Лекции: Лекции ЮКР

Распознанный текст из изображения:

Тема 8. Метод динамики средних и его применение для исследований аналитических моделей динамики боевых

действий Занятие 1. Обоснование метода динамики средних

Сущность метода динамики средних

Ранее рассмотренные методы представляют собой удобный математический аппарат только в том случае, когда число возможных состояний системы Ясравнительно невелико. В противном случае эти методы становятся неприемлемы, так как, во-первых, совместное решение большого числа дифференциальных уравнений затруднительно даже при наличии ЭВМ. Вовторых, если даже удается решить эти уравнения и найти вероятности всех состояний системы, полученные результаты будут трудно обозримы.

Для того, чтобы их осмыслить, пр идется пользоваться какими-то обобщенными характеристиками процесса. До сих пор такие средние характеристики вычислялись через вероятности состояний. Однако в случае, когда состояний достаточно много, такой способ неприемлем.

Возникает вопрос, нельзя ли составить и решить уравнения непосредственно для интересующих нас характеристик, минуя вероятности состояний? Оказывается, можно — иногда точно, иногда — приближенно, с некоторой погрешностью. Такими задачами занимается так называемый «метод динамики средних».

Он ставит себе целью непосредственное изучение средних харакгеристик случайных процессов, протекающих в сложных системах с большим числом состояний.

Основой применимости метода динамики средних является именно то, что препятствует изучению явлений более подробными методами: сложность изучаемых процессов и большое число участвующих в них элементов.

Вывод уравнения для вероятностей состояния единиц

Рассмотрим две противоборствующие группировки. Пусть 1-я группировка имеет в своем составе Ж1, а 2-я У однородных боевых единиц. Каждая непораженная боевая единица производит пуассоновский поток выстрелов по непораженным единицам противника. Обозначим через А, и Л, средние скорострельности одной боевой единицы соответственно 1-ой и 2-ой группировок, а через Р, и Р— вероятности успешных выстрелов. В силу независимости успешных выстрелов перейдем от пуассоновских потоков с плотностями А, и А, к пуассоновским потокам успешных выстрелов с плотностями Л, = Я,Р, и Л = А Р . Л,, Л вЂ” эффективные скорострельности, количество боевых единиц может только уменьшаться, так как ввода резервов нет.

Пусть Р, (1) (Р2 (1) ) есть вероятность того, что в моменг времени 1 в 1-ой группировке (во 2-ой группировке) сохранилось ~ (~ ) боевых единиц, где О < г < Ж (О < у < Ф ). Найдем Р, '(1 + сй) . Эта вероятность равна вероятности того, что в момент времени 1 1-я группировка состоит из Ж1 единиц, умноженной на вероятность того, что за время Ш 2-я группировка не смогла произвести успешного выстрела. Учитывая, что: ))~л Л1

Р (Е) =1,и аамеиаа та =~ЖРа (1), ьо й-1

Р~г иеаучаем Р™'(е + еее) = Ри (!) Ре -е ~Р~(!)(1 — ЖЛ1е1е)

1=1 бб