Критерии согласия

КРИТЕРИЙ ПИРСОНА

КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА

Критерии, которые используются для проверки гипотез о виде закона распределения, называются критериями согласия .

Когда на основании опытных данных, путем их соответствующей обработки, высказано предположение о виде закона распределения и проведена оценка параметров распределения, формулируется соответствующая гипотеза. Например,

H₀: Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами :

H₀: Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром

 = 1,5 .

H₀: Случайная величина X распределена по закону Пуассона с параметром

После этого нужно проверять, согласуется ли высказанное предположение с имеющимися экспериментальными данными. Для этого чаще всего применяют

КРИТЕРИЙ ПИРСОНА или КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА

1. КРИТЕРИЙ ПИРСОНА .

При обработке статистического ряда выполняется группировка данных.

Для дискретной случайной величины мы записываем статистическое распределение выборки в виде перечня вариант и их частот (или относительных частот):

		x i	x 1	x 2	. . .	x k
		n i	n 1	n 2	. . .	n k
		w i	w 1	w 2	. . .	w k

Для непрерывной случайной величины данные группируются по интервалам

		(x i ;x i+1)	(x1;x2)	(x2;x3)	. . .	(xk;xk+1)
		n i	n 1	n 2	. . .	n k
		w i	w 1	w 2	. . .	w k

Так или иначе, при группировке все варианты разбиваются на группы и для каждой группы подсчитывается частота n _i попадания в эту группу (или относительная частота w _i ). Для проверки применимости предполагаемого закона распределения надо подсчитать по теоретическим формулам этого закона вероятности p_i попаданий в каждую группу и сравнить их с относительными частотами w _i - т.е., вероятностями, найденными экспериментальным путем .

Если отличие между ними окажется незначительным , гипотезу о виде закона

распределения надо принимать. Если различие существенно , гипотезу надо отвергать.

Но сравнивать надо много чисел p _i и w _i одновременно и объединить их в одну общую формулу для подсчета критерия.

В критерии Пирсона сравниваются не вероятности, а частоты : экспериментальные частоты n _i и так называемые теоретические частоты n _i’. Это частоты попаданий в группы, которые предсказываются предполагаемой теоретической формулой и они равны : n^ _i = p _i  n .

Величина, характеризующая отличие теоретических частот от эксперименталь-ных, подсчитывается по формуле :

( 1 )

Это и есть так называемый Критерий Пирсона .

У этой случайной величины закон распределения приблизительно совпадает с распределением ² с числом степеней свободы , равным : k = s - r - 1; . Здесь s -число групп, r -число параметров распределения, оцениваемых по выборке.

Замечание : при пользовании критерием Пирсона группы с малочисленными теоретическими частотами ( для которых n _i ^ 5 ) следует объединять .

Пример 1.

Задана выборка , полученная для непрерывной случайной величины X. Обработав ее, записать гипотезу о виде закона распределения. Проверить гипотезу, используя критерий Пирсона ( = 0.05).

	(x i ;x i+1)	(0;5)	(5;10)	(10;15)	(15;20)	(25; 30)	(30;35)	(35;40)
	n i	67	49	24	17	9	3	2

Здесь приведены сгруппированные опытные данные , полученные для непрерывной случайной величины. Для нее удобнее всего задавать плотность распределения . Для того, чтобы получить представление о плотности распределения надо строить гистограмму относительных частот . Подсчитываем относительные частоты попаданий в каждый интервал и высоты прямоугольников, из которых состоит гистограмма . Объем выборки равен 171 .

	(x i ;x i+1)	(0;5)	(5;10)	(10;15)	(15;20)	(20; 25)	(25;30)	(30;35)
	n i	67	49	24	17	9	3	2
	w i	0,3918	0,2865	0,1404	0,1994	0,0526	0,0175	0,0117
	h i	0,0784	0,0583	0,0281	0,0199	0,0105	0,0035	0,0023

3

Строим гистограмму относительных частот:

Полученный график позволяет предположить, что случайная величина подчиняется показательному закону распределения с плотностью распределения

Необходимо найти конкретное значение параметра  ( оценить его по выборке). Параметр  связан с математическим ожиданием :  = 1/ m _x . Оценим математическое ожидание по выборке:

		2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5
	n i	67	49	24	17	9	3	2

выборочная средняя

оценка для параметра  :

Итак, формулируем гипотезу о виде закона распределения:

H ₀ : случайная величина распределена по показательному закону с параметром

 = 0,1153.

Замечание: в разных вариантах заданий присутствуют разные законы распределения: равномерный, показательный и нормальный ).

Проверяем гипотезу по критерию Пирсона . Для этого нужно подсчитать вероятности попаданий в каждый из интервалов с использованием формул предполагаемого распределения. Для показательного распределения считаем их по известной формуле:

Найдем значения показательной функции и занесем в таблицу

	x i	0	5	10	15	20	25	30	35
	e - 0,1153 x	1	0,5617	0,3155	0,1773	0,0996	0,0559	0,0314	0,0176

Т

4

еперь находим вероятности p _i попаданий в интервалы а по ним уже теоретические частоты n^ _i = p _i  n. Результаты заносим в таблицу:

	(x i ;x i+1)	(0;5)	(5;10)	(10;15)	(15;20)	(20; 25)	(25;30)	(30;35)
	n i	67	49	24	17	9	3	2
	p i	0,4383	0,2462	0,1382	0,0777	0,0437	0,0245	0,0138
	n i	79,95	42,10	23,63	13,29	7,47	4,19	2,36

При использовании критерия Пирсона малочисленные группы ( с теоретическими частотами , меньшими либо равными 5 ) надо объединять с соседними. Здесь надо объединить две последние группы в один интервал и сложить соответствующие частоты

	(x i ;x i+1)	(0;5)	(5;10)	(10;15)	(15;20)	(20; 25)	(25;35)
	n i	67	49	24	17	9	5
	n i	79,95	42,10	23,63	13,29	7,47	6,55

Подставляем частоты в формулу критерия Пирсона и находим наблюдаемое значение критерия

По таблицам критических точек критерия ² находим ²_кр( k)

 = 0,05 - уровень значимости;