3 (Лекции по механике)

.

1.5.3. Модель «система материальных точек».

Итак, есть система аксиом, "работающая" для модели одной материальной точки. Есть объект, физическую модель которого можно представить системой материальных точек.

Задача: описать механическое движение системы материальных точек с помощью системы аксиом, "работающих для одной материальной точки".

Прежде, чем проводить конкретные операции, рассмотрим, что понимают под термином "система".

Существует много определений термина "система". Все они сводятся к тому, что это некий целостный объект, состоящий из частей, находящихся в определенной связи друг с другом. Для механической системы это означает, что отдельные части системы взаимодействуют друг с другом. Таким образом, система материальных точек есть целостный объект, состоящий из материальных точек, взаимодействующих друг с другом.

Силы, описывающие взаимодействие тел системы друг с другом (материальных точек), называют внутренними. Силы, описывающие воздействие внешних тел на тела системы, называют внешними силами.

Поскольку объект целостный, то он должен характеризоваться величинами, являющимися свойствами объекта в целом. Найдем эти величины.

1.5.3.1. Импульс системы материальных точек

В озьмем взаимодействующие между собой n материальных точек. Рассмотрим конкретно ситуацию при n = 4. На рис.21 показаны точки 1, 2, 3, 4 и силы взаимодействия между ними (f_ik ). i, k = 1, 2, 3, 4.

Для каждой материальной точки справедлив второй закон Ньютона, а для каждой пары точек справедлив третий закон Ньютона. В результате получаем:

(1) = + +

(2) =

(3) =

(4) =

Если рассматривать каждую точку как индивидуальный "целостный" объект, то все силы, действующие на нее ‑ внешние. Выделим из совокупности данных четырех точек точки 1, 2, 3 и объединим их в систему. При этом точка 4 становится внешней по отношению к системе, состоящей из точек 1, 2, 3 и действует внешними силами на систему.

Для получения характеристики системы сложим уравнения движения точек, принадлежащих системе, т.е. уравнения (1), (2), (3). С учетом третьего закона получим

+ = ₄₁ + ₄₂ + ₄₃

Это выражение можно записать как

( ) = =

Обозначим и получим формулу

Слева - производная суммы трех импульсов точек, справа - сумма сил, с которыми четвертая точка действует на точки системы.

Сумма трех импульсов точек обозначена и носит название импульса системы материальных точек. Эта величина и является характеристикой системы. Сумма сил является суммой внешних сил, действующих на систему материальных точек.

Итак, разбив совокупность взаимодействующих материальных точек на систему материальных точек и точки внешние по отношению к системе и, проделав математически операции с использованием аксиоматики Ньютона, получили физическую величину, характеризующую систему материальных точек как целостный объект, а именно: импульс системы материальных точек и закон его изменения:

Производная импульса системы материальных точек равна результирующей внешних сил, действующих на эту систему:

Закон имеет векторный характер

и в проекциях на оси декартовой системы координат получим

= F_x ^; = F_y; = F_z

Если мы объединим все четыре точки в систему, то получим

и = 0.

Действительно, при объединении всех точек в систему не остается точек, внешних по отношению к системе, а значит и внешних сил. Системы, на которые не действуют внешние силы, называются замкнутыми. Для замкнутых систем импульс системы есть величина постоянная. (Из условия = 0 следует = const).

Для незамкнутых систем может сохраняться проекция импульса вдоль какого-либо направления при условии, что проекция результирующей внешних сил вдоль того же направления равна нулю.

Надо помнить, что поскольку выведенный закон есть следствие второго закона Ньютона, он справедлив только в инерциальной системе отсчета.

1.5.3. 2. Центр масс

Теореме об изменении импульса системы можно придать форму второго закона Ньютона, рассматривая ускоренное движение некоторой точки системы, называемой центром масс.

Центром масс системы N материальных точек m_i (1 i N), положение которых в данной системе отсчета задано радиус-векторами , называют точку пространства, координаты которой определяются уравнением

, где М = суммарная масса системы.

Как видно из определения центр масс ‑ геометрическая, а не материальная точка. Она может быть расположена и в пределах системы материальных точек и вне ее.

Перепишем формулу, определяющую центр масс, как и продифференцируем по времени.

Получим , где - скорость центра масс V_ц.м. ;

скорость i-массы.

Отсюда получим .

Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов материальных точек, входящих в систему. Продифференцировав это соотношение, получим

Здесь = есть результирующая сила всех внешних сил.

Таким образом, в инерциальной системе отсчета произведение массы системы материальных точек М умноженной на ускорение центра масс системы равно сумме действующих на систему внешних сил

Если система замкнута, то есть , то 0 и const. Другими словами, внутренние силы не могут изменить скорость центра масс системы.

1.5.3.3. Момент импульса системы материальных точек.

Дана совокупность материальных точек. Для каждой материальной точки существует момент импульса и закон изменения момента импульса , где М - момент сил

Объединим часть точек в систему, запишем для каждой из точек системы закон изменения момента импульса относительно какой-либо точки и просуммируем. Получим

где - суммарный момент внутренних сил (при объединении в систему часть сил стала внутренними); - суммарный момент внешних сил (силы со стороны материальных точек, не вошедших в систему).

Сумма производных равна производной суммы, т.е. ,

г де момент импульса системы материальных точек. Очевидно, =0. Действительно, рассмотрим две точки, принадлежащие системе и взаимодействующие друг с другом силами и . ( рис.22). При этом + = 0. Пусть радиус-векторы точек, входящиx в моменты сил, равны и . Момент силы отрицательный, так как создает вращение по часовой стрелке. Момент силы положительный, так как создает вращение против часовой стрелки. Абсолютные значения моментов сил и равны:

Таким образом, система материальных точек характеризуется величиной "момента импульса системы материальных точек", а закон его изменения гласит, что в инерциальной системе отсчета производная момента импульса системы материальных точек равна сумме моментов внешних сил (относительно той же точки), действующих на систему:

Если сумма моментов внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то момент импульса такой системы сохраняется.

1.5.3.4.Механическая энергия системы материальных точек. Примеры.

Рассмотрим совокупность материальных точек, на каждую из которых действуют внешние силы F_i, каждая имеет массу m_i, и каждая под действием силы совершает перемещение. Тогда для каждой точки можно записать: Е_i = А_i

Объединим часть материальных точек в систему и просуммируем левые и правые части уравнений. Получим

где k - число объединенных в систему материальных точек или Е = А₁₂ , где

E =

При объединении материальных точек в систему часть сил, которые для индивидуальных отдельных точек были внешними, стали внутренними и поэтому в общем случае в работу А₁₂ входят и работа внешних сил А_внеш, и работа внутренних сил А_внутр .

Таким образом, можно записать, что Е = А_внеш + А_внутр , при этом и в работе внешних сил, и в работе внутренних сил учитываются и консервативные, и диссипативные силы.

Итак, в инерциальной системе отсчета изменение кинетической энергии системы материальных точек равно работе всех сил, действующих на точки системы.

Е = ,

где

- работа внешних консервативных сил,

- работа внешних диссипативных сил,

- работа внутренних консервативных сил,

- работа внутренних диссипативных сил.

Выделим работу внутренних консервативных сил - . Работа консервативных сил не зависит от формы пути, а зависит только от взаимного расположения материальных точек системы, т.е. величина этой работы связана с конфигурацией системы. Поэтому эту работу можно считать характеристикой системы. Введем эту характеристику.

П усть система состоит, например, из четырех материальных точек (1,2,3,4), которые могут образовывать различные конфигурации (1,2,3,4), занимая определенные положения (показаны на рис.23).

Выберем произвольно конфигурацию, например, № 3 и назовем ее нулевой.