Lektsia_4_dlya_studentov_ON (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

Лекция 4

Постановка задачи решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Правило Крамера решения СЛАУ с невырожденной квадратной матрицей. Линейно независимые системы столбцов (строк)

1. Постановка задачи. Правило Крамера

Определение 1. Система вида

(1)

называется системой из m линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных .

Пусть - матрица коэффициентов;

- столбец неизвестных; - столбец правых частей.

Тогда СЛАУ (1) можно переписать в матричном виде:

АХ=В. ( )

Определение 2. Упорядоченная совокупность вещественных чисел называется решением системы (1), если, после подстановки этих величин в уравнения системы вместо неизвестных соответственно, уравнения становятся верными равенствами.

Определение 3. Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система называется несовместной, если она не имеет решений.

Определение 4. Совместная система (1) называется определенной, если она имеет единственное решение. Система называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

Рассмотрим случай системы (1) с квадратной матрицей (то есть случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных):

(2)

Теорема (правило Крамера). Пусть

detA=

Тогда система (2) имеет, и притом единственное, решение, которое можно записать в виде:

, , (3)

где

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Доказательство.

1. Докажем существование решения. Имеем: detA= . Вычислим столбец Х= . Подставим его в левую часть матричного уравнения ( ):

Следовательно, решение (хотя бы одно) действительно существует:

Х= .

1. Докажем, что решение единственно. Мы знаем, что оно существует. Обозначим решение через Х:

АХ=В.

Домножим на слева обе части равенства:

(АХ)= В.

_{Следовательно, выполнено}

Х= В. (4)

Отсюда получаем, что решение единственно.

Преобразуем формулу (4):

_{Но выражение}

_{является разложением по j – тому столбцу определителя ∆ :}

_{j – тый столбец}

Отсюда получаем формулы Крамера

,

_▲

Замечание. Условие detA 0 не является необходимым условием совместности системы. Рассмотрим, например, систему

, detA=

Матрица системы вырождена, но, тем не менее, система совместна, имеет бесконечное множество решений.

Примеры.

Решим с помощью формул Крамера несколько систем.

Ответ. Система несовместна.

Ответ. Система не определена, .

Ответ.

1. Линейно независимые системы строк и столбцов. Их свойства

Рассмотрим систему из k столбцов высоты n:

Определение 5. Система столбцов называется линейно зависимой (ЛЗС), если существуют числа такая, что

(5)

где -нулевой столбец высоты n:

.

Определение 6. Система столбцов называется линейно независимой (ЛНС), если равенство возможно лишь при .

Пример. Система столбцов является ЛЗС, так как

при

Определение 7. Выражение вида называется линейной комбинацией столбцов .

Утверждение 1. Система столбцов является ЛЗС тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов может быть записан в виде линейной комбинации других.

Доказательство: 1. Необходимость.

Пусть система столбцов является ЛЗС. Тогда существуют числа , не равные 0, такие, что выполнено равенство (5). Пусть для определенности . Перепишем равенство (5):

,

где

т.е. один из столбцов выписан в виде линейной комбинации других.

2. Достаточность. Пусть хотя бы один из столбцов, например, , может быть выписан в виде линейной комбинации остальных столбцов системы:

Перепишем это равенство:

,

где , причем, очевидно, . Равенство (5) справедливо.

▲

Утверждение 2. Если система столбцов содержит нулевой столбец, то система является ЛЗС.

Доказательство. Пусть для определенности . Составим линейную комбинацию , где . Очевидно, что при таком выборе , причем, очевидно, . Следовательно, система является ЛЗС.

▲

Утверждение 3. Если система содержит линейно зависимую подсистему, то и вся система является ЛЗС.

Доказательство. Пусть для определенности подсистема системы является ЛЗС (m<k). Следовательно, существуют числа такие, что . Составим линейную комбинацию столбцов : , где .

Очевидно, при таком выборе коэффициентов выполнено , то есть система является ЛЗС.

▲

Определение 8. Подсистема называется максимальной линейно независимой подсистемой системы , если система является линейно независимой, а любая подсистема, состоящая больше, чем из m столбцов, является линейно зависимой системой векторов.

Замечание. Все определения и утверждения, сформулированные выше для систем столбцов, справедливы и для систем строк.