Lektsia_3_dlya_studentov_ON (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

Лекция 3

Вычисление определителей. Разложение определителя по строке (столбцу). Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы

1. Вычисление определителей

Некоторые важные свойства определителей:

Утверждение 1. (без доказательства)

det(AB)=detA detB.

Утверждение 2. (без доказательства)

detE=1.

Утверждение 3. (без доказательства)

Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

1. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя разложением по строке и столбцу. Определитель Вандермонда

Определение 1. Минором k того порядка матрицы А называется определитель матрицы, получаемой при пересечении некоторых k строк и k столбцов матрицы А.

Можно сформулировать определение минора для квадратной матрицы немного иначе: минором k ого порядка называется определитель матрицы, получаемой после вычеркивания некоторых (n-k) строк и (n-k) столбцов исходной матрицы А.

Определение 2. Минором элемента называется минор (n-1) го порядка, получаемый вычерчиванием i той строки и j того столбца.

Определение 3. Алгебраическим дополнением элемента называется величина :

.

Пример. ,

Лемма ( без доказательства ). Величина представляет собой сумму (n-1)! произведений элементов матрицы А, взятых с теми же знаками, с которыми они входят в определитель detA.

Теорема (о вычислении определителя разложением по i-той строке).

(*)

Замечание. Правая часть равенства (*) называется разложением определителя по i той строке.

Доказательство теоремы. Правая часть формулы (*) представляет собой сумму n(n-1)!=n! произведений различных элементов матрицы А, причем, в силу леммы, они входят с тем же знаком, с каким они входят в определитель detA.
Правая часть равенства (*) не может содержать одинаковых слагаемых, так как, например, все слагаемые, содержащие , могут содержаться только в группе . Внутри группы тоже не может быть повторов. Следовательно, левая и правая части равенства (*) состоят из одних и тех же слагаемых без пропусков и повторений. Отсюда получаем справедливость равенства (*):

. ▲

Следствие. Так как определитель матрицы не меняется при её транспонировании, то можно выписать форму разложения определителя по j тому столбцу:

Замечание (об определителе Вандермонда). В приложениях часто используется определитель Вандермонда:

Пример.

n=3:

Замечание. На практике, прежде чем вычислить определитель матрицы большого порядка, обычно преобразуют матрицу к треугольному виду, используя метод Гаусса ( этот метод будет изложен немного позднее).

1. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Вырожденная матрица

Пусть А квадратная матрица порядка n n.

Определение 1. Матрица В (С) называется левой (правой) обратной к матрице А, если ВА=Е (АС=Е).

Утверждение 1. Пусть левая и правая обратная матрицы существуют. Тогда эти матрицы совпадают: В=С.

Доказательство. Пусть ВА=Е, АС=Е. Имеем: В=ВЕ=В(АС)=(ВА)С=ЕС=С.

▲

Определение 2. Матрица =В=С (где В и С – левая и правая обратные матрицы ) называется обратной матрицей к матрице А.

Можно сформулировать определение обратной матрицы иначе:

- обратная к А, если А = А=Е.

Определение 3. Матрица А называется невырожденной, если detA 0

Лемма (о фальшивом разложении определителя).

(*)

Доказательство. В левой части равенства (*) выписано разложение по j той строке определителя матрицы, i тая и j тая строки которой совпадают. Определитель такой матрицы равен 0.
▲

Теорема (о существовании обратной матрицы).

Обратная матрица к матрице А существует тогда и только тогда, когда матрица А является невырожденной.

Доказательство. 1. Необходимость.

Пусть существует обратная матрица: А = А=Е . Возьмем определитель от обоих частей равенства, используем тот факт, что определитель произведения матрицы равен произведению определителей:

det( ) detA=detE=1.

Следовательно, detA 0.

2.Достаточность.

Пусть detA 0. Докажем, что матрица В, определяемая равенством

В=

является обратной к матрице А (здесь алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы А).

Рассмотрим произведение ВА:

ВА= ,

где

Отсюда С=Е, т.е. матрица В является левой обратной к матрице А. Аналогично доказывается, что матрица В является правой обратной к матрице А: АВ=Е. Отсюда получаем, что выполнено В= .

▲

Замечание. Доказана формула

= = =

где - так называемая союзная матрица.

Утверждение.

Доказательство.

Аналогично доказывается, что

▲

Пример. Вычислим обратную матрицу для матрицы А:

Решение. detA=4;