Теория вероятностей и матстат. 3 и 4 семестр (к зачёту), страница 2

абсолютно непрерывным, а f – плотностью распр.  (сл. вект.)

ОПР. Распр. сл. вел. _i, i[1,n] – компоненты , наз-ся маргинальным (частным),

и вычисляется по распр. вектора : F_i(x _i) = F(+ ,…, + , x _i , +,…, +). {ф-ия

распр. _i }

ОПР. сл. вел. ₁…_n наз-ся независимыми, if для  борел. мн-ва В_i  «В» ==>

P(₁В₁,…, _nВ_n) = P(₁В₁)*…*P(_nВ_n).

ТЕОРЕМА (Критерий независимости).

сл. вел. ₁…_n независимы  ф-ия распр. F(x₁ ,…, x_n ) представима в виде

F₁(x₁)*…* F_n(x_n), где F_i -- ф-ии распределения.

СЛЕДСТВИЕ.

If распр. вектора  абсол. непрер., то -ое усл. нез-ти : совместная плотность

f(x₁ ,…, x_n ) = f₁(x₁)*…* f_n(x_n) ---> маргинальные плотности.

ОПР. Ковариация сл. вел.  и  есть сл. вел.

cov(, ) = E(  E)(  E) = E  E E;

ОПР. Коэффициент корреляции  и , имеющих конечные > 0 дисперсии:

(, ) = cov(, ) / D D ;

(, ) = E  (  E) * (  E)  ;

 D D 

ОПР. if ковариация  и  =0 (или (, ) =0), то сл. вел.  и  наз-ся некоррелированными.

ЗАМЕЧАНИЕ. If  и  независимы, то они некоррелированны.

ОПР. Ковариационной матрицей вектора  наз-ся nn матр. {определена: все _ij конечны}

с эл-тами _ij = cov(_i, _j ).

ОПР. Пусть  и  -- нез., их ф-ии распр. F(x) и G(x); ф-ией распр. их  явл. свёртка F и G:

P( +  < x) = F # G(x) = {;} F(xy) dG(y) = {;} G(x  y) dF(y).

ОПР. Симметризацией ф-ии распр. f(x) наз-ся ф-ия распр.

F^(S)(x) = {;} F(x + y) dF(y).

ЗАМЕЧАНИЕ.

Симметризация f(x) совпадает с распределением сл. вел. (₁ ₂), ₁и ₂ –

независимы и имеют одинаковую ф-ию распределеннния F(x), причём сл. вел.

^(S) = ₁ ₂ наз-ся симметризацией сл. вел. ₁ и ₂ .

ОПР. ф-ия распр. F₁(x) наз-ся компонентой ф-ии распр. F(x), if  ф-ия распр. F₂(x) :

F(x) = F₁(x) * F₂(x).

ЗАМЕЧАНИЕ.

If хотя бы одна ф-ия распр. имеет плотность, то и свёртка имеет плотность,

Причём плотность  : f _{1 2}(x) = {;} F_2(xy) dF_1(y);

{предполагаем, что 2-ая (?) имеет плотность}

Сходимость сл.вел.

На (,F,P) заданы {n} и  -- сл.вел.

ОПР. {n} –^P  сх. по вер-ти, if   >0 P( |n --  | <) 0 при nбеск.

ОПР. {n} –^П.Н.  сх., if P(: n ()  ()) =1, nбеск. {типа поточечной сх-ти}

ОПР. {n}   в среднем порядка r, if E|n --  |^r  0 при n  беск.

(r=1  в среднем, r=2  в среднеквадратическом)

ОПР. {n}   по распределению, if посл-ть ф-ий распр. n сх. к ф-ии распр.  в каждой т. непрер-ти

ОПР. {n} слабо сх. к , if  ограниченной непрер. ф-ии f(x) f(n) ==> f(), nбеск.{типа -ой сх.}

ОПР. Посл-ть ф-ий распр. {fn} слабо сх. к f, if  ограниченной ф-ии f(x)  f(x)dF_n(x)f(x)dF(x).

Замечание.1) слабая сх-ть сл. вел. эквивал. слаб. сх-ти ф-ий распр.

2) сх-ть по распр. и слабая сх-ть эквивал. для сл.вел.

ЗБЧ и ЦПТ.

ОПР. ₁…n – посл-ть сл.вел. с конечными Еi = a_i; для нее выполнен ЗБЧ, if при n  беск. 

( {i=1 to n}i -- {i=1 to n} a_i ) /n –^P 0.

ТЕОРЕМА. ЗБЧ в форме Чебышева.

₁…n – н.о.р.с.в. с конечными Еi = а, Di < c < беск.  для n выполнен ЗБЧ: n 

беск.,  >0  P( 1/n {i=1 to n}i -- a ) 0.

ТЕОРЕМА. ЗБЧ в форме Хинчина.

₁…n – н.о.р.с.в. с конечными Еi  для n выполнен ЗБЧ.

ОПР.  для n выполнен УЗБЧ, if в поределении ЗБЧ сходимость п.н.

ТЕОРЕМА Колмогорова.

₁…n – н.о.р.с.в.; для выполенения УЗБЧ <==> чтоб i имели конечные М.О.

ОПР. Пусть Sn ={i=1 to n}i. Для i выполнена ЦПТ, if посл-ть распределений сл.вел. (Sn –ESn) /

DSn слабо сх. при n беск. к станд. норм. распр.

ТЕОРЕМА ЦПТ для н.о.р.с.в.

{i} – н.о.р.с.в., причем Еi = а и 0 < Di = ² < беск. {не п.н. const}. 

P( (Sn – n*a) / n < x ) слабо сх. к Ф(х) = 1/2 *{- to x}exp{-u²/2}.

Замечание. Эта функц. сх-ть равномерна по х на Re.

 

Название ф-ла р(х) – плотность, (x) и / или (х) - произв..

р аспределения или частн. вер. Р(=х) и хар. ф-ии



1. дискретное 1/N, k[1,N] (z) = 1z^N * z

равномерное 1z N



2 ) геометрическое Р(=k) = (1p) p^k, k = 0,1… (z) = 1p .

1z p

 

3) биномиальное Р(=k) = C_n^k p^k * (1-p)^k (z) = (z p + 1  p)ⁿ

k[1,N]



4) Пуассоновское Р(=k) = (^k e^ ) / k! (z) = е ^{ (z  1)}

k = 0,1… (t) = exp { (e^{i t}  1)}

 

5) Равномерное (1)  1/a , if x[0,a] (1) (t) = (e^{i a t}  1)/ iat

распр.  0, else

(2)  1/ 2a , if x[a,a] (2) (t) = sin(at) / at

 0, else

F(x) = (xa)/(bx), if x[a,b]

 0, x < a

 1, x > b

 

6) Показательное (x) =  e^{  X} , x  0 (t) =  .

0, else   i t

F(x) = 1 e^{  X} , x  0

0, else



7) Нормальное (x ) =1/2² * exp {(x a)² / ² } exp [ iat  (² t² )/2 ]

.

F(x) = 1/2²  { to x} exp [(ua)²/²] du

 

8) Коши (x ) = 1 * b . (t) = exp{b|t|}

 b² + x² K_, =K_0,1( (x )/ )

F(x) = 1  ^X du .

 _ 1 + [ (u) /]²

 

9) Бином. p^k (1-p)^k , k = 0,1… (t) = e^{i t} p + 1  p

с парам. (?) (z) = z p + 1  p



1 0) Вырожденное (x ) = 1 или Р(=a) = 1 п.н. (t) = e^{i t a} 

11) ²-распр. с n p(x)= e^--x/2 * x^k/2—1 / 2^k/2 Г(k/2),

степенями свободы x  0.