ztm16 (Р.М. Игнатищев, П.Н. Громыко, С.Н. Хатетовский - Курс теоретической механики - статика, кинематика, динамика), страница 2

Рисунок 30.4

30.11

Итак,

п

30.8

олная работа упругой силы (при переведении упругого элемента в недеформированное его состояние) определяется формулой

.

Неполная работа упругой силы (допустимо сокращение: «работа упругой силы») – это работа, совершаемая упругим элементом при переходе из одного своего деформированного состояния в другое. Ясно, что:

р

30.9

абота упругой силы равна площади той части треугольной своей эпюры, которая расположена между координатами, отличающими одно деформированное состояние упругого элемента от другого.

30.2.3. Работа гравитационной силы

Н

К выводу формулы для вычисления работы гравитационной силы

30.12

а рис.30.5: - притягивающий центр (Земля, Солнце и т.д.); - притягиваемая масса; - сила притяжения, определяется по закону Ньютона: . Ось начинается в , - некоторое конечное значение координаты .

П

30.13

олная работа гравитационной силы ( ) – это работа, которую она совершит при перемещении притягиваемой массы из бесконечности в положение, определяемое расстоянием . Выведем формулу для её

Рисунок 30.5

271

вычисления:

.

Итак,

п олная работа гравитационной силы (совершаемая ею при перемещении притягиваемой массы из бесконечности в положение, определяемое расстоянием от притягивающего центра) определяется формулой .

Самостоятельно получите результат:

р абота гравитационной силы, затрачиваемая на перемещение притягиваемой массы из положения в определяется формулой

.

30.3. Формулы для вычислений суммарных мощностей сил, действующих на твёрдые тела

30.3.1. Случай поступательного движения

Мощности, развиваемые отдельными силами:

.

Т.к. тело движется поступательно, то

просто .

Поэтому суммарная мощность:

, т.е.:

с

15

уммарная мощность сил, приложенных к поступательно движущемуся телу, определяется как мощность отдельной силы, равной главному вектору действующих на это тело сил и точка приложения которой перемещается со скоростью тела.

8.3.2. Случай сферического движения

, т.е.:

с уммарная мощность сил, приложенных к сферически движущемуся телу, определяется как мощность отдельной, приложенной к этому телу, пары сил, момент которой равен главному моменту действующих на тело внешних сил.

272

30.3.3. Случай вращательного движения

Вращательное движение – частный случай сферического.

Пусть осью вращения является . Тогда

, т.е.:

с

30.13

уммарная мощность сил, приложенных к вращательно движущемуся телу, определяется как произведение главного момента внешних сил относительно оси вращения на проекцию угловой скорости на ту же ось.

При решении конкретных задач часто приходится иметь дело с постоянными моментами сил и, при этом, определять их работу на конечных перемещениях. Применительно к такому случаю имеем:

(после интегрирования) , т.е.:

с

30.14

уммарная работа сил на конечном повороте тела определяется как произведение главного момента внешних сил относительно оси вращения на произошедшее приращение угловой координаты.

30.3.4. Случай плоского движения

30.16

.

Итак:

с уммарная мощность, развиваемая силами, приложенными к плоско движущемуся телу, определяется суммой двух мощностей:

п

30.15

ервая ( ) вычисляется по формуле поступательного движения тела (в предположении, что точки приложения всех сил имеют одинаковые скорости, равные скорости центра тяжести тела);

вторая составляющая ( ) вычисляется по формуле враща-тельного движения (во вращательном движении тела относительно центромассовой системы отсчёта).

30.4. О независимости работ и мощностей внутренних сил от выбора систем отсчёта

Внутренние силы встречаются лишь двойками (попарно) и являются противоположными. Одна из таких двоек внутренних сил изображена на рис.30.6,

273

г де и - пара взаимодействующих частиц любой,

О независимости работ и мощностей внутренних сил от выбора систем отсчёта

принятой к рассмотрению, механической системы; - сила, с которой точка действует на точку ; - сила, с которой точка действует на точку ; и - радиус-векторы точек в произвольной системе отсчёта ; - вектор, начинающийся в первой точке и заканчивающийся во второй, переменный (в системе ) как по модулю, так и по направлению.

И

Рисунок 30.6

меем ввиду, что в соответствии с законом о равенстве действия и противодействия

.

Суммарная элементарная работа рассматриваемой двойки внутренних сил:

18

.

То же выражение будет получено и при любой другой системе отсчёта (как угодно перемещающейся относительно ).

Очевиден аналогичный результат и для суммарной мощности рассматриваемой спарки внутренних сил. Итак:

У

19

твёрдого тела суммарные работы и мощности внутренних сил равны нулям.

1 . В механических системах, состоящих из перемещающихся друг относительно друга тел, суммарные работы и мощности внутренних сил не равны нулям, но они не зависят от выбора систем отсчёта;

30.17

20

2. В рамках рассмотрения одной и той же механической системы при вычислении работ и мощностей одних внутренних сил можно брать различные системы отсчёта;

3. С целью упрощения вычислений суммарной работы двойки противоположных сил удобно брать систему отсчёта, в которой точка приложения одной из её составляющих оказывалась бы неподвижной.

Практически нет ни одной машины, в которой бы отсутствовали подвижные соединения (зубчатые, вращательные, поступательные пары; подшипники качения, скольжения; и т.д.). В них всегда присутствуют силы трения.

274

При вычислении работ и мощностей, идущих на преодоление сил трения в подвижных соединениях, удобно одно из сопряжённых тел принимать за неподвижное. Тогда эти величины будут определяться лишь через относительные скорости (для мощностей) и относительные перемещения (для работ).

В

а

о многих механических системах содержатся упругие элементы (цилиндрические пружины, пластинчатообразные рессоры и т.п.). Каким бы не было абсолютное движение этих элементов, вычислять мощности и работы внутренних их сил также можно по относительным скоростям и перемещениям.

30.5. Понятие о кинетической энергии. Формулы для её вычисления в случаях поступательно и вращательно движущихся тел

Пусть произвольная механическая система состоит из частиц; - масса, - скорость -той из них. Тогда:

в

30.18

еличину называют кинетической энергией -той частицы, а

-

кинетической энергией рассматриваемой механической системы.

По причине одинаковости скоростей всех точек

к

30.19

инетическая энергия поступательно движущегося тела определяется формулой

, где

- его масса, а - модуль скорости.

Для вращательно движущегося тела:

30.21

, т.е.

к инетическая энергия пврщательно движущегося тела определяется формулой

30.20

, где

- момент инерции тела относительно оси вращения и - его угловая скорость.

275

30.6*. Формула для вычисления кинетической энергии сферически движущегося тела

Пусть - центр сферического движения, а - связанная с телом система координат; причём, её оси являются главными осями инерции тела.

В общей формуле -

-

выразим через угловую скорость и геометрические характеристики тела:

Т.к. , то по способу перестановки индексов имеем:

.

Но , т.е. вектор скалярно перемножается сам на себя. Учитываем, что скалярные произведения ортогональных векторов равны нулю и получаем:

.

При возведениях в квадраты средние члены будут содержать попарные произведения различных координат. При подстановке в формулу (а) они дадут центробежные моменты инерции. Принятые оси главные и, поэтому, все центробежные моменты инерции тела равны нулям. Таким образом, от следует сохранить лишь сумму квадратов:

б

.

После подстановки в формулу (а) выражения (б), получаем:

.

Выражения в круглых скобках приводят к появлению осевых моментов инерции - . Таким образом и получается

ф ормула для вычисления кинетической энергии сферически движущегося тела:

.

30.7*. Формулы для вычисления кинетической энергии свободно и плоско движущихся тел

Пользуясь законом сложения скорость -той частицы представляем суммой двух составляющих –

276

а

, где

- скорость центромассовой системы отсчёта (относительно инерциальной);

- скорость -той частицы относительно центромассовой системы.

б

Из предыдущих двух подразделов видно, что первые две составляющие ( ) выражения (б) при подстановке в общую формулу для вычисления кинетической энергии дадут поступательную и сферическую составляющие полной кинетической энергии -

, , где

- масса тела; - моменты инерции тела относительно его главных центральных осей инерции; - проекции угловой скорости тела в сферическом его движении относительно центромассовой системы отсчёта.

Выясним, что даст третья составляющая выражения (б) при подстановке в общую формулу для вычисления кинетической энергии.-

на основании понятия центра масс =

. Итак,

к

30.22

инетическую энергию свободно движущегося тела можно вычислять как сумму двух слагаемых – кинетической энергии поступательного движения (вычисляемую как для материальной точки, движущейся со скоростью центра масс тела и обладающей его массой) и кинетической энергии тела в его сферическом движении относительно центромассовой системы отсчёта:

.