А.А. Шкаликов - Конспект лекций

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ (6 СЕМЕСТР)

ЛЕКТОР ШКАЛИКОВ А.А.

В нашем нынешнем курсе мы рассмотрим вопросы, которые можно разбить на следующие три части:

1) спектральная теория

Рекомендуемая литература к этой главе - лекции и книга Рид М., Саймон Б. “Функциональный анализ” (это первый том четырехтомника “Методы современной математической физики”)

2) обобщенные функции

Хорошей литературы по этой теме лектор нигде не видел, поэтому читать раздел об обобщенных функциях он будет по-своему. Однако есть все же книга, в которой можно будет найти полезные сведения – это книга Гельфанд И., Шилов Г. “Обобщенные функции и действие над ними”. В это книге, по словам лектора, представлен такой рабоче-крестьянский подход к изложению темы

3) преобразования Фурье, гармонический анализ

Рекомендуемая литература к этой главе - лекции, книга Рид М., Саймон Б. “Гармонический анализ. Самосопряженность” (это второй том вышеуказанного четырехтомника), а также книга Колмогорова А.Н., Фомина С.В. “Элементы теории функций и функционального анализа”

4) возможен также аддон к лекциям в виде дополнительных вопросов спектральной теории, но он появится, если лектор успеет рассказать вышеуказанные три темы

Итак, приступим

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ.

ВВЕДЕНИЕ

В прошлом семестре мы обозначали пространство всех ограниченных линейных операторов, действующих из банахова пространства в банахово пространство , через . Обозначим здесь и далее через пространство , где банахово.

Замечание: Пространство с нормой является банаховым.

Замечание: L(X) является даже банаховой алгеброй.

Определение: Точка является резольвентной точкой оператора (или иначе – принадлежит резольвентному множеству ), если оператор - биекция. Об обозначениях: здесь и далее будем писать вместо просто , а через будем обозначать тождественный оператор.

Понятие, которое мы сейчас определили очень важно в теории спектров, а потому стоит дать ему еще одно, эквивалентное

Определение: Точка является резольвентной точкой оператора , если ограниченный обратный оператор .

Это действительно будут эквивалентные определения, т.к все мы помним теорему Банаха об обратном операторе. По теореме если у нас есть биективный оператор из в , где – банахово, то и он ограничен. Обратно, если у нас для оператора существует ограниченный обратный, то будет определен на всем . Тогда оператор обязан быть инъективным, чтобы существовал однозначно определенный прообраз, сюръективность нужна для того, чтобы был корректно определен обратный.

Определение: Множество называется спектром оператора .

Раньше у нас были различные конечномерные пространства (матрицы , и прочие), в них спектру соответствовали собственные значения. А это понятие уже в свою очередь было важнейшим понятием в линале, дуфурах и других дисциплинах. В -мерном пространстве это понятие наполняется новым содержанием.

Рассмотрим в -мерном банаховом пространстве Х вопрос о том, почему оператор может не иметь ограниченного обратного:

1)

Тогда является собственным значением (поскольку , т.е. ). И оператор в этом случае задает неинъективное отображение на себя.

2)

Тогда обратный оператор просто не может быть корректно определен, т.к. не сюръективен.

Замечание: В -мерном пространстве и никак между собой не связаны и поэтому 1) не влечет 2), а 2) не влечет 1).

ПРИМЕР:

Рассмотрим оператор сдвига в . . Очевидно, что , а при этом , т.к. в образе первая компонента всегда равна 0.

ЛЕММА. Пусть и . Тогда обратим, т.е. .

Доказательство: Обозначим и .

Тогда покажем, что последовательность фундаментальна в : будем считать, что n < m

при . Т.о. последовательность в полном пространстве (ведь у нас банахово - это было в самом начале лекции) фундаментальна, т.е. сходится к элементу . Заметим, что сходимость у нас равномерная: . Далее заметим, что если и , то и . Тогда запишем: . Аналогично получаем, что . Теперь, используя соображение, приведенное чуть выше, получаем и . Таким образом, в силу того, что предел у нас единственен, получаем: .

Т.е. оператор является обратным к по определению, т.е. . ЧТД

Возникшая в ходе доказательства леммы последовательность операторов, очевидно, является последовательностью частичных сумм ряда . Этот ряд называется операторным рядом Неймана. Ясно, что оператор, обратный к , является суммой указанного ряда, т.е. обратный к может быть построен в явном виде.

ТЕОРЕМА. - открытое множество в .

Доказательство: Пусть . Возьмем из некоторой окрестности точки (радиус этой окрестности мы сейчас укажем). Тогда запишем: , обратим, т.к. . Теперь сведем все к известному факту из курса алгебры: если операторы и обратимы, то обратим и оператор , причем . Осталось сделать так, чтобы оператор был обратим. Воспользуемся только что доказанной леммой: если , то обратим. Таким образом, при по лемме оператор будет обратим. Т.е. если , то : оператор обратим. А это значит, что резольвентная точка содержится в вместе со своей окрестностью указанного вида. Что и означает, что - открытое множество в .ЧТД

Напомним, что мы условились обозначать через оператор , где . В дальнейшем будет полезна

ТЕОРЕМА. Справедливо тождество Гильберта:

выполнено .

Доказательство: запишем:

, а теперь умножаем это очевидное тождество справа на и слева на . Учитывая, что , получаем требуемое. ЧТД

ЛЕММА. Пусть и . Тогда .

Доказательство: поскольку , то можем считать, что . Тогда , поскольку . А это так, поскольку . ЧТД

Рассмотрим теперь - оператор-функцию со значениями в , - область в .

Определение: называется голоморфной оператор-функцией, если .

Замечание: Здесь предел понимается в смысле равномерной операторной топологии.

ТЕОРЕМА. - голоморфная оператор-функция в .

Доказательство: эта теорема - прямое следствие определения и тождества Гильберта:0 . ЧТД

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. - круг радиуса .

Доказательство: запишем:

- этот оператор обратим, если по лемме в самом начале. Поэтому, если , . ЧТД

Следующая теорема довольно важна. И студенты, частенько забывая от напряжения о ней на экзаменах, говорят преподавателям:”…ну, значит, нет у этого оператора спектра.” И сразу замечают, как лица экзаменаторов постепенно округляются. Они-то знают, что такого быть не может. Итак,

ТЕОРЕМА. .

Т.е. хотя бы одна точка комплексной плоскости в спектре найдется и будет лежать в круге радиуса . Заметим также, что этот факт верен лишь для ограниченных операторов.

Доказательство: пусть , а (это, напомним, пространство непрерывных линейных функционалов на , ). Введем следующее обозначение: далее будем писать вместо выражение , т.е. . Рассмотрим - голоморфную в функцию, это будет . Это будет обычная голоморфная функция (для пущей убедительности – “скалярная”).

Пусть . Тогда голоморфна в и при этом при в силу того, что и , т.е. при резольвентный оператор по норме стремится к нулю, поэтому при фиксированных элементах и : и тем более . А раз голоморфна в и , то ограничена в . А т.к. ограничена и голоморфна в , то по теореме Лиувилля . Далее, учитывая, что на -ти , получаем, что . Но очевидно, при некотором обратимый оператор переводит его в элемент , но тогда : . Т.е получили противоречие. ЧТД

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2я лекция

Определение: Число называется спектральным радиусом оператора .

Можно дать эквивалентное определение понятия спектрального радиуса (вполне очевидное): . Причем этот супремум достигается, т.к. спектр – замкнутое множество (компакт).

А теперь мы докажем аналог формулы Коши-Адамара

ТЕОРЕМА. .

Доказательство: обозначим правую часть формулировки через , т.е. .

Заметим, что (*). Этот ряд сходится в равномерной топологии при , т.к. при , поскольку , т.е. все такие, что принадлежат . Значит, .

Докажем, что . Рассмотрим фиксированные и рассмотрим - скалярная голоморфная в функция. Разложим в ряд Лорана в точке : . голоморфна при по определению спектрального радиуса (т.к. спектр лежит в круге радиуса ). Т.к. ряд Лорана сходится, то выполнено необходимое условие: при , где . Рассмотрим функционал на : . По теореме Банаха-Штейнгауза имеем . “Разморозим” , тогда по теореме Банаха-Штейнгауза имеем, что такое, что . Теперь “разморозим” и опять применим теорему Банаха-Штейнгауза: . Значит, , что равносильно . Но , значит, и это . Следовательно, . Откуда и следует утверждение теоремы. ЧТД _____________________________________________________________________________________________________