dynamics_sr (1156060), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

и

будут изображаться одной парой кривых на плоскости , отвечающей , хотя 2-й бой в действительности будет в 2 раза быстротечнее:

Для 1-го боя , а для 2-го , откуда .

Заметим, что, если увеличить в 2 (k) раза при других неизменных параметрах, то и увеличится в 2 (k) раза, а если увеличить в 2 (k) раза, то увеличится в ( ) раза, т. е. увеличение численности дает большее преимущество, чем такое же увеличение скорострельности. Такой характер зависимости от и получил название квадратичного закона Ланчестера.

Учебный вопрос №2. УРАВНЕНИЕ БОЯ ЛАНЧЕСТЕРА (модель Б).

После замены

Обозначим Окончательно имеем:

Разделим 2-е уравнение на 1-е: откуда где

После подстановки в 1-е дифференциальное уравнение получим отсюда , где

Умножим обе части последнего уравнения на и преобразуем

После интегрирования получим:

, где

В результате преобразований получим:

Решив относительно , будем иметь:

Аналогично для

При имеем неопределенность .

Пусть тогда

.

Вычтем из 1-го уравнения 2-е причем при если , то т. к. и и, следовательно т. е. . Если , то так же, как и ранее, получим . Итак:

а). Если --побеждает 1-я группировка;

б). Если -- 2-я;

в). Если -- ничья.

Учебный вопрос №3. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ БОЯ ДВУХ МНОГОЧИСЛЕННЫХ ГРУППИРОВОК.

Рассмотрим еще один пример применения метода динамики средних. Система при t=0 состоит из самолетов. Возможные состояния самолетов:

1- исправен, выполняет боевое задание,

1 2- поврежден, возвращается на аэродром,

3- сбит.

2 3

В состоянии 2 самолет подвергается обстрелу и может быть сбит. --плотность пуассоновского потока перехода из состояния в состояние . Пусть плотность огня по исправным единицам , вероятность повредить самолет , сбить-- , тогда Аналогично , где -- плотность потока выстрелов по поврежденному самолету; -- вероятность сбить поврежденный самолет одним выстрелом.

Найдем следующие вероятности:

Переходя от разностных уравнений к дифференциальным, получим:

Выведем теперь дифференциальное уравнение для .

С другой стороны можно написать:

где есть вероятность перехода из состояния 1 в состояние 2 за время одной единицы. Переходя к дифференциальному уравнению, получим:

что полностью совпадает с выведенным ранее дифференциальным уравнением для .

Аналогично

откуда

Система дифф. уравнений имеет следующие начальные условия:

В общем случае необходимо:

1. Начертить граф возможных переходов;

2. Для i-й вершины графа

где 1-я сумма относится к стрелкам, исходящим из -й вершины, а 2-я сумма—к входящим в -ю вершину.

Проиллюстрируем эти правила на следующем примере:

С истема состоит из самолетов. Каждый самолет может находиться в одном из следующих состояний:

1. И справен

2. Проходит мелкий ремонт

3. П роходит капитальный ремонт

4. Не ремонтируется

Переходы самолетов из одних состояний в другие происходят с плотностями . Выпишем дифф. уравнения:

Лекции составил:

подполковник В. Ярошенко.

Характеристики

Список файлов лекций