На практике оказывается обычно достаточно сложить 45 пото­ков, чтобы получить поток, с которым можно оперировать как с простейшим.

Простейший поток играет в теории массового обслуживания осо­бенно важную роль. Во-первых, простейшие и близкие к простейшим потоки заявок часто встречаются на практике (причины этого изло­жены выше). Во-вторых, даже при потоке заявок, отличающемся от простейшего, часто можно получить удовлетворительные по точ­ности результаты, заменив поток любой структуры простейшим с той же плотностью. Поэтому займемся подробнее простейшим потоком и его свойствами.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС № 4

Законы распределения СОБЫТИЙ В простейшеМ потоке.

Рассмотрим на оси времени простейший поток событий и на этой оси
выделим произвольный участок времени .

Р
азобьем интервал  на n равных частей длиной и представим общее число событий в интервале .

Поставим задачу:

1. Какова вероятность того, что за время  произойдет ровно k событий? P[X() = k] = ?

2) Определим математическое ожидание числа событий за время ?

Для определения вероятности точного числа событий за время  воспользу­емся производящей функцией. (Общая теорема о повторении опытов)

Д
ля нашего случая:

- вероятность появления ровно k событий за время  (искомая величина)

- вероятность появления события в одном интервале

В силу ординарности, есть вероятность появления одного события в интер­вале . Вероятность появления в интервале более одного события бесконечно мала.

Производящая функция величины () по определению равна:

т. к. средняя плотность потока одинакова для всех интервалов.

Проведем преобразование производящей функции

Н
ам необходимо получить выражение вида

Разложим полученную производящую функцию по z-степеням

Т

еперь ответим на поставленный вопрос: вероятность того, что за время  произойдет ровно k событий равна

Определим теперь математическое ожидание числа событий за время

- среднее число событий в единицу времени (или плотность потока)

Важной характеристикой потока является закон распределения длины промежутка между соседними событиями (Т). Найдем закон распределения величины Т.

Функция распределения - это вероятность того, что на участке длинной t, который начинается в момент , появится хотя бы одно событие.

П
лотность распределения

З акон распределения f(t) с плот­ностью называется показательным законом, а величина — его параметром. График плот­ности представлен на рис. 7

Показательный закон, как мы увидим в дальнейшем, играет боль­шую роль в теории дискретных случайных процессов с непрерывным временем. Поэтому рассмотрим его подробнее.

Найдем математическое ожидание величины , распределенной по показательному закону:

.

Дисперсия величины равна ,

Докажем одно замечательное свойство показательного закона. Оно состоит в следующем: если промежуток времени, рас­пределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то это никак не влияет на за­кон распределения оставшейся части промежутка: он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка .

Для доказательства рассмотрим случайный промежуток времени с функцией распределения

и предположим, что этот промежуток уже, продолжается некоторое время , т. е. произошло событие . Найдем при этом предпо­ложении условный закон распределения оставшейся части промежутка ; обозначим его

.

Докажем, что условный закон распределения не зависит от и равен . Для того чтобы вычислить , найдем сна­чала вероятность произведения двух событий

и .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Но событие равносильно событию , вероятность которого равна

.

С другой стороны,

,

следовательно,

,

откуда, получим

.

что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что если промежуток времени распределен по показательному закону, то любые сведения о том, сколько времени уже протекал этот промежуток, не влияют на закон распределения оставшегося времени. Можно доказать, что показатель­ный закон — единственный, обладающий таким свойством. Это свой­ство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для «отсутствия последействия», которое является основным свойством простейшего потока.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС № 5

Нестационарный пуассоновский поток

Если поток событий нестационарен, то его основной характери­стикой является мгновенная плотность . Мгновенной плотностью потока называется предел отношения среднего числа событий, приходящегося на элементарный участок времени , к длине этого участка, когда последняя стремится к нулю:

,

где — математическое ожидание числа событий на участке .

Рассмотрим поток однородных событий, ординарный и без после­действия, но не стационарный, с переменной плотностью . Такой поток называется нестационарным пуассоновским потоком. Это — первая ступень обобщения по сравнению с простейшим пото­ком. Легко показать методом, аналогичным примененному в что для такого потока число событий, попадающих на участок длины , начинающийся в точке , подчиняется закону Пуассона

( ),

где — математическое ожидание числа событий на участке от до , равное

.

Здесь величина зависит не только от длины участка, но и от его положения на оси .

Найдем для нестационарного потока закон распределения промежутка времени между соседними событиями. Ввиду нестационарности потока этот закон будет зависеть от того, где на оси расположено первое из событий. Кроме того, он будет зависеть от вида функции . Предположим, что первое из двух соседних событий появилось в момент , и найдем при этом условии закон распределения времени между этим событием и последующим:

.

Найдем — вероятность того, что на участке от до не появится ни одного события:

,

откуда

.

Дифференцируя, найдем плотность распределения

( ).

Это закон распределения уже не будет показательным. Вид его зависит от параметра и вида функции . Например, при линейном изменении

плотность имеет вид

.

График этого закона при , и представлен на рис. 8

Несмотря на то, что структура нестационарного пуассоновского потока несколько сложнее, чем простейшего, он очень удобен в прак­тических применениях: главное свойство простейшего потока — отсут­ствие последействия — в нем сохранено. А именно, если мы зафикси­руем на оси произвольную точку , то закон распределения времени , отделяющего эту точку от ближайшего по времени будущего события, не зависит от того, что происходило на участке времени, предшествующем , и в самой точке (т. е. появлялись ли ранее другие события и когда именно).

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС № 6

Поток с ограниченным последействием

поток Пальма

В предыдущем п мы познакомились с естественным обобщением простейшего потока с нестационарным пуассоновским потоком. Обобщением простейшего потока в другом направлении является поток с ограниченным последействием.

Р
ассмотрим ординарный поток однородных событий (рис. 9). Этот поток называется потоком с ограниченным последействием (или потоком Пальма), если промежутки времени между последо­вательными событиями , представляют собой независимые случайные величины.

Очевидно, простейший поток является частным случаем потока Пальма: в нем расстояния представляют собой неза­висимые случайные величины, распределенные по показательному за­кону. Что касается нестационарного пуассоновского потока, то он не является потоком Пальма. Действительно, рассмотрим два соседних промежутка и в нестационарном пуассоновском потоке. Как мы видели в предыдущем п, закон распределения промежутка между событиями в нестационарном потоке зависит от того, где этот про­межуток начинается, а начало промежутка совпадает с концом промежутка ; значит, длины этих промежутков зависимы.

Рассмотрим примеры потоков Пальма.

1. Некоторая деталь технического устройства (например, радио­лампа) работает непрерывно до своего отказа (выхода из строя), после чего она мгновенно заменяется новой. Срок безотказной работы летали случаен; отдельные экземпляры выходят из строя независимо друг от друга. При этих условиях поток отказов (или поток «восста­новлений») представляет собой поток Пальма. Если, к тому же, срок работы детали распределен по показательному закону, то поток Пальма превращается в простейший.

2
. Группа самолетов идет в боевом порядке «колонна» (рис. 9) с одинаковой для всех самолетов скоростью . Каждый самолет, кроме ведущего, обязан выдерживать строй, т. е. держаться на задан­ном расстоянии , от впереди идущего. Это расстояние, вследствие погрешностей радиодальномера, выдерживается с ошибками. Моменты пересечения самолетами заданного рубежа образуют поток Пальмам так как случайные величины ; ; независимы. За­метим, что тот же поток не будет потоком Пальма, если каждый из самолетов стремится выдержать заданное расстояние не от соседа, а от ведущего.

Потоки Пальма часто получаются в виде выходных потоков си­стем массового обслуживания. Если на какую-либо систему поступает какой-то поток заявок, то он этой системой разделяется на два: по­ток обслуженных и поток необслуженных заявок.

Поток необслуженных заявок часто поступает на какую-либо дру­гую систему массового обслуживания, поэтому представляет интерес изучить его свойства.