Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).doc), страница 33

на другой аксиоме, согласно которой через точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную прямую плоскости. Это была та самая идея, которая уже возникала у Гаусса и Лобачевского. Бояи изложил свои соображения, и они были напечатаны в 1832г. в виде приложения к книге его отца под названием «Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве» (Appendix Sciontiam Spatil absolute veram exhibens). Озабоченный отец написал Гауссу, прося совета относительно неортодоксальных взглядов сына. Полученный из Гёттингена ответ содержал восторженное одобрение работы младшего Бояи. Вдобавок к этому Гаусс заметил, что он не может хвалить Бояи, так как это было бы самопохвалой, поскольку идеи «Приложения» являются его мыслями уже многие годы.

Молодой Янош был глубоко разочарован этим одобрительным письмом, которое возводило его в ранг большого ученого, но лишало приоритета. Его разочарование усилилось, когда в дальнейшем он не встретил признания. Еще более он был потрясен тогда, когда книга Лобачевского была опубликована на немецком языке (1840 г.), и он больше никогда ничего не напечатал по математике. В отличие от Бояи Лобачевский до конца боролся за признание своих идей и продолжал развивать свою новую геометрию, сочетая это с деятельностью и в других областях.

19. Имена Гамильтона и Кели показывают, что около 1840г. математики, пользовавшиеся английским языком, наконец, начали выходить на одну линию со своими коллегами на континенте. В течение нескольких первых десятилетий девятнадцатого века деканы Кембриджа и Оксфорда рассматривали любую попытку усовершенствовать теорию флюксий как нечестивый бунт против священной тени Ньютона. В итоге ньютонова школа в Англии и школа Лейбница на континенте настолько разошлись, что Эйлер в своем «Интегральном исчислении» (1768г.) рассматривал объединение обоих способов записи как бесполезное. Но эта преграда была сломлена в 1812г. группой молодых кембриджских математиков, которые образовали, вдохновляемые Робертом Вудхаузом, «Аналитическое общество» для пропаганды обозначений дифференциального исчисления. Лидерами были Джордж Пикок, Чарльз Бебедж и Джон Гершель. Они пытались, говоря словами Бебеджа, проповедовать «принципы чисто

го d-изма ') в противоположность университетскому «dotage» ²). Это движение поначалу подверглось суровой критике, но она была опровергнута такими делами, как издание английского перевода книги Лакруа «Элементарный трактат по дифференциальному и интегральному исчислению» (1816 г.). Новое поколение в Англии начало принимать участие в современной математике.

Впрочем, первые важные результаты были получены не кембриджской группой, а математиками, которые самостоятельно восприняли континенталъную пауку. Среди таких математиков наиболее выдающимися были Гамильтон и Джордж Грин. Интересно отметить, что они оба, равно как и Натаниел Боудич в Новой Англии, стали изучать «чистый d-изм», штудируя «Небесную механику) Лапласа. Грин, сын мельника из Нотингема и самоучка, весьма внимательно следил за новыми открытиями в области электричества. В то время (около 1825г.) почти что не было математической теории, учитывавшей электрические явления. Пуассон в 1812г. сделал только первые шаги. Грин читал Лапласа и, говоря его словами:

«Учитывая, насколько желательно подчинить расчету в той мере, в какой это возможно, силу столь универсального характера, как электричество, и размышляя о преимуществах, которые дает при решении многих трудных задач то, что мы можем сосредоточить свое внимание над одной особой функции, от дифференциалов которой зависят силы, действующие на различные тела системы, вместо того чтобы рассеивать свое внимание, исследуя каждую из этих сил в отдельности, я пришел к попытке, нельзя ли открыть какие-либо общие соотношения, существующие между этой функцией и между создающими ее количествами электричества в телах».

Результатом была книга Грина «Опыт применений математического анализа к теориям электричества и магнетизма» (Essay on the Application of Mathematical Analysis to Theories of Electricity and Magnetism, 1828 г.), первая попытка создать математическую теорию электро

') Игра слов: или применение обозначения «d» (по Лейбнийцу), или «деизм» — религия разума эпохи Просвещения

²) dot — точка (англ ); dot с суффиксом age, соответствующие суффиксом «изм» или «ство», может обозначать «применение точек» (ньютонова символика) или «эпоха точек», если agе (век) читать как отдельное слово, но dotage значит также старчески слабоумие...

магнетизма. Это стало началом современной математической физики в Англии, и вместе с работой Гаусса 1839г. дало теории потенциала положение независимой ветви математики. Гаусс не знал работы Грина, которая стала более широко известна лишь тогда, когда Вильям Томсон (впоследствии лорд Кельвин) перепечатал ее в журнале Крелля в 1846 г. Но Гаусс и Грин оказались настолько близки, что тогда как Грин выбрал термин «потенциальная функция», Гаусс выбрал почти такой же термин —«потенциал» для обозначения решения уравнения Лапласа. Два тесно связанных тождества между интегралами по поверхности и криволинейными носят название формулы Грина и формулы Гаусса. Термин «функция Грина» в теории дифференциальных уравнений тоже взят в честь сына мельника, изучавшего Лапласа в свои часы досуга.

Мы не располагаем местом для того, чтобы дать очерк дальнейшего развития математической физики в Англии или же в Германии. С этим связаны имена Стокса, Релея, Кельвина и Максвелла, Кирхгофа и Гельмгольца, Гиббса и многих других. Эти ученые столько сделали для решения уравнений в частных производных, что одно время математическая физика и теория линейных уравнений в частных производных второго порядка казались тождественными. Впрочем, математическая физика внесла плодотворные идеи и в другие области математики, в теорию вероятностей и теорию функций комплексного переменного, равно как в геометрию. Особенно важное значение имел «Трактат по электричеству и магнетизму» (Treatise on Electricity and Magnetism, 1873 г., в двух томах) Джемса Кларка Максвелла, где дано систематическое математическое изложение теории электромагнетизма, основанное на опытах Фарадея. Теория Максвелла стала господствующей математической теорией электричества, а позже она вдохновляла Лоренца в его теории электрона и Эйнштейна в теории относительности.

20. Чистая математика девятнадцатого века в Англии — это, прежде всего, алгебра с применениями преимущественно к геометрии, а ведущими в этой области были три человека: Кели, Сильвестр и Салмон. Артур Кели в молодости посвятил себя изучению права и практической деятельности юриста, но в 1863г. он принял предложение занять новую математическую кафедру в Кембридже, где он преподавал в течение тридцати лет. В сороковых годах, когда Кели работал юристом в Лондоне, он

познакомился с Сильвестром, в то время работником по страхованию. В те годы у Кели и Сильвестра зародился общий интерес к алгебре форм или квантик, как их называл Кели. Сотрудничество Кели и Сильвестра означало зарождение теории алгебраических инвариантов.

Э

Артур Кели (1821—1895)

та теория как бы носилась в воздухе уже многие годы, особенно после того, как стали изучать определители. Ранние работы Кели и Сильвестра обходятся без определителей — это сознательная попытка дать систематическую теорию инвариантов алгебраических форм со своей собственной символикой и своими правилами операций. Эта была та теория, которую позже в Германии развивали Аронгольд и Клебш и которая является алгебраическим соответствием проективной геометрии Понселе. Многочисленные работы Кели посвящены самым разнообразным вопросам в области конечных групп, алгебраических кривых, определителей и инвариантов алгебраических форм. Одними из наиболее известных его работ являются девять «Мемуаров о квантиках» (1854—1878 гг.). Шестая работа в этой серии (1859 г.) содержит проективное определение метрики относительно конического сечения. Это открытие привело Кели к проективному определению евклидовой метрики, и таким путем он получил возможность ввести метрическую геометрию в систему проективной геометрии. Связь этой проективной метрики с неевклидовой геометрией ускользнула от внимания Кели и была открыта позже Феликсом Клейном.

Джемс Джозеф Сильвестр был не только математиком, но и поэтом, остряком и, наряду с Лейбницем, наиболее выдающимся создателем новых терминов за всю историю математики. С 1855 до 1869г. он преподавал в военной академии в Вулвиче. Он дважды был в Америке, в первый раз в качестве профессора университета в Виргинии (1841—42 гг.), второй раз как профессор университета

в Балтиморе (1877—1883 гг.). Во время второго пребывания в США он вошел в число тех, кто заложил основы научной работы в области математики в американских университетах. Преподавательская деятельность Сильвестра была началом расцвета математики в Соединенных Штатах.

И

Джеймс Джозеф Сильвестр

(1814-1897)

з многочисленных результатов Сильвестра в алгебре два стали классическими: его теория элементарных делителей (1851 г.; вновь открыта Вейерштрассом в 1868 г.) и его закон инерции квадратичных форм (1852 г.; известен Якоби и Риману, но не опубликован ими). Мы обязаны Сильвестру и многими теперь общепринятыми терминами такими, как инвариант, ковариант, контравариантный, когредиентный и сизигия. С ним связано много анекдотов, некоторые из них — из разряда рассказов о рассеянных профессорах.

Третьим английским алгебраистом-геометром был Джордж Салмон, который в течение своей долгой жизни был связан с родным для Гамильтона Тринити колледжем в Дублине, где он обучал и математике, и богословию. Его наибольшая заслуга — создание хорошо известных превосходных руководств, ясных и привлекательных. Несколько поколений студентов во многих странах изучали по этим книгам аналитическую геометрию и теорию инвариантов. Это «Конические сечения» (Conis Sections, 1848 г.), «Высшие плоские кривые» (Higher Plane Curves, 1852 г.), «Современная высшая алгебра» (Modern Higher Algebra, 1859 г.) и «Аналитическая геометрия трех измерений» (Analytic Geometry of Three Dimensions, 1862 г.).

Эти книги и сейчас вполне можно рекомендовать всем интересующимся геометрией.

21. Нам следует особо остановиться на двух творениях алгебраистов Соединенного королевства: кватернионах Гамильтона и бикватернионах Клиффорда. Гамильтон, королевский астроном Ирландии, завершив свои работы по механике и оптике, в 1835г. обратился к алгебре, В его «Теории алгебраических пар» (Theory of Algebraic Couples, 1835 г.) алгебра определяется как наука о чистом времени; здесь дано строгое построение алгебры комплексных чисел на основе представления комплексного числа как пары чисел. Это, вероятно, сделано независимо от Гаусса, который в своей теории биквадратичных вычетов (1831 г.) также дал строгое построение алгебры комплексных чисел, но на основе геометрии комплексной плоскости. Сейчас оба подхода в равной мере приняты. Впоследствии Гамильтон пытался проникнуть в алгебру числовых троек, числовых четверок и т. д. Озарение на него нашло (как охотно рассказывают его поклонники) в некий октябрьский день 1843 г., когда, проходя по мосту в Дублине, он открыл кватернионы. Его исследования по кватернионам изложены в двух больших книгах: «Лекции о кватернионах» (Lectures on Quaternions, 1853г.) и посмертные «Основы теории кватернионов» (Elements of Quaternions, 1866г.). Наиболее известной частью этого исчисления кватернионов является теория векторов (последний термин принадлежит Гамильтону), которая входит как часть и в теорию протяженности Грассмана. Главным образом в силу этого обстоятельства теперь часто ссылаются на алгебраические работы Гамильтона и Грассмаиа. Однако во времена Гамильтона и долгое время спустя кватернионы сами по себе были предметом чрезмерного восхищения. Некоторые британские математики видели в исчислении кватернионов нечто вроде «универсальной арифметики» Лейбница, что, конечно, вызвало оппозицию (Хевисайд против Тэта), и из-за этого слава кватернионов значительно потускнела. Теория гиперкомплексных чисел, разработанная Пирсом, Штуди, Фробениусом и Картавом, указала законное место кватернионов как простейшей ассоциативной системы чисел с более чем двумя единицами. Культ кватернионов во времена его апогея привел даже к созданию «Международной ассоциации для содействия изучению кватернионов и родственных математических систем», которая распалась, став одной из жертв первой мировой войны. В связи с кватернионами возник еще один конфликт — борьба между приверженцами Гамильтона и