А.А. Шкаликов - Конспект лекций, страница 2

Этот вариант предлагался на лекции. Если он читателя не устроит, предлагается другое доказательство по мотивам книжки Кириллова и Гвишиани [2]. Итак,

Доказательство: для начала рассмотрим положительную последовательность со свойством: . Покажем, что предел существует и равен . Заметим, что . Далее, чтобы сравнить и , достаточно сравнить и , а для этого достаточно сравнить и . Но в силу только что сделанного замечания , значит, , т.е. последовательность невозрастающая с положительными членами. Значит .

Теперь положим , в силу имеем , что в терминах последовательности запишется . Значит, , а значит, в силу непрерывности и монотонного возрастания логарифма на получаем, что .

Осталось заметить, что разложение резольвенты в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки задается формулой (*) из первого доказательства. Радиус сходимости этого ряда , очевидно, равен . Однако, по формуле Адамара радиус сходимости вышеобозначенного ряда связан с коэффициентами разложения соотношением . ЧТД ______________________________________________________________________________________________________

Замечание: рассмотрим следующий оператор в . Можно показать, что его спектральный радиус , при этом , как нетрудно видеть, т.е. .

СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР

Так исторически сложилось, что единого подхода к определению сопряженного оператора нет. В разных пространствах это понятие вводят по-разному. Сначала мы определим его для банаховых пространств и рассмотрим свойства сопряженного оператора в банаховом пространстве. А затем перейдем к рассмотрению сопряженных операторов в гильбертовых пространствах.

СЛУЧАЙ БАНАХОВА ПРОСТРАНСТВА:

Пусть и , а . Тогда введем обозначение (было в прошлом семестре): . При фиксированном это будет некоторый линейный функционал на , поэтому : . Важно понимать, что это не теорема Рисса(!). Определим теперь сопряженный оператор : мы строим вышеуказанным способом элемент и полагаем . Таким образом, по определению , при этом сопряженный к линейному непрерывному оператор тоже будет линейным и непрерывным на .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. – ограниченный оператор из в .

Доказательство: заметим, что , аналогично и про сопряженный можно записать . А поскольку по определению, то очевидно получаем . А это значит, что ограничен. ЧТД

Теперь докажем некоторые

СВОЙСТВА операции сопряжения:

1)

Док-во:

2) Док-во:

3) Док-во:

А из свойства 3) следует, что , т.е. . Таким образом, операции сопряжения и обращения коммутируют.

СЛУЧАЙ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА:

Пусть теперь и . Сейчас воспользуемся тем, что в есть скалярное произведение .

Определение: Оператор называется сопряженным к оператору , если .

Замечание: Важно различать: в банаховом сопряженный действует из в , а в гильбертовом сопряженный оператор действует из в . Но как и в случае банаховых пространств в гильбертовых сопряженный к оператор существует и единственен (это следствие теоремы Рисса-Фреше у нас было в прошлом семестре).

У сопряжения в гильбертовом пространстве имеются аналогичные сопряжению в банаховом

СВОЙСТВА:

1)

2) Док-во:

3)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. .

Здесь черта означает сопряжение.

Доказательство: сперва заметим, что . Тогда . Откуда получаем, что если , то . А это значит, что . Или, что равносильно, . ЧТД

Замечание: Ясно, что подобные рассуждения можно прокрутить и для банахова пространства, тогда получим, что в банаховых пространствах .

Важная договоренность: Далее, если не оговорено противное, полагаем, что - гильбертово, причем сепарабельно. Также разумно рассматривать лишь бесконечномерные пространства, т.к. конечномерные пространства и так были хорошо разобраны в курсе линала. Отклонения от уговора будут отмечаться особо.

ТЕОРЕМА. .

Замечание: Здесь черта означает замыкание. всегда замкнут. В теореме оператор и сопряженный ему можно поменять местами - .

Доказательство: пусть , а . Тогда , т.е. . А значит , т.к. скалярное произведение непрерывно.

Почему их сумма даст все ? Пусть , тогда имеем , т.к. . Но это значит, . Но . Т.е. . ЧТД

ЛЕММА. Пусть : .Тогда замкнут.

Доказательство: условие в теореме означает отделенность от нуля оператора. Пусть , , и . Докажем, что : . Заметим, что при . А тогда - фундаментальна в : при . Но тогда , где . ЧТД

УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что в условиях леммы у оператора левый обратный.

ТЕОРЕМА.(Следствие из леммы) Если и , то обратим.

Определение: Множество называется числовым образом оператора.

ТЕОРЕМА. , более того .

Здесь означает расстояние от резольвентной точки до замыкания множества .

Доказательство: по выражению лектора дешевое доказательство

Пусть . Тогда .

Итак, получили

(1) , тогда

(2) . Следовательно,

(2) Говорит о том, что и . Из (1) и (2) получаем, что обратим по предыдущей теореме-следствию. Таким образом, мы взяли число не из и показали, что это число лежит в . Значит, .

Далее, из (1) имеем также, что и , но тогда , а значит, когда будем брать супремум по всем , он окажется также . Т.е. - еще одно утверждение теоремы. ЧТД

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 3я лекция

ТЕОРЕМА(Теплица-Хаусдорфа).

Числовой образ оператора – выпуклое множество, т.е. отрезок .

Доказательство: пусть и , . Покажем, что , где , т.е. . Ясно, что это и будет означать справедливость теоремы. А то, что мы записали, эквивалентно следующему: такой, что

(*). После приведения этого выражения к виду уравнения от , получим: . Для нашего доказательства и не важны, найдем и : и . Итак, получили уравнение на . Пусть , тогда (*) перепишется: приведенные уравнения

. Это уравнение на точки пересечения окружности (с началом координат внутри нее) и примой, проходящей через это начало. Очевидно, у нас есть всегда два различных решения этой системы. А значит, аж две точки в , удовлетворяющие условию (*). ЧТД

САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР

Определение: Оператор называется самосопряженным, если .

Далее, если это особо не оговорено, все операторы самосопряженные.

Мы уже знаем, что в гильбертовом пространстве , в частности, спектр самосопряженного оператора симметричен относительно вещественной оси. Докажем более сильное утверждение:

ТЕОРЕМА. Пусть - самосопряженный, тогда вещественный.

Доказательство: в теореме о числовом образе мы установили, что . А если , то , т.е. числовой образ состоит из чисел, которые себе комплексно сопряжены, а значит, вещественны. Таким образом, . ЧТД

Итак, если самосопряженный, то (как и ), а помня теорему Теплица-Хаусдорфа, т.е. что выпуклое множество, легко видеть, что некоторый отрезок:

и . Важно понимать, что вовсе не обязательно

ЛЕММА. Пусть и . Тогда .

Доказательство:

это неравенство верно , возьмем . Тогда запишем: . Таким образом, . ЧТД

ТЕОРЕМА. Если , то .

Доказательство: только что мы доказали, что . Докажем обратную оценку:

. А значит, . Далее, мы доказывали, что . Но ведь , а и (это мы сейчас докажем), следовательно, указанный максимум достигается либо на , либо на . ЧТД

ТЕОРЕМА. Пусть - самосопряженный, а и . Тогда .

Доказательство: рассмотрим оператор . Проверим, что . Достаточно проверить это неравенство на единичной сфере: пусть , тогда . Но для всех элементов числового образа выполнено: , подставляя это двойное неравенство в выражение строкой выше получаем, что при . А это означает, что . Таким образом, , при этом (важно!) и . То же самое можно сказать, заменив числовой образ на спектр: и . По предыдущей теореме , т.к. , как видно ниже. Поэтому .

Но и . А раз так, то оператор необратим. Следовательно, .

Аналогичное доказательство проводится и для того, чтобы доказать, что . Для этого надо рассмотреть оператор . В этом случае также будет и . ЧТД

Замечание: попутно в доказательстве мы применили одну замечательную конструкцию. Мы ввели сравнение оператора с числами, а соответственно и операторов между собой. Подробнее об этом в (Д).

Теперь мы готовы приступить к одной из важных теорем.

ТЕОРЕМА (Гильберта). Пусть и - компактный оператор в гильбертовом сепарабельном пространстве . Тогда в ПОНС , состоящая из собственных векторов, отвечающих собственным значениям оператора , причем .

По поводу утверждения необходимо сказать несколько слов, т.к. теорема действительно важная.