Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).doc), страница 32

Георг Кантор (1845—1918)

ти открытия Кантора были продолжением давних схоластических спекуляций относительно природы бесконечного, и Кантор это хорошо осознавал. Он отстаивал полное признание актуальной бесконечности у святого Августина, но сам должен был защищаться против вощражений многих математиков, которые отказывались принять бесконечное иначе, как процесс, выражаемый значком . Главным оппонентом Кантора был Кронекер – представитель совершенно противоположного направления в том же процессе арифметизации математики. Кантор в конце концов добился полного признания тогда, когда все более очевидным становилось огромное значение его теории для обоснования теории действительных функций и топологии, – особенно после того, как Лебег в 1901г. обогатил теорию множеств своей теорией меры. Но оставались логические трудности теории трансфинитных чисел и были выявлены парадоксы, как, например, парадокс Бурали-Форти и Рассела. Это опять повело к возникновению различных школ в области обоснования математики. Расхождения между формалистами и интуитивистами двадцатого века были продолжением на новом уровне спора между Кантором и Кронекером

16. Одновременно с этим замечательным развитием алгебры и анализа происходил столь же замечательный расцвет геометрии. Истоки этого можно проследить вплоть до преподавательской деятельности Монжа, в которой мы находим корни как «синтетического», так и «алгебраического» метода геометрии. Проективная геометрия как отдельная дисциплина начинается книгой Понселе 1822г. Возникали споры о приоритете, как это часто случается с фундаментальными открытиями, ибо Понселе имел соперника в лице Жозефа Жергонна, профессора в Монпелье. Жергонн опубликовал несколько важных работ по проективной геометрии, в которых он одновременно с Понселе выяснил значение двойственности в геометрии. Эти работы появились в Annales de mathematiques, первом чисто математическом периодическом издании. Жергонн был его редактором; этот журнал выходил с 1810 по 1832г. Типичным для способа мышления Понселе был другой принцип, принцип непрерывности, позволявший ему выводить свойства одной фигуры из свойств другой. Он формулировал этот принцип следующим образом: «Если одна фигура получается из другой непрерывным изменением и столь же обща, как и первая, тогда без дальнейших соображений можно отнести свойства, доказанные для первой фигуры, ко второй».

Это был принцип, с которым надо было обращаться весьма осторожно, потому что его формулировка далеко не точна. Только современная алгебра позволила более строго определить область его применимости. В руках Понселе и его школы этот принцип дал интересные новые и верные результаты, особенно тогда, когда он применялся при переходе от действительного к мнимому. Он позволил Понселе установить, что все окружности на плоскости имеют две общие мнимые точки на бесконечности, и это привело также к понятию так называемой бесконечно удаленной прямой плоскости. Харди заметил, что это означает безоговорочное принятие в проективной геометрии актуальной бесконечности¹). У аналитиков не было общего мнения по этому вопросу.

Дальнейшее развитие идеи Понселе получили у немецких геометров. В 1826 г. появилась первая работа Штейнера, в 1827 г. — «Барицентрическое исчисление» (Der Barycentrische Calctil) Мёбиуса, в 1828 г. первый том

') Н а г d у G. H. A Course of Pure Mathematics — 6th ed — Cambridge, 1933, IV дополнение. В русском переводе: Харди Г. X. Курс чистой математики —М.: ИЛ, 1949 —С. 506, 507.

207

«Аналитико-геометрических изысканий» Плюккера (Апаlylischgeometrische Entwicklungen). В 1831г. появился второй том этого сочинения, за которым в 1832 г. последовало «Систематическое исследование взаимозависимости геометрических образов» (Systematische Entwicklung der Abhangigkeit geometrischen Gestalten voneinander) Штейнера. Последняя из больших основополагающих немецких работ по геометрии такого рода появилось i 1847 г. — это аксиоматическая «Геометрия положения {Geometric der Lage) фон Штаудта.

У немецких геометров был представлен как синтетический, так и алгебраический подход к геометрии. Типичным представлением синтетической (или «чистой») школы был Якоб Штейнер, сын швейцарского крестьянина, «пастушок», который увлекся геометрией, когда познакомился с идеями Песталоцци. Он решил учиться в Гейдельберге, потом преподавал в Берлине, где с 1834г. до своей смерти в 1863г. занимал университетскую кафедру, Штейнер был исключительно геометром, он настолько не терпел применения алгебры и анализа, что отвергал даже рисунки. По его мнению, лучше всего изучать геометрию, напряженно размышляя. Он говорил, что вычисление заменяет мышление, тогда как геометрия стимулирует его. Это, несомненно, было верно для самого Штейнера, методы которого обогатили геометрию большим количеством прекрасных теорем, нередко очень глубоких. Мы обязаны ему открытием поверхности Штейнера с двойной бесконечностью конических сечений на ней (ее называют также римской поверхностью). Он часто опускал доказательства своих теорем, что делает собрание сочинений Штеинера складом сокровищ для геометров, которые ищут требующих решения задач.

Штейнер строил свою проективную геометрию строго систематически, переходя от перспективности к проективности, а затем к коническим сечениям. Он решил также ряд пзопериметрических задач типичными для него геометрическими приемами. Его доказательство того, что круг — это фигура наибольшей площади из всех замкнутых кривых заданного периметра (1836 г.), основано на преобразовании каждой фигуры заданного периметра, которая не является кругом, в другую фигуру того же периметра, но большей площади. Но вывод Штеинера, что в силу этого круг соответствует максимуму, содержит одно упущение: он не доказал, что максимум действительно существует. Дирихле пытался указать на это

Штейнеру, строгое же доказательство было позже дано Вейерштрассом¹).

В

Якоб Штейнер (1798—1813)

се-таки Штейперу неходима была метрика, чтобы определить сложное отношение четырех точек или прямых. Этот недостаток теории был устранен Христианом фон Штаудтом, в течение многих лет состоявшим профессором университета в Эрлангене. Штаудт в своей «Геометрии положения» определяет «вурф» четырех точек на прямой линии чисто проективным путем, а затем показывает, что вурф совпадает со слож ным отношением. Для этого он использует конструкцию так называемой мёбиусовой сети, что при введении иррациональных значений проективных координат требует аксиоматических соображений, тесно связанных с работами Дедекпнда. В 1857г. Штаудт показал, что мнимые элементы можно строго ввести в геометрию как двойные элементы эллиптических инволюций.

В течение ближайших десятилетий синтетическая геометрия обогатилась многими результатами, сохраняя основы, заложенные Понселе, Штейнером и Штаудтом. Она была изложена в ряде отличных руководств; в качестве одного из наиболее известных укажем «Геометрию положения» (Geometric der Lage) Рейе (1868 г., 3е изд. 1886-1892 гг.)²).

17, Представителями алгебраической геометрии были в Германии Мёбиус и Плюккер, во Франции — Шаль, в Англии — Кели. Август Фердинанд Мёбиус, в течение

') Blaschke W. Kreis und Kugel— 2 AuflL— Berlin, 1956 [русский перевод: Бляшке В. Круг и шар.—М.: Наука, 1967]; на русском языке см. К р ы ж а н о в с к и и Д. А. Изопериметры.— 3е изд — М., 1959.

²) В английском переводе: R е у е Р. Т. Lectures on the Geometry of Position.— N. Y., 1898.

²⁰⁹

более чем пятидесяти лет наблюдатель, а потом директор Лейпцигской астрономической обсерватории, был разносторонним ученым. В книге «Барицентрическое исчисление» он первый ввел однородные координаты. Поместив, в вершинах фиксированного треугольника массы т₁, т₂ тз, Мёбиус приписал центру тяжести (барицентру) этих масс координаты т₁ : m₂: m₃ и показал, что такие координаты удобны для описания проективных и аффинных свойств на плоскости. С этого времени однородные координаты стали общепринятым средством при алгебраической трактовке проективной геометрии. Работая в спокойном уединении, подобно своему современнику Штаудту, Мёбиус сделал много других интересных открытий. Одним из примеров может быть нулевая система теории прямолинейных конгруэнции, которую ои ввел в своем руководстве по статике (1837г.). Лист Мёбиуса, первый пример неориентируемой поверхности, напоминает о том, что Мёбиус является также одним из основателей нашей современной топологии.

Юлиус Плюккер, который много лет преподавал в Бонне, был как геометром, так и физикомэкспериментатором. Ему принадлежит ряд открытий в области магнетизма кристаллов, электропроводности газов и спектроскопии. В ряде статей и книг, особенно в «Новой геометрии пространства» (Neue Geometrie des Raumes, 1868— 1869 гг.) он перестроил аналитическую геометрию, внеся в нее множество новых идей. Плюккер показал силу сокращенных обозначений, в которых, например, уравнение С₁+С₂=0 представляет связку конических сечений В упомянутой книге он вводит однородные координаты уже как проективные координаты, исходя из основного тетраэдра; он вводит здесь также то фундаментальное положение, что основным элементом в геометрии могут быть не только точки. Геометрия может основываться и на таких элементах, как прямые, плоскости, окружности, сферы. Эти плодотворные представления позволили по-новому осветить как синтетическую, так и алгебраическую геометрию и прийти к новым видам двойственности. Число измерений в геометрии того или другого вида теперь уже могло быть любым положительным целым числом, в зависимости от числа параметров, необходимых для того, чтобы определить «элемент». Плюккер опубликовал также общую теорию алгебраических кривых на плоскости, причем он вывел «плюккеровы зависимости» между числами особенностей различного рода (1834, 1839 гг.).

Мишель Шаль, в течение многих лет ведущий представитель геометрии во Франции, был студентом Политехнической школы в последние дни деятельности Монжа, а в 1841 г. он стал профессором этого учреждения. В 1846 г. он занял кафедру высшей геометрии в Сорбонне, специально для него учрежденную, и здесь он преподавал многие годы. Труды Шаля имеют много общего с работами Плюккера, в частности в том, с каким искусством он из своих уравнений извлекает максимум геометрических сведений. Идя по этому пути, он искусно пользовался изотропными прямыми и циклическими точками на бесконечности. Шаль был последователем Понселе в использовании «исчислптельных методов», которые в его руках развились в новую область геометрии, так называемую исчислительную («энумеративную») геометрию. В дальнейшем в этой области много работали Герман Шуберт [его «Исчислительная геометрия (Kalkiil der abzahlenden Geometrie) напечатана в 1879 г.] и Цейтен [его «Исчислительные методы» (Abzahlende Methoden) появились в 1914 г.]. В обеих книгах видны как сила, так и слабость этой разновидности алгебры на геометрическом языке. Первоначальные успехи этого направления вызвали реакцию, которую возглавил Штуди, подчеркивавший, что «точность геометрии не всегда следует рассматривать как нечто побочное» ¹).

Шаль был тонким ценителем истории математики, особенно истории геометрии. Его хорошо известный «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов» (Apercu historique sur I'origine et le developpemenl des methodes en geometrie, 1837 г.) стоит у порога современной истории математики. Это — хорошо написанное изложение греческой и современной геометрии и хороший пример истории математики, написанной творческим деятелем науки.

18. В течение этих лет почти что лихорадочной продуктивности в новых областях проективной и алгебраической геометрии другой новый и даже более революционный вид геометрии, изложенный в немногих и трудных работах, оставался в забвении, и большинство ведущих математиков им пренебрегали. Вопрос о том, является ли

!) Study Е. /I Verhandlungen des dritten Internationalen MathematikerKongresses in Heilelberg.—Leipzig, 1905.—S. 388— 395; van der Waerden B. L. Dissertation,— Leiden, 1926.

постулат о параллельных Евклида независимой аксиомой или же он может быть выведен из других аксиом, занимал математиков в течение двух тысяч лет. В древности найти ответ на этот вопрос пытался Птолемей, в средние века—Насир ад Дин, в восемнадцатом веке — Ламберг и Лежандр, Все они пытались доказать аксиому и потерпели неудачу, хотя в ходе своих исследований получили некоторые очень интересные результаты. Гаусс был первым человеком, который считал постулат о параллельных независимой аксиомой, откуда вытекало, что логически возможны другие геометрии, основанные на другом выборе аксиом. Гаусс никогда не публиковал своих соображений по этому вопросу. Первыми, кто открыто бросил вызов авторитету двух тысячелетий и построил неевклидову геометрию, были русский, Николай Иванович Лобачевский, и венгр, Янош Бояи. Сначала обнародовал свои идеи Лобачевский, профессор в Казани: в 1826 г, он выступил с докладом об аксиоме параллельных Евклида. Его первая книга появилась в 1829/30 г. и была написана по-русски. Узнали о ней лишь немногие. Даже более позднее немецкое издание под названием «Геометрические исследования по теории параллельных линий» не обратило на себя внимания, хотя им заинтересовался Гаусс. К тому времени Бояи тоже опубликовал свои мысли по этому вопросу.

Янош (Иоганн) Бояи был сыном учителя математики в провинциальном венгерском городе. Его отец, Фаркаш (Вольфганг) Бояи, учился в Гёттингенском университете в те же годы, что и Гаусс. Он и Гаусс изредка обменивались письмами. Фаркаш затратил много времени на попытки доказать пятый постулат Евклида (с. 69), но не пришел ни к каким определенным выводам. Его сын унаследовал его страсть и тоже начал работать над доказательством, несмотря на просьбы отца заниматься чем-либо другим;

«Ты должен отвергнуть это, подобно самой гнусной связи, это может лишить тебя всего твоего досуга, здоровья, покоя, всех радостей жизни. Это черная пропасть в состоянии, быть может, поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон, на земле это никогда не прояснится...» (письмо от 1820 г.).

Япош Бояи поступил на военную службу и заслужил репутацию отличного офицера. В это время он стал рассматривать постулат Евклида как независимую аксиому и открыл, что можно построить геометрию, основанную