Теория вероятностей и матстат. 3 и 4 семестр.(к зачёту).

ОПР. заданы вер-ти элементарных событий ==> на  задана неотрицательная

числовая ф-ия Р: {по   }Р() = 1; Р задает на  распределение вер-тей.

ОПР. вер-тью А наз-ся число Р(А) =  {по  А} Р().

СВ-ВА. 1) Р() = 0; Р(1) = 1;

2) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

3) Р(А _{дополнит}) = 1—Р(А).

Вероятностные пространства.

ОПР. А* наз-ся алгеброй, если :

1. А*;

2. А,В А* ==> АВ и АВ А*

3. А  А* ==> А дополнит. =  \ А  А*.

ОПР. класс мн-в F наз-ся алгеброй (борелевским поле событий), if (2) верно

для любой посл-ти событий: {A_n}  F ==> Аn и An тоже  F. n[1,+].

ОПР. Пара (,А*) или (,F) наз-ся измеримым пространством.

Примеры измеримых пространств: 1) веществ. прямая и -а борел. мн-в.

2)  дискретно ==> изм. простр. (,F), где F -- -а, явл. мн-вом всех подмн-в.

ОПР. min - алгебра, содержащая все открытые интервалы, наз-ся борелевской.

Её эл-ты наз-ся борелевскими множествами.

ОПР. Наименьшая -а, содержащая мн-во В, наз-ся -а, порожденной В.

Обозначается (В).

ЗАМ. Борелевская -а в Rⁿ есть -а, порожденная прямоугольниками или сферами.

ЗАМ. Если  счётно, то (  ) совпвдает с (всех подмножеств ).

А  А* событием не является!

ОПР. Вероятность Р на множестве (,F) – числовая ф-ия, опр-ая на мн-ве из F :

1. Р() = 1;

2. Р(А)  0;

3. Аддитивность: Ai Aj = , i  j; Ai  F ==> P({n=1 to }An =

= {n=1 to }P(An).

ОПР. Тройка (, F,P) наз-ся вероятностным пространством, а (, А*,P) –

вероятностным пространством в широком смысле. Р – распределение вер-тей

или (?) вероятностная мера. F = -а.

СВ-ВА. 1) Р() = 0; Р(1) = 1;

1. 2) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

3) Р(А _{дополнит}) = 1—Р(А).

1. 4) if AB, то Р(А)  Р(В).

2. 5) Р(А)  1;

3. 6) Р(АВ)  Р(А) + Р(В);

7) Р({n=1 to } An)  {n=1 to }P(An).

Условные вероятности и независимость событий.

Р(А|B) = P(AB) / P(B) – условная вер-ть А при условии, что выполнено В. Р(В) > 0.

ОПР. событ. А и В независимы, если Р(АВ) = Р(А)*Р(В).

СВ-ВА НЕЗ. СОБЫТИЙ.

1. Р(A|B) = P(A);

2. Aдополнит и В тоже независимы.

3. А и В1 – нез., А и В2 нез., B1*B2 =  ==> A и В1В2 независимы.

Ф-ла полной вероятности

А – некоторое событ., В1,…,Вn – попарно несовместимые события, Р(Вi) > 0;

Bi: A  {i=1 to n}Bi; A = AВi, т.к. Bi несовместимы. ==>

P(A) = {i=1 to n} P(Bi)*P(A|Bi)

Ф-ла Байеса. P(Bj) * P(A|Bj) P(Bj) * P(A|Bj)

Если дополнительно Р(А) > 0 ==> P(Bj|A) =  = 

{k=1 to n} P(Bk) * P(A|Bk) P(A)

Cхемы Бернулли.

Пусть задано множество А1,…,Аn – генеральная совокупность. Пусть из генр. сов-ти =

= {0,1} производится выбор с возвращением объёма n. Всего различных выборок 2ⁿ.

Пусть p  [0,1]. На  всех выборок определим неотрицятельную ф-ию P:

if P(): ровно k единиц в  ==> P() = p^k(1p)^nk = p^kq^nk.

Пусть P(k,n) – вер-ть того, что в выборке объёма n ровно k единиц, т.е. кол-во успехов в n независимых ипытаниях. Эта посл-ть с 2-мя исходами наз-ся схемой Бернулли

P(k,n) = C_n^k p^k * (1-p)^k – биномиальное распредление.

ОПР. Испытания G1 и G2 независимы, если любое из множеств В = В1*В2, где Вi  Fi,

выполнено P(B) = P(B1) * P(B2) = P(B1*2) * P(1*B2) – попарная нез-ть.

ОПР. Нез-ть в сов-ти: Р(В) = р₁(В1)*…*Р_n(Вn), где B =B1*…*Bn;

Теорема Пуассона.

Пусть p(n)  0 при n   так что n*p(n)  ,  >0, тогда  k = 0,1,… 

P(k,n)  (^k * e^ ) / k!

ЗАМ. Т. Пуассона даёт хорошее приближение, если n*p² < 0.1 (малое).

ОПР. Набор чисел _k = (^k * e^ ) / k! Образует Пуассоновское распределение вер-тей:

_k  0 и _k = 1;

-ая теорема Муавра-Лапласа.

If _n – число успехов в n испытаниях Бернулли, n  , p = const, p [0,1]. ==>

Px₁ < _n  np < x₂  1 * ^x2 _u^2/2

 npq  2 _x1 e du. При n  

равномерно по х1 и х2.  х1  х2  +.

ЗАМ. Это хорошее приближение, когда npq велико (>20).

Случайные величины и ф-ии распределения.

ОПР. пусть (, F, P) – любое вероятностное пространство. Случайной величиной 

наз-ся измеримая ф-ия  = (), отображающая   R (мн-во Re чисел), для

которой прообраз ^1(В) = {: ()B} любого борелевского множества В из

борел. -алгебры («В» рукописн.), есть мн-во из -алгебры F. ^1F.

Говорят, что  осуществляет измеримое отображение (, F)  (R, «В»).

(?)F – мн-во всех подмн-в  .

ОПР. вер-ть Р_(В) = Р(В) наз-ся распределением сл. вел.  на В.

ОПР. ф-ия F(x) = F_(x) = Р_(,x) = Р((,x)) наз-ся ф-ией распределения сл. вел. .

СВ-ВА Ф-ИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

1. x₁  x₂ ==> F(x₁)  F(x₂).

2. lim F(x) = 0; lim F(x) = 1;

^{x   x + }

1. F(x) непрерывна слева, т.е. lim F(x) = F(x₀);

^{x х0  0}

ТЕОРЕМА. If F обладает св-вами 1) – 3) ==>  вер. простр. (, F, P) и сл. вел. .:

F_(x) = F(x).

ОПР. Распределение сл. вел.  наз-ся дискретным, если  может принимать лишь

конечное или счетное число значений x₁, x₂ …: p_k= P(=x_k) >0 и  p_k = 1.

СВ-ВА ДИСКРЕТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

1. F(x)  0 {производная} ==> F(x) – кусочная const.

2. F(x_k + 0) -- F(x_k) = p_k (величина скачков)

ОПР. Рядом дискретного распределения наз-ся сов-ть всех возм. значений x_k,

соответствующим p_k= P(=x_k).

ОПР. Распределение сл. вел.  наз-ся абсолютно непрерывным, if  борел. мн-ва «В»

верно: Р_(В) = Р(В) = {по В} f(x) dx, f(x)0, {;+} f(x) dx = 1; или так:

F_(x) = {;x} f(u) du,  xR. Если так, то F_(x) абсол. непрер.; f(x) – плотность

распределения (почти всюду равна производной ф-ии распр.)

СЛЕДСТВИЕ.  {f(x)  dF(x) / dx} = 0; (мера Лебега).

ОПР. распр. наз-ся распр. сингулярного типа, if F(x) непрер., но точки роста F(x)

образуют мн-во с  = 0.

ОПР. т. х наз-ся т. роста F(x), if   >0 F(x+)  f(x) >0.

СВ-ВА СИНГУЛЯРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

1. F(x) непрер.

2.  {dF(x) /dx  0} = 0.

3. F(+)  F() = 1. {полная вариация}

Мат. ожидание и дисперсия.

ОПР. М.О. (или среднее значение) сл. вел. , заданной на вер. простр. ( , F, P),

наз-ся число Е = {} () P(d), if этот  . {-л Лебега}.

СЛЕДСТВИЕ. М.О.  : Е = {;+} x F_(dx) =  x dF_(x).

If  F(x) – ступенчатая ф-ия распр. ==> сл. вел.  -- дискретная.

Е = {k} x_k*P(=x_k), где x_k -- частное знач. сл.вел.

If  имеет абсол. непрер. ф-ию распр. ==>  плотность распр. ==>

E =  x f(x) dx, где f(x) – плотность.

ЗАМЕЧАНИЕ. If g(x) – борел. ф-ия (прообраз борел. мн-ва) ==>  = g(): борел.

ф-ия от сл. вел. есть сл.вел. и Е = Еg() =  g(()) dP() =  g(x) dF_(x) =

 x dF_g()(x).

СВ-ВА М.О.

1. линейность. Е(а + b) = а + b Е.

2. E(₁ + ₂) = E₁ + E₂ , if они .

3.  [a,b] ==> E [a,b].

4. E  E||.

5. If  0 и E = 0 ==> сл.вел.  = 0. п.н. (почти наверное).

6. Р(А) = Е I_A, где I_A = 1, if A, или 0, else.

7. Для нез. сл. вел.: E = E + E.

ОПР. ф-ия F(x|B) = P(<x|B) наз-ся усл. F распредел.

ОПР. Условное М.О.  относительно событ. В наз-ся Е(|B) =  x dF(x|B).

{аналог ф-лы полной вер-ти}

Пусть {B_n}: B_i -- несовместимые событ.,  B_i =  и P(B_i) >0 для i. Тогда

Е =  {} () dP() = {n} {B_n} () dP() = {n}  () I_Bn P(d) =

{n} E(;B) = {n} E * P(B_n) = {n} P(B_n)*E(|B_n).

ОПР. Дисперсией сл. вел.  наз-ся число D = E( E)² = E²  (E)².

(оно же 2-ой центральный момент сл. вел. ).

ОПР. D наз-ся случайным отклонением сл. вел. .

СВ-ВА D.

1) D  0, = 0   = const п.н.

1. D(a + b) = b² D.

2.  и  -- нез. сл. вел. ==> D( +) = D + D.

ОПР. Моментом порядка k сл. вел.  наз-ся число Е^k.

ОПР. Абсолютным ----\\-----------------\\----------------- Е||^k.

ОПР. Центральным -------\\-----------\\-------------------- Е(  Е) ^k .

If g() – борелевская ф-ия, то Eg() = g(x) dF_(x) = g(x)  dx. ,

где  -- плотность .

Характеристические ф-ии.

ОПР. Характеристиской ф-ией вещественной сл. вел.  наз-ся С-значная ф-ия

_(t) = E e^it =  e^it dF_(x)

ЗАМЕЧАНИЕ. If  имеет плотность f(x), то _(t) = e^it f(x) dx.

СВ-ВА хар. ф-ии.

1) (0) = 1; | _(t) |  1.

2) a,b – const;  сл. вел.  хар. ф-ия _a+b(t) = _(at) e^itb.

3) If ₁…_n -- нез. сл. вел. и Sn = ₁ +…+ _n ==> _Sn(t) = _1(t) *…* _n (t).

1. Хар. ф-ия равном. непрер.

2. If  k-ый абсол. момент Е||^k <  для некоторого k.>1, то  непрер.

k-ая производная ф-ии ^(k)(t) и равна i^k Е^k .{=> из разл. в ряд Тейлора}

1. компл. сопряжение _(t) = _(t) = _(t).

ТЕОРЕМА обращения.

If F(x) – ф-ия распр. , а (t) – хар. ф-ия , то для  точек непрер-ти

x, y ф-ии F(x) ==>F(x)F(y) = 1 lim  e^itx  e^ity (t) e^{t^2 } dt.

2 ^0  i t

СЛЕДСТВИЕ. Хар. ф-ия сл. вел.  однозначно определяет ее ф-ию распр.

ТЕОРЕМА непрер-ти..

Слабая сх-ть Fn  F  _n(t)  (t),  t, где _i -- хар. ф-ия, соотв. распр. F_i.

Производящие ф-ии.

ОПР. If сл .вел.  принимает целые  0 значения {дискр. сл. вел.} то

производящей ф-ией распредел.  наз-ся ф-иф компл. перем. z :

_(z) = E(z)^ = {k=0 to } z^k P( = k), |z| <1.

СВ-ВА произв. ф-ии.

1. _(0) = _(1) = 1;

2) if  Е||^k < , {k  1} ==> ^(k)(1) = E(-1)…( -k+1) = E^[k]  факторный

момент k-го порядка.

3) if ₁…_n -- нез. сл. вел. и Sn = ₁ +…+_n , ==> _Sn(z) = _1(z) +…+_n(z) .

1. производящая ф-ия однозначно определяет распределение .

5) _(t) = _(e^it).

Системы сл. величин.

ОПР. if сл. вел. ₁()…_n() определены на одном и том же вер. простр. (, A, P),

то вектор () = (₁(),…,_n()) наз-ся n-мерной сл. вел. или сл. вектором в Rⁿ.

ОПР. ф-ия P(B) = P( | (₁(),…,_n())B) , опр-ая для всех борел. мн-в «В»  Rⁿ,

наз-ся распр. вер-ти сл. вектора  или совместным распр. сл. вел. ₁()…_n().

ОПР. опр-ая для любых Re х1…хn ф-ия F(x1,…, x_n) = P(₁< x1,…, _n< x_n ) наз-ся ф-ией

распр. сл. вектора  (или совместной ф-ией распр. сл. вел. ₁()…_n()).

ОПР. If   0 борел. ф-ия f(x) = f(x1,…,x_n) :  B  «В_n » {n-мерная борел. -а} :

P(B) = {по B} f(x) dx и {по Rⁿ } f(x) dx = 1, то соотв. распр. наз-ся