Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).doc), страница 34

Грассмана, когда благодаря усилиям Гиббса в Америке и Хейвисайда в Англии векторный анализ стал независимой ветвью математики. Эти яростные споры велись между 1890 г. и первой мировой войной и нашли свое окончательное разрешение благодаря теории групп, которая воздала каждому методу должное в соответствующей области применения ').

Вильям Кингдон Клиффорд, который умер в 1879г. на тридцать четвертом году жизни, преподавал в колледже Троицы (Тринити-колледж) в Кембридже и в Университетском колледже в Лондоне. Он был одним из первых англичан, понявших Римана и разделявших его глубокий интерес к происхождению наших пространственных представлений. Клиффорд разрабатывал геометрию движения, и для этих исследований он обобщил кватернионы Гамильтона, построив так называемые бикватернионы (1873—1876 гг.). Это были кватернионы с коэффициентами, взятыми из системы комплексных чисел а+ b, где ² может быть +1, —1 или 0; их можно использовать и для изучения движения в неевклидовых пространствах. Книга Клиффорда «Здравый смысл в точных науках» (Common Sense in the Exact Sciences) и сейчас еще хороша; в ней видно родство его мышления и мышления Феликса Клейна. На это родство указывает и термин «пространства Клиффорда — Клейна», обозначающий некоторые замкнутые евклидовы многообразия в неевклидовой геометрии. Проживи Клиффорд дольше, идеи Римана могли бы оказать влияние на британских математиков на поколение раньше, чем это произошло в действительности.

В течение ряда десятилетий чистая математика в странах английского языка сохраняла явный уклон в формальную алгебру. Это повлияло на творчество Бенджамина Пирса из Гарвардского университета, ученика Натаниела Боудича. Ему принадлежат выдающиеся работы и в небесной механике. В 1872 г. он опубликовал свои «Линейные ассоциативные алгебры» (Linear Associative Algebras), одно из первых систематических исследований по гиперкомплексным числам. Этот формалистский уклон в английской математике, быть может, объясняет появление такого исследования, как «Законы мысли» (The Laws

') Klein F Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrdundert, II —Berlin, 1927.—S. 27—52; Schouten J. A. Grundlagen dcr Vector und Affmoranalysis,— Leipzig, 1914.

of Thought, 1854 г.) Джорджа Буля, работавшего в одном из дублинских колледжей. Здесь было показано, что законы формальной логики, кодифицированные Аристотелем и в течение столетий изучавшиеся в университетах, сами могут быть предметом исчисления. Тут заложены принципы, соответствующие идее Лейбница о «всеобщей характеристике». Эта «алгебра логики»— начало того направления, которое стремилось объединить логику и математику. Книга Готтлоба Фреге «Основы арифметики» (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884г.) дала импульс этому направлению, так как там арифметические понятия выводятся из логики. Высшей точкой этих исследований в двадцатом столетии были «Основы математики» (Principle Mathematica) Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхеда (1910—1913 гг.), которые повлияли на позднейшие работы Гильберта по основам арифметики и по устранению парадоксов бесконечного¹).

22. Работы Кели и Сильвестра по теории инвариантов обратили на себя внимание в Германии, где несколько математиков развили эту теорию в науку, основанную на законченном алгоритме. Здесь главные фигуры — Гессе, Аронгольд, Клебш и Гордан. Гессе, который был профессором в Кенигсберге, позже в Гейдельберге и Мюнхене, показал, как и Плюккер, силу метода сокращенных обозначений в аналитической геометрии. Он предпочитал пользоваться однородными координатами и определителями. Аронгольд, преподававший в Высшей технической школе в Берлине, в 1858г. написал работу, в которой он развивает последовательную символику теории инвариантов с помощью так называемых «идеальных» множителей (что не имеет отношения к идеальным множителям Куммера). Эта символика разрабатывалась в дальнейшем Клебшем (1861г.), в чьих руках «символика Клебша — Аропгольда» стала почти повсеместно принятым методом систематического исследования алгебраических инвариантов. Сейчас мы видим в этой символике, также как и в векторах Гамильтона, внешних произведениях Грассмана и диадах Гиббса, частный случай тензорной aлгебры. Пауль Гордан из Эрлангенского университета обо

') См. в чтой связи: Hilbert D., Aekermann W.— Griuid ziige der theoretischen Logik.— Berlin, 1928; в русском переводе Гильберт Д., Аккерыан В. Основы теоретической логики Вступительная статья и комментарии С. А. Яновской.— М.: ИЛ, 1947.

гатил теорию инвариантов теоремой (1868—1869гг.), что каждая бинарная форма обладает конечной системой рациональных инвариантов и ковариантов, с помощью которых можно в рациональном виде представить все остальные рациональные инварианты и коварианты. В 1890 г. Гильберт распространил эту теорему Гордана, («теорему конечности») на алгебраические формы с любым числом переменных.

Альфред Клебш был профессором в Карлсруэ, Гиссене и Гёттингене. Он умер в возрасте тридцати девяти лет. Его жизнь — это сгусток замечательных достижений. В 1862 г. он опубликовал книгу по теории упругости, следуя за французскими учеными Ламе и Сен-Венаном. Он применил свою теорию инвариантов к проективной геометрии. Он был одним из первых, кто понял Римана, и он стал основателем той ветви алгебраической геометрии, в которой риманова теория функций и многосвязных поверхностей применяется к действительным алгебраическим кривым. «Теория абелевых функций» (Theorie der Abelschen Functionen, 1866г.) Клебша и Гордана дает широкое изложение этих идей. Клебш также основал «Математические анналы» (Mathematische Annalen), математический журнал, который был ведущим в течение более чем шестидесяти лет. Его лекции по геометрии, опубликованные Ф. Линдеманом, остаются образцовым курсом проективной геометрии.

23. К 1870 г. математика разрослась в огромное и хаотичное здание, состоявшее из большого числа частей, дорогу в которых могли найти только специалисты. Даже большие математики, как Эрмит, Вейерштрасс, Кели, Бельтрами, могли продуктивно работать самое большее лишь в немногих ее областях. Эта специализация все время росла, и сейчас она достигла устрашающих размеров. Но никогда не прекращалось противодействие ей, и некоторые из самых важных достижений за последние сто лет явились результатом синтеза различных областей математики.

В восемнадцатом столетии такой синтез был осуществлен в трудах Лагранжа и Лапласа по механике. Эти труды оставались основой для очень значительных работ различного характера. Девятнадцатое столетие добавило к этому новые объединяющие принципы, а именно теорию групп и риманово понятие функции и пространства. Значение этого лучше всего можно понять по трудам Клейна, Ли и Пуанкаре.

Ф

Феликс Клейн (1849—1925)

еликс Клейн был ассистентом Плюккера в Бонне в конце шестидесятых годов, и там он изучил геометрию. В 1870 г., когда ему было двадцать два года, он побывал в Париже. Здесь он встретился с Софусом Ли, норвежцем, который был на шесть лет старше его, но заинтересовался математикой лишь незадолго до их встречи. Молодые люди встречались с французскими математиками, среди них с Камиллом Жорданом, работавшим в Политехнической школе, и изучали их труды. Как раз в 1870 г. Жордан написал «Трактат о подстановках»— книгу о группах подстановок и о теории уравнений Галуа. Клейн и Ли начали сознавать основное значение теории групп, и в последующем бни разбили математику примерно на две части: Клейн в основном сосредоточился на дискретных, а Ли — на непрерывных группах.

В 1872 г. Клейн стал профессором в Эрлангене. В своей вступительной лекции он разъяснял важность понятия группы для классификации различных областей математики. В этой лекции, которая стала известна под именем «Эрлангеиской программы», любая геометрия объявлялась теорией инвариантов особой группы преобразований. Расширяя или сужая группу, можно перейти от одного типа геометрии к другому. Евклидова геометрия изучает инварианты метрической группы, проективная геометрия — инварианты проективной группы. Классификация групп преобразований дает нам классификацию геометрий, а теория алгебраических и дифференциальных инвариантов каждой группы дает нам аналитическую структуру соответствующей геометрии. Проективное определение метрики по Кели позволяет рассматривать метрическую геометрию в рамках проективной геометрии. «Присоединение» инвариантного конического сечения к проективной геометрии на плоскости дает нам неевклидо

вы геометрии. Даже сравнительно не изученная (тогда) топология нашла свое должное место как теория инвариантов непрерывных точечных преобразований.

За год до этого Клейн дал важный пример применения своего подхода, показав, что неевклидовы геометрии можно истолковать как проективные геометрии с метрикой Кели. Это, наконец, повело к полному признанию находившихся в пренебрежении теорий Бояи и Лобачевского. Теперь была установлена их логическая обоснованность. Если бы в неевклидовой геометрии были логические погрешности, то их можно было бы обнаружить в проективной геометрии, но лишь немногие математики были склонны допустить такую ересь. Позже эта идея отображения одной области математики на другую часто использовалась и сыграла важную роль в гильбертовой аксиоматике геометрии. Теория групп сделала возможным синтез геометрических и алгебраических трудов Монжа, Понселе, Гаусса, Кели, Клебша, Грассмана и Римана. Риманова теория пространства, которая дала так много для построения Эрлангенской программы, вдохновляла не только Клейна, но и Гельмгольца и Ли. Гельмгольц в 1868 и 1884гг. подверг изучению риманово понятие пространства, отчасти в поисках геометрического образа для его теории цветов, отчасти в поисках происхождения наших зрительных оценок расстояния. Это привело его к исследованию природы геометрических аксиом и, в частности, римановой квадратической метрики. Ли усовершенствовал рассуждения Гельмгольца относительно характера римановой метрики, проанализировав природу лежащих в основе этого групп преобразований (1890 г). Эта проблема пространства «Ли — Гельмгольца» оказалась имеющей значение не только для теории относительности и теории групп, но и для физиологии.

Клейн изложил риманову концепцию теории комплексных функций в своей книге «О римановой теории алгебраических функций» (Uber Riemanns Theorie der algebraischen Functionen, 1882 г.), в которой он подчеркивал, что физические соображения могут оказывать влияния даже на самые тонкие части математики. В «Лекциях об икосаэдре» (Vorlesungen uber das Ikosaeder, 1884 г.) он показал, что современная алгебра может научить многим новым и удивительным вещам и относительно древних платоновых тел. Этот труд является исследованием групп вращения правильных тел и их роли в качестве групп Галуа алгебраических уравнений.

В

Мариус Софус Ли (1842—1899)

обширных исследованиях, принадлежащих ему и его многочисленным ученикам, Клейн применил понятие группы к линейным дифференциальным уравнениям, к эллиптическим и модулярным функциям, к абелевым и новым «автоморфным» функциям, к последним — в интересном и дружеском соревновании с Пуанкаре. Под вдохновляющим руководством Клейна Гёттинген с его традициями Гаусса, Дирихле и Римана стал мировым центром математических исследований, куда молодые мужчины и женщины многих национальностей съезжались для изучения своих частных предметов в качестве неотъемлемой части математики в целом. Лекции Клейна воодушевляли слушателей, записи этих лекций, размноженные на стеклографе, были источником многих специальных сведений для целых поколений математиков и, прежде всего, они их вооружали пониманием единства их науки. После смерти Клейна в 1925 г. некоторые из курсов лекций появились в виде книг.

Тем временем в Париже Софус Ли открыл контактные преобразования и тем самым ключ ко всей гамильтоиовой динамике как части теории групп. После своего возвращения в Норвегию он стал профессором в Христиании (ныне Осло), позже, с 1886 по 1898 г., он преподавал в Лейпциге. Всю жизнь Ли посвятил систематическому изучению групп непрерывных преобразований и их инвариантов, выявляя их основное значение в качестве классификационного принципа в геометрич, механике, в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнении в частных производных. Результаты этих трудов были сведены воедино в ряде томов, изданных с помощью учеников Ли, Шефферса и Энгеля («Группы преобразо

ваний», 1888—1893 гг.; «Дифференциальные уравнения», 1891 г; «Непрерывные группы», 1893 г.; «Касательные преобразования», 1896 г.). Позже к трудам Ли многое было добавлено в работах французского математика Эли Картана.

24. Франция, лицом к лицу с огромным развитием математики в Германии, продолжала выдвигать замечательных ученых во всех областях. Интересно сравнить французских и немецких математиков, Эрмита с Вейерштрассом, Дарбу с Клейном, Адамара с Гильбертом, Поля Таннери с Морицом Кантором. От сороковых до шестидесятых годов ведущим математиком Франции был Жозеф Лиувилль, профессор Французского коллежа в Париже, хороший преподаватель, организатор и издатель в течение многих лет французского «Журнала чистой и прикладной математики» (Journal de Mathematiques pures et appliquees). Он подверг систематическому исследованию арифметическую теорию квадратичных форм от двух и более переменных, но «теорема Лиувилля» в статистической механике показывает, что он творчески работал в совсем иных областях. Он доказал существование трансцендентных чисел и в 1844 г. доказал, что ни е, ни е² не могут быть корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. Это было одним из звеньев цепи доказательств, ведущих от результата Ламберта в 1761г., что  иррационально, к доказательству Эрмита, что е трансцепдентно (1873 г.), и к окончательному результату Ф.Линдемана, ученика Вейерштрасса, что  — трансцендентное число (1882г.). Лиувилль и некоторые из связанных с ним математиков развивали дифференциальную геометрию кривых и поверхностей — формулы Френе — Серре (1847 г.) появились в кругу Лиувилля.