dynamics_sr (Лекции ЮКР)

ЗАНЯТИЕ №1

Обоснование метода динамики средних

Учебные вопросы:

1. Сущность метода динамики средних.

2. Вывод уравнения для вероятностей состояния единиц.

3. Вывод уравнений для среднего числа единиц и дисперсий числа сохранившихся единиц.

ЗАНЯТИЕ №2

Применение метода динамики средних для построения аналитических моделей.

Учебные вопросы:

1. Уравнение боя Ланчестера / модель А /.

2. Уравнение боя Ланчестера / модель В /.

3. Вывод дифференциальных уравнений боя двух многочисленных группировок.

СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЯ №1.

Учебный вопрос №1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА ДИНАМИКИ СРЕДНИХ.

Рассмотренные ранее методы представляют собой удобный математический аппарат только в том случае, когда число возможных состояний СМО сравнительно невелико. В противном случае эти методы становятся неприемлемыми, т.к. , во-первых, совместное решение большого числа дифференциальных уравнений затруднительно даже при наличии ЭВМ. Во-вторых, если даже удается решить эти уравнения и найти вероятности всех состояний системы, полученные результаты будут трудно обозримыми.

Для того, чтобы их осмыслить придется пользоваться какими-то обобщенными характеристиками процесса. До сих пор такие средние характеристики вычислялись через вероятности состояний. Однако в случае, когда состояний слишком много, такой способ неприемлем.

Возникает вопрос, нельзя ли составить и решить уравнения непосредственно для интересующих нас средних характеристик, минуя вероятности состояний? Оказывается, можно—иногда точно, иногда—приближенно, с некоторой погрешностью. Такими задачами занимается так называемый « метод динамики средних ».

Он ставит себе целью непосредственное изучение средних характеристик случайных процессов, протекающих в сложных системах с большим числом состояний.

Основой применимости метода динамики средних является именно то, что препятствует изучению явлений более подробными методами: сложность изучаемых процессов и большое число участвующих в них элементов.

Учебный вопрос №2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЯ ЕДИНИЦ.

Рассмотрим две противоборствующие группировки. Пусть 1-я группировка имеет в своем составе , а 2-я однородных боевых единиц. Каждая непораженная боевая единица производит пуассоновский поток выстрелов по непораженным единицам противника. Обозначим через и средние скорострельности одной боевой единицы соответственно 1-й и 2-й группировок, а через и --вероятности успешных выстрелов. В силу независимости успешных выстрелов перейдем от пуассоновских потоков с плотностями и к пуассоновским потокам успешных выстрелов с плотностями и .

Пусть есть вероятность того, что в момент времени t в 1-й группировке (во 2-й группировке) сохранилось боевых единиц, где . Найдем . Эта вероятность равна вероятности того, что в момент времени t 1-я группировка состояла из единиц, умноженной на вероятность того, что за время 2-я группировка не смогла произвести успешного выстрела.

Учитывая, что и в силу ординарности все выстрелов неуспешно за время , получим:

{заменяя }=

Для , удовлетворяющего двойному неравенству имеем:

,

--средняя численность второй группировки в текущий момент времени;

--вероятность того, что 2-я группировка не произвела ни одного успешного выстрела, а --произвела один успешный выстрел за время . И, наконец,

Переходя от разностных уравнений к дифференциальным, будем иметь:

(1)

Аналогично для 2-й группировки имеем:

(2)

Причем при

согласно условию.

Соотношения (1) и (2) образуют замкнутую систему ДУ, описывающую бой двух группировок через вероятности состояния каждой из них.

Учебный вопрос №3. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СРЕДНЕГО ЧИСЛА ЕДИНИЦ И ДИСПЕРСИИ ЧИСЛА СОХРАНИВШИХСЯ ЕДИНИЦ.

При больших и решение и анализ полученных выше дифференциальных уравнений становятся слишком трудоемкими, поэтому выведем дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять средние численности сохранившихся единиц.

Для 2-й группировки аналогично. Таким образом, приходим к следующей системе дифференциальных. уравнений:

с начальными условиями

Оценка боя в среднем ( на уровне математических ожиданий ) имеет смысл лишь при большом числе боевых единиц, когда индивидуальные особенности отдельных единиц сглаживаются. Кроме того, в реальном бою нет необходимости полностью уничтожать противника. Достаточно уничтожить определенный процент, при котором данное подразделение теряет боеспособность. Поэтому решение системы уравнений ищем при , где определяем из условия но тогда и . Окончательно получим уравнения боя Ланчестера (модель А) с переносом огня:

До сих пор мы предполагали, что противники ведут прицельный огонь по каждой непораженной единице. Предположим теперь, что стрельба ведется без переноса огня, т.е. выстрелы равномерно распределены по всем как сохранившимся, так и уже пораженным боевым единицам. Тогда условная вероятность попасть в непораженную единицу будет или .Эффективные скорострельности и примут вид:

и , где и --вероятности успешных выстрелов при условии, что выстрел пришелся на непораженную единицу. Обозначив и , получим уравнения боя Ланчестера (модель Б) :

Перейдем к выводу уравнений для дисперсий количества сохранившихся боевых единиц ( для модели А) .

, где --2-й начальный момент.

Отсюда

Так же как и раньше полагаем , тогда

Окончательно имеем:

Аналогично

Найдем начальные условия: , т. к. только , но при 1-й сомножитель равен 0. Аналогично

Итак, в любой момент времени мы можем определить математические ожидания и дисперсии случайных количеств боевых единиц двух группировок. Обозначим эти случайные величины через и соответственно. Определив с помощью уравнений (3), (4), (5), (6) МОЖ и дисперсии случайных количеств сохранившихся к моменту времени t боевых единиц сторон, можно найти окружающий среднее значение доверительный интервал, в который с заданной вероятностью попадает случайная величина . Разобьем интервал на n частей и представим случайное число сохранившихся боевых единиц 1-й стороны в виде суммы независимых случайных величин: где , если s-я единица 1-й группировки поражена к моменту и , если не поражена. На основании центральной предельной теоремы теории вероятностей с. в. распределена асимптотически нормально с математическим ожиданием и дисперсией . Тогда, задавшись значением доверительной вероятности , можно определить доверительный интервал из соотношения .

Действительно, пусть , отсюда

Так как должно быть , то можно положить и следовательно (7)

Таким образом, можно определить соответствующий доверительный интервал из данного соотношения.

Например, согласно (7) с вероятностью можно утверждать, что фактическое количество сохранившихся к моменту времени боевых единиц будет отличаться от среднего значения не более чем на .

СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЯ №2.

Учебный вопрос №1. УРАВНЕНИЕ БОЯ ЛАНЧЕСТЕРА (Модель А).

Дифференцируем почленно первое уравнение (из системы (3), (4)) и заменяя возникающий в правой части член из второго уравнения получим:

Пусть и .

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

, где --произвольные постоянные.

Из начальных условий следует

, откуда следует

и

, где

Введем также безразмерные переменные:

, тогда

Указанные величины и как функции от будут зависеть от единственного параметра .

называется коэффициентом преимущества.

При бой продолжается неограниченное время и заканчивается ничьей, причем .

Если , то побеждает первая группировка. Это выражается в том, что к концу боя функция , а функция достигает минимума в некоторой точке , причем . Дисперсии и при этом возрастают, причем для стороны (2), терпящей поражение, дисперсия возрастает значительно быстрее, чем для побеждающей стороны (1).

Очевидно, что решение имеет смысл только при , т. е. до момента времени, отвечающего минимуму функции . При пренебрежение величиной по сравнению с 1 в уравнении (3) становится незаконным. Этим и объясняется данное ограничение на область определения решения системы.

Если , то побеждает вторая группировка.

Область, где решение

имеет смысл

0

Каждой паре кривых и на плоскости безразмерных переменных соответствует целый класс подобных процессов (боев) в размерных переменных. Например, 2 боя с