6 (Лекции по механике), страница 2

W = A_{сил тр.} , так как других сил нет.

W = U + E, где U = 0; E = ; U₂ = mgh; E₂ = 0.

Откуда А = mgh - .

5. Вопрос. Тело массы m бросили со скоростью V₀ с башни высотой h (рисунок). На землю тело упало со скоростью V. Найти работу силы сопротивления воздуха.

Рис.110

6. Пример. Тело массы m с постоянной скоростью втаскивают на наклонную плоскость, образующую угол  с горизонтом, постоянной силой , направленной параллельно плоскости. Найти: а) реакцию опоры , действующую на тело со стороны плоскости; б) работу сил и силы тяжести к тому моменту, когда тело поднимется на высоту h от основания. Что можно сказать о возможном знаке этих работ.

а)  = -(mg + ); б) A = ; A_C.T. = -mgh;

A_R = -(A_C.T. + A_F ) = (mg - F/sin )h.

Работа силы F равна А_F и всегда положительна, работа силы тяжести отрицательна. Работа силы реакции опоры А_R = 0, если нет силы трения и при этом F = mg sin , a R = mg cos . При наличии силы трения работа А_R < 0. Быть положительной работа А_R не может.

7. Вопрос. Под действием очень легкого толчка тело, первоначально покоившееся на наклонной плоскости, сползает с нее с постоянной по величине скоростью. Начальная высота тела над основанием плоскости h. Определить: а) реакцию опоры , действующую на тело; б) работу сил трения А_TP за время спуска тела на горизонтальную поверхность; в) работу результирующей всех сил, приложенных к телу за это же время.

8. Пример. Для частицы массы m известна зависимость от времени ее скорости: (t) = at + bt² + ct³ , где а, b, с - постоянные. Найти мощность P(t), развиваемую силой, действующей на частицу.

P(t) = ( )

.

P(t) = (F_x V_x + F_y V_y +F_z V_z) = m (a² t + 2b² t³ + 3c² t⁵).

9. Пример. Известна зависимость модуля скорости частицы от времени V = [(at)² + 9bt²)² + (ct³)²]^1/2 и масса частицы m. Найти мощность P(t) силы, действующей на частицу.

P(t) = = m(a² t + 2b² t³ + 3 c² t⁵ ).

10.Вопрос. Грузы m₁ и m₂ начинают движение в момент времени
t = 0. Найти: а) мощность P(t), развиваемую силами тяжести, приложенными к грузам в момент времени t.

Рис.111

Взаимодействие тел, как мы уже убедились, можно описывать либо с помощью сил, либо с помощью потенциальной энергии как функции координат взаимодействующих частиц. Поэтому можно найти связь между потенциальной энергией и действующей на систему частиц внешней силой. По определению на элементарном перемещении d A_dr = ( ) = - dU, если = {F_x, F_y, F_z} и d = {dx, dy, dz}, то Fx dx + F_y dy + F_z dz = -dU, если смещение происходит вдоль какой-либо координатной оси, например Х, то F_x dx = -(dU)_y,z и следовательно F_x = - .

Индексы y, z означают, что при смещении и, следовательно, при дифференцировании координаты y и z должны оставаться постоянными. Иными словами, U(x,y,z) при дифференцировании должна рассматриваться как функция одного аргумента х, остальные два аргумента - y, z являются параметрами, которые при дифференцировании по х должны оставаться постоянными. Ранее мы говорили уже, что величины, получающиеся в результате такого дифференцирования, называются частными производными функции U Они обозначаются символом  в отличие от символа d при дифференцировании функций одного независимого переменного. Аналогичные соображения справедливы и для проекций силы вдоль остальных двух осей Y и Z. Таким образом,

.

Три формы можно объединить в одну векторную формулу. Умножим эти формулы на единичные орты и сложим. Получим

.

Слева “стоит “ сила , справа всю величину в скобке обозначим grad U (градиент U) и получим искомую связь = - grad U. Используя ее, можно находить связь силы и потенциальной энергии.

11. Пример. Потенциальная энергия частицы имеет вид

а) U = ax³ + bx² + cz; б) U = axyz, где a, b, c - const

Определить силу , действующую на частицу.

= - grad U =

-

12. Вопрос. Потенциальная энергия частицы имеет вид

U = a(x+a)⁴ + b(y-b)³ + c(c-d).

Определить силу F, действующую на частицу.

13. Пример. Потенциальная энергия частицы имеет вид

U = ax³ + bx²+ cz.

Найти работу А₁₂, совершаемую силами поля над частицей при ее перемещении из начальной точки Р₁ (1, 2, 3) в конечную Р₂ (2, 3, 4).

A₁₂ = U₁ - U₂ = 3a + 5b + c.

14. Вопрос. Потенциальная энергия частицы имеет вид U = axyz. Найти работу А₁₂, совершаемую силами поля над частицей при ее перемещении из начальной точки Р₁ (1, 2, 3) в конечную Р₂ (2, 3, 4)

15. Известны масса частицы m и зависимость ее скорости от координат (x, y, z) = , где a, b, c - const. Считая, что сила консервативная, найти выражения для потенциальной энергии U(x, y, z) и силы F(x, y, z) как функций координат.

16. Пример. Найти вторую космическую скорость для Земли.

Если пренебречь сопротивлением среды, то полная механическая энергия тела в системе Земля + "пустой" космос постоянна. W = E_кин + U_пот Возьмем за 0 потенциальную энергию точки на  тогда U () = 0. Кинетическая энергия на бесконечности тоже будет равна 0. Имеем

откуда

V = = 11,2 км/сек

Вопросы для домашнего задания

1. Чему равна работа сил трения при соскальзывании гибкой нити массой m₁ длиной l₀ с горизонтально расположенной поверхности стола? Первоначальная часть нити длиной l₁ свешивалась со стола. Коэффициент трения нити о стол .

2. Какую мощность W затрачивает лошадь на движение саней, если она тянет их в город равномерно со скоростью V?

3. Частица массы m движется с начальной скоростью под действием силы (V - скорость,  = const > 0) Найти работу А этой силы над частицей на пути S = .

4. Тело массы m соскальзывает без начальной скорости с наклонной плоскости. Найти зависимость мощности P_ТР(t) силы трения, действующей на тело от времени.

5. Найти вторую космическую скорость для Луны. Масса Луны
М = 7,310²² кг, радиус Луны R_Л= 1,710⁸ м.

6. Телу на поверхности Земли сообщили в вертикальном направлении начальную скорость, равную первой космической. На какую максимальную высоту поднимется тело.

7. Санки, движущиеся по горизонтальному льду со скоростью
V = 8 м/сек, выезжают на асфальт. Длина полозьев санок L = 2 м. Коэффициент трения санок об асфальт  = 1. Какой путь пройдут санки до полной остановки.

Ответы к домашнему заданию

1. F_ТР = - N, где . Следовательно,

F_ТР = -

2. W = mgV ( cos  + sin )

3. A = так как V = V - = 0

4. P(t) = -mgk cos  (sin  -  cos ) gt

5. V = = 2,4 км/сек.

6. так как первая космическая скорость V = и на максимальной высоте h скорость равна 0. Полная энергия на этой высоте
0 - mgR . Приравнивая, получим h = R.

7.

Рис.112

График силы трения F_TP в зависимости от пути l₀ Площадь под графиком равна работе силы трения

, откуда х = 0,84 м

Весь путь до остановки l = L + x = 2,84 м

1.7.4. Динамика твердого тела

1.7.4.1. Момент инерции тела

Момент инерции тела вращения: телом вращения называют всякое тело, поверхность которого образована вращением некоторой плоской кривой вокруг оси; эта кривая называется образующей. Эта кривая f(h) ( рис.113а) лежит в одной плоскости с осью 00' и опирающаяся концами на ось, вращается вокруг этой оси и образует тем самым поверхность какого-то однородного тела. Считаем, что зависимость f(h) и плотность  тела известны.

Разобьем тело на бесконечно тонкие диски высотой dh. Рассмотрим один из таких дисков радиусом f и высотой dh.

Возьмем тонкий цилиндрический слой радиуса х и толщиной dx и посчитаем его момент инерции (рис.113б)

dy = dmx² =  x² dV =  x² 2 x dx dh = 2  dh x³ dx

Если весь диск разбить на такие концентрические кольца, то момент инерции всего такого диска будет равен

.

Теперь, чтобы найти момент инерции всего тела, надо просуммировать моменты инерции всех дисков. Тогда

.

1.Пример. Момент инерции однородного цилиндра относительно геометрической оси вычислить, используя общую формулу. Радиус цилиндра R₁, масса М.

Рис.114

в данном случае f = R = const

.

2. Вопрос. Найти момент инерции конуса высотой h с радиусом основания R относительно геометрической оси.

Теорема Гюйгенса-Штейнера: Если момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс равен I₀, то момент инерции тела относительно любой параллельной ей оси, находящейся от нее на расстоянии d равен I = I₀ + md², где m - масса тела.

3. Пример. Пустотелый цилиндр с тонкими стенками имеет массу М и радиус R. Определить его моменты инерции относительно осей 00 и 00'. (рис.115).

I₀₀ = MR² I₀₀ = MR² + MR² = 2MR².

Рис.115

4.Вопрос. Цилиндр с внутренним радиусом R₁ и внешним R₂ имеет массу М. Определить его моменты инерции относительно осей 00 и 00', расположенной на расстоянии R₂

Рис.116

1.7.4. 2. Движение твердого тела

1.Пример. Найти ускорение грузов и натяжение нитей в системе, изображенной на рисунке, учитывая, что момент инерции вращающего блока I, а нить не скользит по блоку. Масса блока М, масса грузов m₁ и m₂.

Натяжение нити будет различным для правого (Т₂) и левого (Т₁) отрезков нити. Уравнение поступательного движения подвешенных грузов

m₂ g - T₂ = m₂ a₂

m₁ g - T₁ = m₁ a₁