Lektsia_5_dlya_studentov_ON (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

Лекция 5

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условия равенства определителя нулю

Рассмотрим матрицу , , :

Определение 1. Если матрица А – нулевая, то ранг матрицы А равен 0. Если же матрица А – ненулевая, то рангом матрицы А называется минимальный порядок минора, не равного 0.

Обозначение: r(A), Rang A

Примеры: 1. r

2. r , т.к. существует ненулевой минор порядка 1 (например, расположенный в верхнем левом углу), а все миноры второго порядка равны 0.

Определение 2. Ненулевой минор порядка, равного рангу матрицы, называется базисным минором. Строки и столбцы матрицы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Замечание. Базисных миноров может быть несколько. Фиксируя новый минор в качестве базисного, мы тем самым получаем новые базисные строки и столбцы.

Пример. Из определения ранга матрицы следует, что вычисление ранга матрицы следует вести постепенно, повышая порядок вычисляемых миноров. Например, найдем ранг матрицы А:

; ; ; ;

; ; .

Видим, что существует минор 2-ого порядка, не равный 0, а все миноры 3-го порядка равны 0. Следовательно, Rang A=2.

Теорема. (о базисном миноре) Базисные строки (столбцы) образуют линейно независимую систему. Остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Доказательство. Пусть Rang A=r. Докажем теорему для столбцов, для строк все доказательство проводится аналогично.

Пусть для определенности базисный минор ( ненулевой минор порядка r ) расположен в верхнем левом углу матрицы А. Если это не так, переместим базисный минор в верхний левый угол, переставляя строки и столбцы матрицы (очевидно, что ранг матрицы А при таких преобразований матрицы не изменится).

Пусть базисный минор

Все миноры порядка выше r равны 0. Предположим, что базисные столбцы образуют линейно зависимую систему. В этом случае базисный минор ∆ состоял бы из столбцов, один из которых является линейной комбинацией остальных столбцов этого минора. Следовательно, в этом случае, в силу свойств определителей, получили бы, что Полученное противоречие доказывает, что базисные столбцы не могут образовывать линейно зависимую систему.

Докажем, что небазисные столбцы есть линейная комбинация базисных. Докажем это для l го столбца ( ). Рассмотрим вспомогательные определители порядка (r+1) вида:

Имеем:

1) для , т.к. определитель содержит две одинаковых строки; 2) для , так как в этом случае есть минор порядка (r+1) го порядка матрицы А, а все миноры порядка, большего, чем r, должны быть равны 0 (т.к. Rang A=r). Отсюда: =0 для . Выпишем разложение определителя по i той строке:

, .

Здесь алгебраические дополнения к элементам (r+1) й строки определителя , они не зависят от номера i. Из последних равенств выражаем элементы l го столбца:

m равенств.

Следовательно,

Следовательно, l й столбец (l > r) есть линейная комбинация базисных столбцов , взятых с коэффициентами

▲

Замечание. В доказательстве теоремы о базисном миноре используются только миноры, окаймляющие (т.е. содержащие в себе) базисный минор. Отсюда получаем метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.

Пример. Вычислим ранг матрицы А, используя метод окаймляющих миноров:

Фиксируем минор 1-го порядка, не равный 0: Окаймляем его: находим минор 2 го порядка, не равный 0, окаймляющий минор :

Выпишем и вычислим миноры 3 го порядка, окаймляющие ненулевой минор :

Так как все окаймляющие миноры 3 го порядка равны 0, делаем вывод, что Rang A=2.

Следствия теоремы о базисном миноре

Следствие 1 (необходимое и достаточное условие равенства определителя нулю).

Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда столбцы (строки) матрицы образуют линейно зависимую систему.

Доказательство.

1. Достаточность. Пусть столбцы матрицы А образуют линейно зависимую систему. Тогда хотя бы один из столбцов матрицы может быть записан в виде линейной комбинациии других. В силу свойств определителя, определитель такой матрицы равен 0.

2. Необходимость. Пусть определитель матрицы порядка n n равен 0. В этом случае Rang A= r <n, то есть среди столбцов матрицы есть (хотя бы один) небазисный. В силу теоремы о базисном миноре небазисный столбец может быть записан в виде линейной комбинации базисных. Пусть для определенности базисными столбцами являются столбцы (r < n), столбец можно записать в виде линейной комбинации столбцов. Система столбцов является линейно зависимой системой (в силу теоремы о необходимом и достаточном условии линейной зависимости системы столбцов).

Система столбцов составляет линейно зависимую подсистему системы столбцов матрицы А. Но система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой системой. Отсюда делаем вывод, что и вся система столбцов является линейно зависимой системой.

▲

Замечание. Следствие доказано для столбцов. Для строк доказательство проводится аналогично.