7-8Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Экзаменационная программа), страница 2

Справедливы также следующие утверждения (оставим их без доказательства).

Теорема. Любая упорядоченная система из k линейно независимых векторов k-мерного линейного подпространства является базисом в этом подпространстве.

Теорема. Размерность линейного подпространства равна числу векторов в базисе этого подпространства.

Отсюда следует: dim(Rⁿ) = n.

Действительно, в пространстве Rⁿ есть базис из n векторов — естественный базис в Rⁿ.

Пример. Размерность линейного подпространства L арифметических векторов из Rⁿ, у которых последние компоненты — нулевые, равна n – 1.

Действительно, векторы — очевидно, принадлежат L и линейно независимы. Покажем, что они образуют базис в L. Для произвольного вектора имеет место разложение справедливо: , т.е. векторы образуют базис в L. В этом базисе n-1 вектор, следовательно, dimL = n –1.

Тогда можно использовать другое определение базиса.

Определение. Любая упорядоченная линейно независимая система из k векторов k-мерного линейного подпространства L образует базис этого линейного подпространства L.

Это означает, что если dimL=k и арифметические векторы из L линейно независимы, то для любого существует единственный набор чисел таких, что .

Подпространство строк и подпространство столбцов прямоугольной матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу A_{m, n}, у которой m строк и n столбцов:

.

Её строки — —являются векторами из Rⁿ,

А столбцы — — являются векторами из R^m.

Понятно, что множество строк матрицы A_{m, n} , к которому добавили все строки, которые могут быть получены при элементарных преобразованиях матрицы (исключая транспонирование) — линейное подпространство в Rⁿ.

А аналогично образованное множество столбцов — линейное подпространство в R^m.

Это означает, что мы можем говорить о линейной зависимости и о линейной независимости строк и столбцов матрицы, о размерности подпространства строк и подпространства столбцов матрицы, о базисах в соответствующих подпростьранствах.

Ранг матрицы

Определение. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк матрицы. Обозначаем RgA, rgA.

Т.е., если ранг матрицы равен r, то среди строк матрицы есть r линейно независимых строк, а любые r +1 строки — линейно зависимы.

Определение. Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются подобными.

Утверждение. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство утверждения. Пусть A_{m, n} — прямоугольная матрица и RgA = r. Не умаляя общности, положим — линейно независимы первые r строк: . Выполним элементарные преобразования строк матрицы. Обозначим полученную матрицу A’, ее строки — .Очевидно, что перестановка строк или умножение строки на число не может повлиять на количество линейно независимых строк.

Выполним такое преобразование: к одной из строк матрицы прибавим другую, умноженную на отличное от нуля число.

Сначала выполним такое преобразование с первыми r линейно независимыми строками.

Например, . Тогда

Т.к. строки , то линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда . Отсюда немедленно следует, что и , т.е. первые r строк преобразованной матрицы — линейно независимы. Покажем, что любая система строк преобразованной матрицы линейно зависима, т.е. покажем, что строка линейно выражается через строки :

поскольку строки линейно зависимы, то

, а отсюда — и

Если же , то первые r строк преобразованной матрицы линейно независимы, а любые r­+1 линейно зависимы, т.к. любая строка преобразованной матрицы линейно выражается через ее первые ­r линейно независимых строк:

Утверждение доказано.

Теорема. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы.

Доказательство теоремы. Рассмотрим ступенчатую матрицу

т.е. , для всех , и для всех при . Важно понимать, то у ступенчатой матрицы первые r диагональных элементов отличны от нуля: .

Первые r строк этой матрицы линейно независимы. Действительно, приравняем к нулю линейную комбинацию этих строк: и вычислим ее в естественном базисе:

,

, …,

Равенство нулю линейной комбинации возможно тогда и только тогда, когда:

, поскольку ,

, поскольку и , …,

, поскольку , , …, и .

Итак, первые r ненулевые строки линейно независимы, а любые r+1 строки — линейно зависимы, т.к. линейно зависима любая система векторов, содержащая нулевой вектор.

Теорема доказана.

Отсюда — алгоритм вычисления ранга матрицы.

Приведем матрицу к ступенчатому виду (доказано, что это можно сделать гауссовым исключением), ранг исследуемой матрицы равен рангу ступенчатой матрицы (выше доказано, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы) , ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы (по только что доказанной теореме).

Пример. Вычислим ранг матрицы , приведенной к ступенчатой форме (см. пример в конце предыдущей лекции).

В ступенчатой форме матрицы 3 ненулевые строки, следовательно, RgA=3.

Метрические соотношения в Rⁿ

Определение. Если каждой паре векторов из пространства Rⁿ поставлено в соответствие действительное число , так, что для любых из Rⁿ и любого действительного числа справедливы следующие равенства:

4. при , , — нулевой вектор,

то говорят, что в пространстве Rⁿ определено скалярное произведение .

Пример. Легко проверить, что изученное в разделе «аналитическая геометрия» скалярное произведение известное из школьного курса скалярное произведение в трехмерном пространстве геометрических векторов (в R³) является скалярным произведением в определенном выше смысле.

Пример. Рассмотрим пространство арифметических векторов R² ={X=(x₁, x₂)}. Определим скалярное произведение следующим образом:

(X, Y) = 2x₁y₁ + 3x₂y₂.

Легко убедиться, что для определенного таким образом скалярного произведения справедливы аксиомы 1. — 4.:

(X, Y) = 2x₁y₁ + 3x₂y₂ = 2y₁x₁ + 3y₂x₂ = (Y, X),

(X, Y) = 2(x₁)y₁ + 3(x₂)y₂ = (2y₁x₁ + 3y₂x₂) =  (X, Y),

(X+Y, Z) = 2(x₁+y₁)z₁ + 3(x₂+y₂)z₂ = (2x₁z₁ + 3x₂z₂) + (2y₁z₁ + 3y₂z₂) = (X, Z) + (Y, Z),

(X, X) = 2x₁x₁ + 3x₂x₂ = 2x₁² + 3x₂² >0 если , если же X = (0, 0), то (X, X) = 0.

Вернемся к пространству арифметических векторов Rⁿ = { }

Определим в Rⁿ естественное скалярное произведение: каждой паре векторов и из этого пространства поставим в соответствие действительное число . Нетрудно доказать, что для любых векторов , и и любого действительного числа для справедливо:

4. при , и тогда и только тогда, когда , — нулевой вектор.

Пространство арифметических векторов Rⁿ с определенным в нем естественным скалярным произведением называют евклидовым пространством арифметических векторов и иногда обозначают Eⁿ.

Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского

Теорема (неравенство Коши-Буняковского). Для любых векторов из пространства Rⁿ справедливо следующее неравенство .

Доказательство теоремы. Возьмем произвольное число и рассмотрим . По последнему свойству скалярного произведения для любых векторов и любого числа справедливо: . С другой стороны, , т.е. . Выражение в левой части неравенства — квадратный трехчлен относительно . Он неотрицателен тогда и только тогда, когда дискриминант . Из последнего неравенства немедленно следует неравенство Коши-Буняковского: , . Теорема доказана.

Метрические соотношения в Rⁿ

Определение. Число называется длиной вектора ; число — расстоянием между векторами и ; угол , косинус которого — углом между векторами и .

Если в Rⁿ скалярное произведение определено формулой , то для любых , из Rⁿ справедливо:

Ортогональность, ортогональные системы, ортонормированные базисы

Определение. Векторы и из пространства Rⁿ называются ортогональными, если

Определение. Система векторов из пространства Rⁿ называется ортогональной, если векторы системы попарно ортогональны.

Теорема (о линейной независимости ортогональных систем). Ортогональная система векторов линейно независима.

Доказательство теоремы.

Предположим противное: векторы попарно ортогональны, но они линейно зависимы. Тогда один из векторов линейно выражается через остальные. Например, пусть это первый вектор: , (ясно, что речь идет о ненулевых векторах). Тогда , для всех j = 2, 3, …, k, т.е. . Полученное противоречие доказывает теорему.

Определение. Система векторов из пространства Rⁿ называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Определение. Базис пространства Rⁿ называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

В пространстве Rⁿ в естественном скалярном произведении естественный базис — ортонормированный базис.