3. Динамика твердого тела.

3. Динамика движения твердого тела.

• При поступательном движении твердого тела все его точки движутся по одинаковым траекториям и в любой момент времени имеют одинаковые кинематические характеристики. Следовательно, в этом случае достаточно описать движение центра масс тела, используя второй закон Ньютона так же, как это рекомендовалось в предыдущем разделе.

• Центр масс тела – это точка, координаты которой определяются равенством:

. (3.1)

где r_i – радиус вектор i – го малого элемента, на которые можно разбить тело, m_i – масса элемента. Очевидно масса тела , тогда ; ; .

Скорость центра масс:

. (3.2)

В инерциальной системе отсчёта центр масс тела движется также как материальная точка массы m под действием всех внешних сил приложенных к телу (теорема о центре масс):

. (3.3)

• Для анализа вращательного и плоского движений твёрдого тела вводятся новые понятия.

  • Момент силы F относительно точки пространства О:

N = [r,F], (3.4)

где r – радиус-вектор проведенный из точки О в точку приложения силы F.

• Момент импульса материальной точки относительно точки О:

M = [r,p] = [r,mV]. (3.5)

• Момент импульса твёрдого тела (совокупность материальных точек) относительно точки О:

M = , (3.6)

где r_i – радиус вектор i – го элемента ТТ массой m_i, проведённый из точки О.

• В инерциальной системе отсчета производная по времени от момента импульса твёрдого тела относительно неподвижной точки пространства О равна суммарному моменту внешних сил, действующих на это тело, относительно той же точки О ^*):

. (3.7)

• При описании вращения ТТ вокруг неподвижной оси векторы моментов сил N^внеш и импульса M можно спроецировать на некоторую ось OZ, содержащую точку О. Указанные проекции называют моментами относительно оси. Это позволяет перейти к скалярной форме уравнения моментов:

. (3.8)

Можно показать, что . Здесь I_z – момент инерции твердого тела относительно оси OZ, который находится суммированием моментов инерции малых элементов, составляющих ТТ:

I_z = (3.9)

где R_i – расстояние от i – ой точки до оси OZ.

С учётом этого равенство (3.8) приобретает вид уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела:

. (3.10)

Здесь  = – угловое ускорение. Записанный закон является аналогом второго закона Ньютона, но для вращательного движения ТТ.

• При любом разбиении плоского движения ТТ на поступательное и вращательное ось вращения ориентирована перпендикулярно плоскостям, в которых происходит движение точек ТТ. Однако при наличии внешних сил эта ось движется с ускорением и уравнение, полученное для оси, неподвижной относительно инерциальной СО, вообще говоря, неприменимо. В единственном случае, когда ось проходит через центр масс тела, уравнение (3.10) сохраняет свою форму и для плоского движения:

, (3.10 а)

где дополнительный индекс “с” отражает отмеченное выше условие выбора оси вращения. Поступательная компонента движения описывается уравнением (3.3)

• Как мы видели, при анализе как вращательного, так и плоского движения используется момент инерции ТТ относительно оси. В ряде случаев для вычисления моментов инерции тел оказывается полезной теорема «о параллельных осях» (теорема Гюйгенса-Штейнера). Её содержание состоит в следующем: если известен момент инерции твёрдого тела относительно оси, проходящей через его центр масс I_c, то момент инерции относительно любой параллельной оси OZ равен

I_z = I_c + md², (3.12)

где m – масса тела, а d – расстояние между осями.

Для однородных тел вращения момент инерции относительно оси симметрии OZ удобно вычислять с помощью формулы:

I_z = . (3.13)

Здесь  – плотность тела; r(z) – уравнение образующей тела вращения. Эта зависимость определяется формой тела. Интеграл вычисляется вдоль оси тела в пределах его высоты h.

• При решении задач на динамику вращательного и плоского движения твёрдого тела нужно, прежде всего,

  • выполнить все пункты методических рекомендаций предыдущего раздела;

  • если одно или несколько тел задачи совершают вращательное движение относительно неподвижной в инерциальной системе отсчёта оси, то для этих тел необходимо записать соответствующий закон динамики (3.10);

  • если тело совершает плоское движение, то законы динамики записываются для вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и для ускорения центра масс тела (3.10 и 3.3).

Далее следует записать

• уравнения кинематической связи, которое определяет соотношение между линейными ускорениями центров масс тел и угловыми ускорениями тел, совершающих вращательное или плоское движения.

• Решить полученную систему уравнений, найдя искомые величины.

Примеры решения задач

1. Найти момент инерции тонкого кольца относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр. Масса кольца m = 0,2 кг, диаметр кольца D = 0,6 м.

Решение.

Предложим два способа решения задачи. Первый основан на прямом использовании определения момента инерции, второй – на применении теоремы о моменте инерции плоских тел (см. задачу 3.7) и результате вычисления момента инерции кольца относительно оси, перпендикулярной его плоскости (см. задачу 3.6).

а) Разобьём кольцо на малые элементы массы m_i – участки дуги окружности. Положение элемента удобно характеризовать углом, который образует радиус-вектор, соединяющий центр кольца и данный элемент массы с осью. По определению момент инерции кольца относительно оси OX равен:

I_x = ,

где r_i – расстояние от оси до i-го элемента массы тела. При увеличении числа элементов разбиения N уменьшаются величины m_i и можно перейти к пределу , где интегрирование ведется по всему объёму тела. Расстояние от оси до элемента массы равно (см. рис.):

r = Rsin .

Величина dm легко выражается через плотность материала кольца и геометри-ческие параметры элемента массы (см. рис.):

dm = dl = Rd .

Здесь  – линейная плотность кольца (масса, приходящаяся на единицу его длины).

Как мы видим, интеграл по объёму тела сводится к обычному определённому – по всем значениям угла , характеризующим все элементы тела, т.е. от 0 до 2. Итак,

.

Далее учтём, что масса всего кольца m = l = 2R, и запишем окончательно:

.

б) Тот же результат можно получить и не проводя интегрирования. Нужно учесть, что момент инерции кольца, относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца (ось OZ), равен

I_z = mR².

Моменты инерции, относительно любой оси проходящей через его центр и лежащей в плоскости кольца, очевидно, одинаковы (например, взаимно перпендикулярные оси OX и OY). Тогда, используя теорему о моменте инерции плоских тел, получаем:

I_z = I_x + I_y = 2I_x = 2I_y  0,009 кгм².

Задача

1. «Машина Атвуда» (прибор для изучения законов равнопеременного движения) представляет собой систему с двумя грузами одинаковой массы M, связанными нитью перекинутой через массивный блок радиуса R (см. рис.). Если на один из грузов положить небольшой грузик m, то система придёт в ускоренное движение. Пусть экспериментально измеренное ускорение первого груза оказалось равным a. Определить по этим данным момент инерции блока I. Считать, что невесомая и нерастяжимая нить не скользит по блоку, а сам блок вращается без трения.

Решение

Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с Землёй. Укажем все силы, действующие на грузы и блок. Т.к. нам предстоит рассмотреть поступательное движение грузов и вращательное движение блока, одну координатную ось направим вертикально вниз (ОХ), а другую (OZ) – перпендикулярно плоскости рисунка от нас вдоль оси блока^*). Тогда в проекциях на эти оси соответствующие уравнения движения будут иметь вид:

(1)

(2)

(2^й закон Ньютона),

(3)

(уравнение динамики вращательного движения барабана). Здесь I_z – момент инерции блока относительно оси Z.

Знак проекций моментов сил Т₁ и Т₂ выбран с учетом направления оси Z: проекция вектора момента силы Т₁ относительно любой точки на этой оси положительна, а силы Т₂ – отрицательна.

Cила натяжения , с которой нить действует на груз, равна по модулю силе Т₂, с которой нить действует на блок. Также обстоит дело и с силами и Т₁. Это следует из условия невесомости нити. Уравнения кинематической связи можно получить, выразив длину нити через координаты тел системы:

L = x₁ + R + x₂.

Дифференцируя это равенство дважды по времени и учитывая нерастяжимость нити (L = const), получаем связь между проекциями линейных ускорений грузов:

а_1х =  а_2х = а. (4)

Для того, чтобы вышеприведенная система уравнений была полной, необходимо связать линейное ускорение поступательно движущихся грузов с угловым ускорением вращающегося блока. Т.к. в соответствии с выбором направления оси Z момент силы Т₁ обеспечивает блоку положительную проекцию углового ускорения _z, то проекция ускорения первого груза также положительна а_1х > 0. Вспомним из кинематики, как связано тангенциальное ускорение точки при движении по окружности с её угловым ускорением:

а_ =R .