МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВОЕННОГО ОБУЧЕНИЯ

КАФЕДРА ПВО

У Т В Е Р Ж Д А Ю

Начальник военной кафедры Войск ПВО

ФВО при МГУ им. М.В. Ломоносова

полковник И.Я. КАЛАШНИКОВ

“ “ _____________ 1997 г.

ЛЕКЦИЯ

по военно-специальной подготовке

ВУС - 530700

ТЕМА 10. Методы оценки эффективности боевых действий войск с

использованием теории массового обслуживания.

Занятие 10.1

Обсуждена на методическом заседании цикла №24

протокол №____ от “ “ _____________ 199 г.

МОСКВА - 199 год

Учебные цели:

Дать понятие системы массового обслуживания. Познакомить с характеристиками СМО. Изучить простейший поток событий и его применение для анализа поведения систем массового обслуживания. Изучить потоки Эрланга. Познакомить студентов с методами применяемыми для анализа СМО

ВРЕМЯ - 2 часа

Учебные вопросы:

1. Предмет теории массового обслуживания.

2. Случайный процесс со счетным множеством состояний.

3. Поток событий. Простейший поток и его свойства.

4. Закон распределения событий в простейшем потоке.

5. Нестационарный Пуассоновский поток.

6. Поток с ограниченным последействием.

7. Время обслуживания.

8. Марковский случайный процесс.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС №1

Предмет теории массового обслуживания

За последние десятилетия в самых разных областях практики возникла необходимость в решении своеобразных вероятностных задач, связанных с работой так называемых систем массового обслуживания. Примерами таких систем могут служить: телефон­ные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, парикмахерские и т. п. Каждая такая система состоит из какого-то числа обслуживающих единиц, которые мы будем назы­вать «каналами» обслуживания. В качестве каналов могут фигури­ровать: линии связи; лица, выполняющие те ли иные операции; раз­личные приборы и т. п. Системы массового обслуживания могут быть как одно, так и многоканальными.

Работа любой системы массового обслуживания состоит в выпол­нении, поступающего на нее потока требований или заявок. Заявки поступают одна за другой в некоторые, вообще говоря, случайные, моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и снова готов для приема следующей заявки. Каждая система массового обслуживания, в зависимости от числа каналов и их производительности, обладает какой-то пропускной способностью, позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

Определение

Предмет теории массового обслуживания — установление зависимости между характером потока заявок, производительностью отдельного канала, числом каналов и успешностью (эффективностью) обслуживания

О Ч Е Р Е Д Ь

Канал-1

Канал-2

Диспетчер

Канал-i

Канал-n

В качестве характеристик эффективности обслуживания — в зависимости от условий задачи и целей исследования — могут применяться различные вели­чины и функции, например:

1. средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему необслуженными;

2. среднее время «простоя» отдельных каналов и системы в целом;

3. среднее время ожидании в очереди;

4. вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к исполнению;

5. закон распределения длины очереди

6. и т. д.

Каждая из этих характеристик описывает, с той или другой стороны, степень приспособленности системы к выполнению потока заявок, иными словами — ее пропускную способность.

Под «пропускной способностью» в узком смысле слова обычно понимают среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени. Наряду с нею часто рассматривают относительную пропускную способность — среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных. Пропускная способность (как абсолютная, так и относительная) в общем случае зависит не только от пара­метров системы, но и от характера потока заявок. Если бы заявки поступали регулярно, через точно определенные промежутки времени, и обслуживание каждой заявки тоже имело строго определенную длительность, расчет пропускной способности системы не предста­влял бы никакой трудности. На практике обычно моменты поступления заявок случайны; по большей части случайна и длительность обслу­живания заявки. В связи с этим процесс работы системы протекает нерегулярно: в потоке заявок образуются местные сгущения и разре­жения. Сгущения могут привести либо к отказам в обслуживании, либо к образованию очередей. Разрежения могут привести к непроиз­водительным простоям отдельных каналов или системы в целом. На эти случайности, связанные с неоднородностью потока заявок, накладываются еще случайности, связанные с задержками обслужи­вания отдельных заявок. Таким образом, процесс функционирования системы массового обслуживания представляет собой случайный процесс. Чтобы дать рекомендации по рациональной организации системы, выяснить ее пропускную способность и предъявить к ней требования, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, и описать его математически. Этим и занимается теория массового обслуживания.

Проблемы, родственные задачам массового обслуживания, постоянно возникают в военном деле. Каналы наведения, линии связи, аэродромы, устройства для сбора и обработки информации представляют собой своеобразные системы массового обслуживания со своим режимом работы и пропускной способностью.

На этом занятии будут изложены некоторые элементарные све­дения по теории массового обслуживания, знание которых необходимо любому инженеру, занимающемуся вопросами в военном деле.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС №2

Случайный процесс со счетным множеством состояний

Случайный процесс, протекающий в системе массового обслужива­ния, состоит в том, что система в случайные моменты времени пере­ходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов, число заявок, стоящих в очереди, и т. п. Дело в том, что система массового обслуживания представляет собой физическую систему дискретного типа с конечным (или счетным) множеством состояний, а переход системы из одного состояния в другое происходит скачком, в момент, когда осу­ществляется какое-то событие (приход новой заявки, освобождение канала, уход заявки из очереди и т. п.).

Рассмотрим физическую систему со счетным множеством со­стояний

.

В любой момент времени система может быть в одном из этих состояний. Обозначим ( ) вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого

.

Совокупность вероятностей для каждого момента времени ха­рактеризует данное сечение случайного процесса, протекающего в системе. Эта совокупность не является исчерпывающей характеристикой процесса (она, например, совсем не отражает зависимости между се­чениями), но все же достаточно хорошо описывает процесс и для ряда практических применений оказывается достаточной.

Случайные процессы со счетным множеством состояний бывают двух типов: с дискретным или непрерывным временем. Первые отлича­ются тем, что переходы и состояния в состояние могут происходить только в строго определенные, разделенные конечными интервала­ми моменты времени . Случайные процессы с непрерывным временем отличаются тем, что переход системы из состояния в со­стояние возможен в любой момент времени .

В качестве примера дискретной системы , в которой протекает случайный процесс с непрерывным временем, рассмотрим группу из самолетов, совершающих налет на территорию противника, обороняе­мую истребительной авиацией. Ни момент обнаружения группы, ни моменты подъема по ней истребителей заранее не известны. Различ­ные состояния системы соответствуют различному числу пораженных самолетов в составе группы:

— не поражено ни одного самолета,

— поражен ровно один самолет,

…

— поражено ровно самолетов,

…

— поражены все самолетов.

С
хема возможных состояний системы и возможных переходов из состояния в состояние показана на рис. 1

Стрелками показаны возможные переходы системы из состояния в состояние. Закругленная стрелка, направленная из состояния в него же, означаете, что система может не только перейти в соседнее состояние , но и остаться в прежнем. Для данной системы характерны необратимые переходы (пораженные самолеты не восстанавливаются); в связи с этим из состояния никакие пере­ходы в другие состояния уже невозможны.

Отметим, что на схеме возможных переходов (рис.1 ) пока­заны только переходы из состояния в соседнее состояние и не пока­заны «перескоки» через состояние: эти перескоки отброшены как практически невозможные. Действительно, для того чтобы система «перескочила» через состояние, нужно, чтобы строго одновременно были поражены два или более самолета, а вероятность такого собы­тия равна нулю.

Случайные процессы, протекающие в системах массового обслужи­вания, как правило, представляют собой процессы с непрерывным временем. Это связано со случайностью потока заявок.

В противопо­ложность системе с необратимыми переходами, рассмотренной в пре­дыдущем примере, для системы массового обслуживания характерны обратимые переходы: занятый канал может освободиться, оче­редь может «рассосаться».

В качестве примера рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания (например, одну телефонную линию), в которой заявка, заставшая канал занятым, не становится в очередь, а покидает си­стему (получает «отказ»). Это — дискретная система с непрерывным временем и двумя возможными состояниями:

— канал свободен,