— канал занят.

П
ереходы из состояния в состояние обратимы. Схема возможных переходов показана на рис.2

Д
ля -канальной системы такого же типа схема возможных пере­ходов показана на рис.3 Состояние — все каналы свободны; — занят ровно один канал, — занято ровно два канала и т. д.

Для того чтобы описать случайный процесс, протекающий в дискретной системе с непрерывным временем, прежде всего нужно проанализировать причины, вызывающие переход системы из состоя­ния в состояние. Для системы массового обслуживания основным фактором, обусловливающим протекающие в ней про­цессы, является поток заявок. Поэтому математическое описание любой системы массового обслуживания начинается с описания потока заявок.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС № 3

Поток событий. Простейший поток и его свойства.

П
од потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то мо­менты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефон­ной станций; поток включений приборов в бытовой электросети; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение; поток сбоев (неисправностей) электронной вычислительной машины; поток выстре­лов, направляемых на цель во время обстрела, и т. п. События, обра­зующие поток, в общем случае могут быть различными, но здесь мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, различаю­щихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек на числовой оси, соответствующих моментам появления событий.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок.

В настоящем п мы рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особенно простыми свойствами. Для этого введем ряд определений.

1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной (рис. 5) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок.

2. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Если поток событий обладает, всеми тремя свойствами (т. е. стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении условий 13 число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона

Рассмотрим подробнее условия 13, посмотрим, чему они соот­ветствуют для потока заявок и за счет чего они могут нару­шаться.

1. Условию стационарности удовлетворяет поток заявок, вероят­ностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, для стационарного потока характерна постоянная плотность (среднее число заявок в единицу времени). На практике часто встре­чаются потоки заявок, которые (по крайней мере, на ограниченном отрезке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в те­чение целых суток уже не может считаться стационарным (ночью плотность вызовов значительно меньше, чем днем). Заметим, что так обстоит дело и со всеми физическими процессами, которые мы назы­ваем «стационарными»: в действительности все они стационарны лишь на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности — лишь удобный прием, применяемый в целях упро­щения анализа. Во многих задачах теории массового обслуживания представляет интерес проанализировать работу системы при постоян­ных условиях; тогда задача решается для стационарного потока заявок.

2. Условие отсутствия последействия — наиболее существенное для простейшего потока — означает, что заявки поступают в систему не­зависимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия потому, что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в тот, а не другой момент, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Однако условие отсутствия после­действия может быть легко нарушено за счет появления такой зави­симости. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой.

Вообще нужно заметить, что выходной поток (или поток обслу­женных заявок), покидающий систему массового обслуживания, обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим одноканальную систему массового обслу­живания, для которой время обслуживания одной заявки вполне опре­делено и равно . Тогда в потоке обслуженных заявок минимальный интервал времени между заявками, покидающими систему, будет ра­вен . Нетрудно убедиться, что наличие такого минимального интер­вала неизбежно приводит к последействию. Действительно, пусть стало известно, что в какой-то момент систему покинула обслуженная заявка. Тогда можно утверждать с достоверностью, что на любом участке времени т, лежащем в пределах , обслуженной заявки не появится; значит, будет иметь место зависимость между чи­слами событий на неперекрывающихся участках.

Последействие, присущее выходному потоку, необходимо учитывать, если этот поток является входным для какой-либо другой системы массового обслуживания (так называемое «многофазовое обслуживание», когда одна и та же заявка последовательно переходит из системы в систему).

Отметим, между прочим, что самый простой на первый взгляд ре­гулярный поток, в котором события отделены друг от друга равными интервалами, отнюдь не является «простейшим» в нашем смысле слова. так как в нем имеется ярко выраженное последействие: моменты появ­ления следующих друг за другом событий связаны жесткой, функцио­нальной зависимостью. Именно из-за наличия последействия анализ процессов, протекающих в системе массового обслуживания при регу­лярном потоке заявок, гораздо сложнее, чем при простейшем.

3. Условие ординарности означает, что заявки приходят пооди­ночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток атак, которому подвергается воздушная цель в зоне действия истребительной авиа­ции, будет ординарным, если истребители атакуют цель поодиночке, и не будет ординарным, если истребители идут в атаку парами. Поток клиентов, входящих в парикмахерскую, может считаться практически ординарным. Если в неординарном потоке заявки поступают только парами, только тройками и т. д., то неординарный поток легко свести к орди­нарному; для этого достаточно вместо потока отдельных заявок рас­смотреть поток пар, троек и т. д. Сложнее будет, если каждая заявка случайным образом может оказаться двойной, тройной и т. д. Тогда уже приходится иметь дело с потоком не однородных, а разнород­ных событий.

В дальнейшем мы для простоты ограничимся рассмотрением ординарных потоков.

Простейший поток играет среди потоков событий вообще особую роль, до некоторой степени аналогичную роли нормального закона среди других законов распределения. Мы знаем, что при суммирова­нии большого числа независимых случайных величин, подчиненных практически любым законам распределения, получается величина, приближенно распределенная по нормальному закону. Аналогично можно доказать, что при суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым по­следействием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему. Условия, которые должны для этого соблюдаться, аналогичны условиям центральной предельной теоремы, а именно — складываемые потоки должны оказывать на сумму приблизительно равномерно малое влияние.

Н
е доказывая этого положения и даже не формулируя математи­чески условия, которым должны удовлетворять потоки, проиллюстри­руем его элементарными рассуждениями. Пусть имеется ряд незави­симых потоков «Суммирование» потоков состоит в том, что все моменты появления событий сносятся на одну и ту же ось , как показано на рис.6 Предположим, что потоки сравнимы по своему влиянию на суммарный поток (т. е. имеют плотности одного порядка), а число их достаточно велико. Предположим, кроме того, что эти потоки стационарны и ординарны, но каждый из них может иметь после­действие, и рассмотрим суммарный поток

на оси (рис. 6). Очевидно, что поток должен быть ста­ционарным и ординарным, так как каждое слагаемое обладает этим свойством и они независимы. Кроме того, достаточно ясно, что при увеличении числа слагаемых последействие в суммарном потоке, даже если оно значительно в отдельных потоках, должно постепенно сла­беть. Действительно, рассмотрим на оси два неперекрывающихся отрезка и (рис. 6). Каждая из точек, попадающих в эти отрезки, случайным образом может оказаться принадлежащей тому или иному потоку, и по мере увеличения в удельный вес точек, при­надлежащих одному и тому же потоку (и, значит, зависимых), должен уменьшаться, а остальные точки принадлежат разным потокам и появляются на отрезках , независимо друг от друга. Достаточно естественно ожидать, что при увеличении суммарный поток будет терять последействие и приближаться к простейшему.