Уравнение вращения блока вокруг его геометрической оси

(Т₂ - Т₁)r = J .

Учитывая отсутствие скольжения нити по блоку и не растяжимость нити, получаем уравнение

a₂ = -a₁ = r .

В результате получаем систему, решение которой дает

a₂ = -a₁ = .

Натяжение нитей

1. Вопрос. Однородный цилиндр массы М и радиуса R вращается без трения вокруг горизонтальной оси под действием груза Р, прикрепленного к легкой нити, намотанной на цилиндр. Груз Р прикреплен к такому же грузу Р (рис.118). Определить натяжение нити Т.

Рис.118

1. П ример. Цилиндр радиуса R скатывается с наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом. Масса цилиндра М. Найти ускорение цилиндра.(Рис.119)

Рис.119

На цилиндр действуют три силы: сила тяготения , сила нормального давления и сила трения _TP. Для центра масс уравнение движения

.

Уравнение вращения цилиндра относительно геометрической оси

,

так как ось проходит через центр масс, то моменты сил Р и N равны нулю.

J = F_TP R.

Если цилиндр катится без качения, то

a_ц.м. = R.

Итак, имеем: M a_ц.м. = P sin  - F_T.P.

0 = N - P cos 

J = F_T.P. R

a_ц.м. = R

Решая систему, получим

где , или .

4. Вопрос. Каким участком сабли следует рубить лозу, чтобы рука не чувствовала удара? Саблю считать однородной пластинкой длины .

5. Пример. Построим следующую конструкцию.

Рис.120

1) Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые (оси) XX', YY', ZZ', пересекающиеся в точке О.

2) Возьмем дискообразное тело, разметим его вдоль оси XX' и закрепим его на кольце 1 (внутреннем) с помощью подшипников так, чтобы оно могло вращаться вокруг оси XX’ с любой угловой скоростью _xx’

3) Кольцо № 1 (внутреннее) прикрепим с помощью подшипников к другому кольцу (внешнему) так, чтобы это кольцо могло вращаться вокруг оси YY' с любой угловой скоростью _yy’

4) Второе кольцо (внешнее) с помощью подшипников прикрепим к подставке так, чтобы оно могло вращаться вокруг оси ZZ' с любой угловой скоростью _zz’ При этом центр масс тела (и колец) находятся в точке пересечения осей (в точке О).

Если кольца симметричны относительно своих осей, то диск и кольца будут оставаться в равновесии в любом положении, так как равнодействующая сил тяжести приложена в точке О (момент сил тяжести равен 0). Таким образом, конструкцию можно рассматривать как симметричное твердое тело, закрепленное в центре масс. Такую конструкцию называют гироскопом.

Вообще, гироскопом называется симметричное относительно оси вращения тело, совершающее быстрое движение. Таким образом, чтобы конструкция "оправдала" свое название, диску надо сообщить очень быстрое вращение. В этом случае гироскоп получит определенный момент количества движения , который совпадает по направлению с осью вращения и сохраняется.

Вспомним, что для материальной точки , так как тело можно представить системой материальных точек, то общий момент количества движения тела . Однако, давая характеристику тела как целого, надо и момент количества движения преобразовать так, чтобы он вычислялся не через сумму, а через параметры тела в целом. Выведем

.

Итак, для твердого тела момент количества движения равен произведению момента инерции тела на угловую частоту вращения.

Продифференцируем момент количества движения тела

.

но

Таким образом, имеет место связь - изменение момента количества движения тела равно моменту внешних сил, действующих на тело.

Это значит, что чтобы изменить момент количества движения тела, надо создать момент внешних сил, то есть подействовать на тело внешней силой, не проходящей через центр масс.

Итак, пусть гироскоп быстро вращается с угловой скоростью , имея при этом момент количества движения = const. Подвесим к внутреннему кольцу около оси диска груз Р. Этот груз Р вызовет момент силы тяжести М относительно точки О, равный .

Согласно правилам, момент М будет направлен  L. Если диск вращается вокруг оси XX', то направлен вдоль оси ХХ, а направлен вдоль оси YY'. Момент внешних сил вызовет приращение момента , так как теперь он будет изменяться: за время dt

d = Mdt, a (t + dt) = (t) + d

Важно: Момент импульса перпендикулярен его приращению d , это значит, что при действии груза ось гироскопа начнет вращаться в плоскости X0Y. Так как для малых углов Рис.121 б

dL = d L (dL = L tg d = L d )

то из = M получаем L d = M dt

или .

Угловая скорость вращения оси  называется угловой скоростью прецессии, а само вращение оси как явление называют прецессией.

6. Вопрос. Будет ли продолжаться движение оси гироскопа после снятия грузика, или ось мгновенно остановится.

7. Вопрос. Как будет вести себя гироскоп, если на него в точке внутреннего кольца, близкой к оси диска, подействовать внешней вертикальной силой (например, нажать пальцем), равной по величине весу грузика.

8 . Вопрос. Гироскоп высоты l, основанием которого служит шаровой шарнир, вращается с большой угловой скоростью . Момент инерции гироскопа относительно оси вращения равен I. К концу гироскопа была приложена сила , перпендикулярная и действовавшая в течение малого промежутка времени t. Найти угол, на который повернется ось гироскопа.

1.7.4. 3. Колебательное движение твердого тела

1 .Пример. Возьмем тело А, которое может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной к чертежу. Расстояние от центра масс до оси равно а. Тогда при повороте тела от положения равновесия на угол  возникнет возвращающий момент сил тяжести, равный

- mg sin . Знак “-“ обуславливается тем, что при выходе из положения равновесия угол  увеличивается, а возникающий момент стремится вернуть его назад.

Таким образом, по второму закону динамики для вращающегося тела

J = -mg a sin ,

где J - момент инерции тела относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О.

При малых углах отклонения sin  , тогда

I + mga = 0

Решение этого уравнения

.

А тело носит название физического маятника.

Таким образом, физическим маятником может быть любое твердое тело.

1. Вопрос. Найти частоту  малых колебаний однородного стержня массы m и длины l

Рис.124

1. Вопрос. Найти частоту  малых колебаний однородного диска массы m и радиуса R.

Рис.125

3.Вопрос. Найти частоту малых колебаний однородного диска массы m и радиуса R, насажанного на невесомый стержень. Расстояние от центра диска до оси вращения маятника равно .

Рис.126

4. При каких условиях маятник (описанный в вопросе № 3) можно приближенно рассматривать как математический. Если есть часы, в которых работает такой маятник, спешат, то куда надо переместить диск?

1.7.5.Сплошные среды

Основные понятия гидродинамики

1.Пример. Найти Ф поток вектора скорости жидкости через поверхность круга радиуса R, вектор нормали n которого образует с направлением вектора скорости угол  Скорость считать постоянной

Рис.127

Ф

2 . Пример. Найти Ф поток вектора скорости жидкости через поверхность полусферы радиуса .

Скорость частиц жидкости постоянна. Значит, сколько частиц, имеющих скорость войдет в объем, ограниченный полусферой, столько и выйдет, а значит полный поток вектора Рис.128 скорости жидкости, проходящий через замкнутую поверхность, ограничивающую объем полусферы, будет равен 0. Таким образом, имеем

Ф_вход + Ф_выход = 0

Ф_вход = R²V, значит через поверхность полусферы будет проходить поток, равный Ф = R²V.

3 .Вопрос. Жидкость плотности  течет со скоростью . Выделим мысленно площадку S, единичный вектор нормали к которой образует угол  с направлением скорости (рисунок). Найти массу жидкости m, протекающей через площадку за время t.

Рис.129

4.Вопрос. На рисунке изображены линии векторного поля скоростей жидкости. Определить знак потока Ф вектора скорости через замкнутую поверхность S в заданных случаях.

Рис.130

5. Пример. Вычислить поток вектора = V_x +V_y через поверхность круга радиуса R, лежащего в плоскости Z = 0.

Ф = [ = (V_x, V_y, 0}; = {0, 0, k} = 0

6. Вопрос. Вычислить поток вектора = V_x +V_y через поверхность цилиндра радиуса R и высоты Н. Ось цилиндра совпадает с осью Z.

7. Вопрос. Скорость течения воды в канале =ay , где a - const. y - высота уровня воды от дна канала. Найти циркуляцию вектора по контуру Г, показанному на рис.131

Рис.131

8. Пример. Рассмотрим жидкость в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . Допустим, что жидкость вращается вместе с сосудом, а сам сосуд обладает осевой симметрией, например, имеет цилиндрическую форму. Тогда уравнение для жидкости имеет вид или , где - радиус вращения рассматриваемой частицы жидкости.

Векторное уравнение эквивалентно трем скалярным

.

Так как  - const, то интегрируя, получим