Вопросы к экзамену по второй части курса, страница 2

Главные напряжения – нормальные напряжения, возникающие в главных площадках.

- инварианты тензора напряжений.

13. Определение напряжений в площадках, наклоненных к главным. Максимальное касательное напряжение. Понятие о трех кругах Мора. Эллипсоид напряжений.

ОТВЕТ: Предположим, что наклонная площадка является главной. Тогда полное напряжение на этой площадке (оно же главное) будет направлено по нормали υ. Обозначим его через S: , , , тогда:

или , , - корни этого уравнения и будут являться главными напряжениями σ₁, σ₂, σ₃.

При условии, что m²=0, а l²=n²=1/2, касательное напряжение принимает максимальное напряжение . Т.е. максимальное касательно напряжение возникает в площадках, равнонаклонных к площадкам максимального и минимального напряжений.

Для площадок, параллельных векторам σ₁ и σ₃ можно построить три круга Мора. Они строятся на отрезках (σ₂-σ₃) и (σ₁-σ₂), Максимальное напряжение будет равно радиусу максимального круга, т.е. .

Эллипсоид напряжений – эллипсоид, образованный геометрическим местом концов вектора полного напряжения, полуосями которого являются главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃.

14. Трехмерное напряженное состояние. Вывод формул напряжений, возникающих в октаэдрических площадках.

Трёхосные растяжения – такие напряжённые состояния, в которых ни одно из главных напряжений не является сжимающим. Круговые диаграммы для этого класса напряженных состояний располагаются в правой части плоскости σ.

Чистое трёхосное растяжение – такое напряженное состояние, при котором все три главных растягивающих напряжения равны между собой.

В октаэдрических площадках: . Тогда: , .

15. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор напряжений и тензор-девиатор напряжений.

16. Вывод формулы удельной потенциальной энергии упругой деформации.

ОТВЕТ: Потенциальная энергия, накопленная в элементарном объёме, определяется суммой работ сил, распределённых по поверхности этого объёма. Нормальная сила σ_xdydz совершает работу на перемещении ε_xdx. Эта работа имеет величину: , где - относительное удлинение вдоль оси х, вызванное всеми действующими силами. Остальные нормальные составляющие дают аналогичные выражения работ. Касательная сила τ_yzdydx на перемещении γ_yzdz совершает работу . Выражения остальных слагаемых внутренней энергии получаются простой перестановкой индексов. В итоге имеем: . Если отнести энергию к единице объёма, то получим: или в главных напряжениях:

17. Представление удельной потенциальной энергии упругой деформации через удельную потенциальную энергию изменения формы и удельную потенциальную энергию изменения объема.

ОТВЕТ: Каждое из главных напряжений представим в виде суммы двух величин , , (1), в результате чего напряжение разбивается на два. Первое представляет собой всестороннее напряжение, а второе является дополнительным к нему до заданного напряжённого состояния. Величина р подбирается таким образом, чтобы изменение объёма в дополнительном напряжённом состоянии отсутствовало, т.е . Складывая выражения (1), получим: . При указанном условии система сил первого напряжённого состояния (р) не производит работы на перемещениях, вызванных силами второго состояния. Точно также силы второго напряжённого состояния не производят работы на перемещениях первого. Взаимные работы отсутствуют, и внутренняя энергия разбивается на две части, соответствующие двум напряжённым состояниям: , где - энергия изменения объёма, а - энергия изменения форма (или энергия формоизменения). Подставляя в выражение вместо всех главных напряжений величину р, получим для первого состояния: . Энергию формоизменения найдём, вычитая из . В итоге получим: , или . Если это выражение написать для осей общего положения, то получим: .

18. Определение главных напряжений в частном случае трехмерного напряженного состояния при одном заданном по величине и направлению главном напряжении и остальных известных компонентах тензора напряжений.

ОТВЕТ: Главные напряжения легко находятся из круговой диаграммы: , , где R – радиус круга. . Таким образом,

. После того как напряжения σ’ и σ‘’ найдены, они сопоставляются с величиной σ_y и переименовываются на σ₁,σ₂ и σ₃ в порядке убывания.

19. Особенности оценки прочности для трехмерного напряженного состояния. Эквивалентное напряжение. Критерий прочности.

ОТВЕТ: Эквивалентное напряжение – это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его состояние было равноопасно с заданным напряжённым состоянием.

Критерий прочности – мера напряжённого состояния, по достижения которой происходит переход от упругого состояния к пластическому, и условий, при которых начинается разрушение.

20. Гипотезы прочности. Вывод формул эквивалентных напряжений по I, II, III и IV (энергетической) гипотезам прочности. Сравнительная характеристика гипотез прочности (их недостатки и преимущества друг перед другом).

ОТВЕТ: Максимальное касательное напряжение возникает на площадках, равнонаклонных площадкам наибольшего и наименьшего главных напряжений, и равно полуразности этих напряжений: . Если величина достигла некоторого предельного значения, свойственного данному материалу, то независимо от вида напряжённого состояния происходит переход к пластическому состоянию материала. Наложение всестороннего давления влияет не на условия пластичности, а на условия разрушения. Два напряжённых состояния равноопасны в том случае, если имеет место равенство наибольших касательных напряжений, т.е.: , откуда .

21. Понятие о гипотезе предельных состояний (гипотезе Мора).

ОТВЕТ: Выберем некоторое напряжённое состояние и будем одновременно увеличивать все компоненты. Рано или поздно это напряжённое состояние станет предельным. Образец либо разрушится, либо в нём появятся пластические деформации. Вычертим для предельного состояния на плоскости σ, τ наибольший из трёх кругов Мора. Будем в дальнейшем считать, что предельное состояние не зависит от величины σ₂. Далее, на образце того же материала производим испытание при другом напряжённом состоянии. Снова путём пропорционального увеличения компонентов добиваемся того, что напряжённое состояние станет предельным. На диаграмме вычерчиваем соответствующий круг. Поступая таким образом и дальше, получим семейство кругов Мора для предельных напряжённых состояний. Вычерчиваем их общую огибающую. Примем, что эта огибающая является единственной, независимо от величин промежуточных главных напряжений σ₂. Это положение является основным допущением в излагаемой теории. Форма огибающей предельных кругов Мора зависит от свойств материала и является его механической характеристикой, такой же, как, например, диаграмма растяжений. Если огибающая предельных кругов дана, можно при любом заданном напряжённом состоянии определить коэффициент прочности запаса. Для этого надо по заданным напряжениям вычертить наибольший из трёх кругов Мора, а затем, хотя бы графически, установить, во сколько раз следует увеличить σ₁ и σ₃, чтобы увеличенный круг касался предельной огибающей.

, , - коэффициент запаса. Для эквивалентного напряжения: . По условию эквивалентности: , где . Основным недостатком теории Мора является недостаточно точное определение предельной огибающей в области всестороннего растяжения.

22. Сложное сопротивление бруса. Расчеты на прочность по опасной точке бруса. Анализ
полей напряжений, возникающих в прямоугольном и квадратном поперечных сечениях
бруса. Определение эквивалентных напряжений по III и IV гипотезам прочности.

ОТВЕТ: , где .

, .

23. Сложное сопротивление бруса. Расчет на прочность по опасной точке бруса. Анализ полей напряжений, возникающих в круглом поперечном сечении бруса. Определение эквивалентных напряжений по III и IV гипотезам прочности.

ОТВЕТ: , где .

, .

24. Предпосылки (гипотезы, допущения) безмоментной теории тонких оболочек
вращения.

ОТВЕТ: Большинство элементов инженерных сооружений, подлежащих расчёту на прочность, может быть сведено к расчётным схемам бруса или оболочки. Оболочкой называется тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Расчёт стенки бака или гибкой коробки вариометра (прибора для измерения скорости подъёма самолёта) не может быть осуществлен при помощи методов, которые применялись к брусу. Задача о расчёте оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда возможно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по величине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует. Теория оболочек, построенная на этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек.

25. Безмоментная теория тонких оболочек вращения. Вывод формулы для определения
меридионального напряжения.

ОТВЕТ: Безмоментной теория оболочек – теория, построенная на предположении, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по величине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует.