), но не имеет названия; 50 лет спустя Лейбниц назвал её живой силой; кинетической энергией (половинкой живой силы), в сочетании с понятием «работа», оперировал Г.Кориолис (1792-1843).
279
30.9. Примеры на применение закона об изменении кинетической энергии
О скорости падения диска с разматыванием нити
ПРИМЕР 30.1.- Скорость падения диска с разматыванием навёрнутой на него нити
Д
ано. – На рис.30.7 изображён сплошной однородный диск с намотанной на него нитью, свободный конец которой прикреплён к потолку. 
- вес диска, 
- радиус. Диск начинает падать из положения 1.
Требуется. - Определить скорость центра 
во втором его положении (определяемом расстоянием 
).
Р Рисунок 30.7
ешение.- Принимаем к рассмотрению диск с прилегающим к его жолобу вертикальным участком нити. 
- сила, действующая на при-
нятую к рассмотрению систему со стороны отброшенной части нити.
Для решения задачи используем закон изменения кинетической энергии в конечном виде - .
Т.к. в начальном положении скорости всех частиц равны нулю, то 
.
Теперь вычислим кинетическую энергию диска во втором его положении.
Диск совершает плоское движение. Следовательно: 
.
Поступательная составляющая кинетической энергии: 
.
Для определения вращательной составляющей кинетической энергии необходимо знать угловую скорость диска (
) в центромассовой системе отсчёта. 
- мгновенный центр скоростей; поэтому 
.
Имеем ввиду, что момент инерции сплошного однородного диска определяется формулой 
.
Итак, 
.
Работа внутренних сил равна нулю. 
.
Итак: 
.
280
