6 (Лекции по механике)

1.7.3. Динамика системы материальных точек

1.7.3.1. Импульс системы. Центр масс

1. Пример. Система состоит из трех частиц, массы которых m= 0,1 г, m = 0,2 г, m = 0,3 г. Первая частица находится в точке с координатами (1, 2, 3), вторая - в точке (2, 3, 1), третья - в точке (3, 1, 2) (координаты даны в см).

Определить радиус-вектор центра масс системы.

По определению

2. Вопрос.

Рис.104

Найти декартовы координаты центра масс однородной квадратной тонкой пластинки, находящейся в плоскости YZ.

3. Пример. Имеется система трех тел. Импульсы двух из них в некоторый момент времени в системе центра масс и . Найти импульс третьего тела в тот же момент времени.

В системе отсчета, связанной с центром масс, импульс системы материальных точек равен 0.

(кг м/сек)

4. Вопрос. Система состоит из двух тел. Известны зависимости от времени импульсов этих тел

и .

а) сохраняется ли импульс системы; б) сохраняются ли какие-либо проекции на какое-либо направление этого импульса; в) чему равна результирующая внешних сил, приложенных к телам.

5. Вопрос. Шар массы m₂, имеющий скорость , налетает на покоящийся шар массы m₁. Могут ли после соударения скорости шаров и иметь направления, показанные на рисунке. Случаи б) и б).

Рис.105а и б

Рис 105 в

6. Два тела массами m₁ = 2 кг и m₂ = 5 кг, движущиеся свободно со скоростями =10 и = испытывают неупругое соударение. Чему равны скорость центра масс системы и ее импульс до и после удара?

7. Пример. Найти выражение ускорения и скорости тележки А, движущейся под действием постоянной горизонтальной силы f, если на тележке лежит песок, который высыпается через отверстие в платформе тележки. За 1 с высыпается масса m песка, в момент времени t = 0 скорость тележки V равна нулю, а масса песка и тележки вместе равна М.

Рис.106

Второй закон в момент времени t

(M - m t) = f

8 .Пример. Человек, стоящий в лодке, подтягивает вторую лодку за веревку до их соприкосновения и далее удерживает их вместе. Где будут находиться обе лодки, когда их движение в результате трения о воду прекратится? Трение лодок о воду считать пропорциональным их скорости и одинаковым для обеих лодок, массы лодок m₁ и m₂, начальное расстояние между центрами их массе.

В данном случае центр масс лодок будет смещаться за счет действия внешней силы (сил трения). Пусть сила натяжения между лодками Рис.107 Т. Тогда

где h - коэффициент вязкого трения.

Последнее равенство справедливо и после того момента, когда лодки столкнутся и будут двигаться совместно до остановки.

Проинтегрируем и получим

так как

x₁(0) =0; x₂(0) = l; x₁ () = x₂ () = x_. Итого 2 x_ - l = 0; x_ = l/2.

9.Пример. Три лодки одинаковой массы m идут в кильватер с одинаковой скоростью V. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью U относительно лодки грузы массы m₁ . Каковы будут скорости лодок после переброски грузов?

mV + m₁ (V - U) = (m + m₁ )V₁

mV - m₁ (V - U) - m₁(V + U) = (m - 2m₁ ) V₂

mV + m₁ (V + U) = (m + m₁ ) V₃

V₁ = .

10. Вопрос. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте h на две одинаковые части. Через секунду после взрыва одна часть падает на Землю под тем местом, где произошел взрыв. На каком расстоянии S₂ от места выстрела упадет вторая часть снаряда, если первая упала на расстоянии S₁ от места выстрела. Силы сопротивления не учитывать.

11. Пример. Вопрос о движении тела с переменной массой был впервые исследован Мещерским И.В. Частную формулу уравнения Мещерского можно вывести из рассмотрения простого случая движения ракеты. Пусть для получения ускорения ракета выпускает непрерывную стую газа, вылетающую из ракеты с относительной скоростью Масса газа, вылетающая в единицу времени . Масса ракеты в данный момент времени М. Найти уравнение движения ракеты.

Используя это уравнение, найти соотношение, связывающее скорость V, достигнутую ракетой, с ее массой М в один и тот же момент времени. Масса ракеты на старте равна М₀ , а скорость газовой струи U постоянна и направлена против ее движения.

При движении ракеты, так как внешние силы по условию задачи не учитываются, импульс системы ракета-газ сохраняется.

Пусть импульс в момент времени t P_t=M . Тогда в момент времени (t + dt) P_t+dt = (M - dM)( +d )+dM( + )/

Приравнивая импульсы, раскрывая скобки и отбрасывая члены второго порядка малости получаем из

M = (M-dM) ( +d ) + dM( + )

с учетом, что dM = dt уравнение

M

носит название реактивной силы. Она возникает за счет изменения массы тела.

Для ответа на второй вопрос используем полученное уравнение

Получим V = Uln или M₀ = M .

12. Пример. Реактивный катер массы М приводиться в движение насосом, который забирает воду из реки и выбрасывает ее назад с кормы катера. Скорость струи воды относительно корабля постоянна и равна U, а масса ежесекундно выбрасываемой насосом воды также постоянна и равна .. Найти модуль скорости катера как функцию времени. Силы трения в насосе и сопротивление воды не учитывать.

Приравнивая количества движения системы в момент времени t и
t + t, получаем уравнение

MV = M(V + dV) - (M - V)  dt

Здесь учтено, что вода, входящая в катер, имеет по модулю скорость V (относительно корабля) и что при этом масса корабля увеличивается.

Интегрируя его, находим зависимость модуля скорости корабля от времени.

V = - M(1 - ).

13. Пример. Найти связь между массой ракеты m(t), достигнутой ею скоростью V(t) и временем t, если ракета движется вертикально вверх в поле тяжести Земли. Скорость газовой струи U постоянна. Сопротивление воздуха и изменение с высотой ускорения свободного падения не учитывать. Какую массу газов (t) должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы оставаться неподвижной относительно Земли?

Уравнение движения ракеты в данном случае имеет вид

.

Представим его в виде

или .

Это дает .

Величина  = - и находится из условия, что для неподвижной ракеты .

В результате имеем

 = - = .

14. Пример. Космический корабль движется с постоянной по величине скоростью V. Для изменения его направления полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью U относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол , на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его m₀, конечная m, а скорость U постоянна.

Ускорение корабля по абсолютной величине равно

a = ² r = V,

причем V = const. Поэтому уравнение движения

переходит в mVdt = -Udm. Замечая, что d = dt есть угол поворота за время dt и интегрируя, получим ответ

.

15. Вопрос. Водометный катер движется с постоянной скоростью, забирая забортную воду и выбрасывая назад струю со скоростью
U = 20 м/сек относительно катера. Площадь поперечного сечения струи
S = 0,01 м². Найти скорость катера, если действующая на него сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости F = kV², причем
k = 7,5 Н сек² /м²

16. Вопрос. Двигатель реактивного самолета, летящего со скоростью V = 720 км/час в единицу времени засасывает массу воздуха
М = 100 кг/сек, расходует массу топлива m_t = 4 кг/сек и выбрасывает массу продуктов сгорания (M_t + m_t) = 104 кг/сек со скоростью U = 500 м/сек относительно самолета. Определить силу тяги двигателя.

1.7.3.2. Работа и энергия. Вопросы для домашнего задания

1.Пример. Частица переместилась по некоторой траектории из начальной точки P₁ ( ₁) в конечную P₂ ( ).На частицу действовала постоянная сила  (a, b, c). Найти: а) работу А₁₂ силы ; б) приращение кинетической энергии частицы Т.

а) А₁₂ = = a(x₂ - x₁) + b(y₂ - y₁) + c(z₂ - z₁)

б) Т = А₁₂.

2.Пример. При перемещении частицы по произвольной траектории из начальной точки Р₁ ( ) в конечную Р₂ ( ) на нее действовала постоянная сила = F , где - единичный вектор некоторого направления (рис.109). Найти работу А₁₂ силы над частицей.

Рис.109

А₁₂ = = F₀ ( ) = F₀ (r_2e - r_1e)

если - вдоль оси ОХ, то А₁₂ = F₀(x₂ - x₁).

3. Пример. Тангенциальное ускорение частицы, движущейся по некоторой криволинейной траектории, изменяется с расстоянием S, отсчитанным вдоль траектории от начального положения частицы по закону _ = aS, где а – постоянная, масса частицы m. Чему равна работа А сил, действующих на частицу, совершенная на пути S?

А₃ = .

4. Пример. Тело массы m = 1 кг брошено вверх с начальной скоростью V₀ = 10 м/сек. Высота подъема тела оказалась равной h = 4 м. Найти по этим данным работу силы сопротивления воздуха А_с.