Вопросы к экзамену по второй части курса

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ по второй части курса

«Сопротивление материалов» (СМ) для студентов групп М21, М22, М23, М24, М25, М26, обучающихся по специальности 17.05.00 (240801) «Машины и аппараты химических производств»

1. Линейно деформируемые системы. Теорема Клапейрона о работе внешних сил при квазистатическом нагружении линейно-деформируемой системы.

ОТВЕТ: В линейно деформируемых системах при квазистатическом нагружении работа внешних сил равна потенциальной энергии упругой деформации этой системы.

; ; ; .

Потенциальная энергия упругой деформации определяется только изменением во взаимных расположениях линейных точек линейно деформированной системы.

.

Работа усилия на перемещении точки приложения этого усилия на перемещении, вызванного силой равно работе силы на перемещении, вызванном усилием .

2. Вывод формулы Мора для определения перемещений в плоских стержневых системах из условия равенства работы внешних сил и потенциальной энергии упругой деформации линейно деформируемой системы.

Обобщение (без вывода) этой формулы на определение перемещений в пространственных стержневых системах.

ОТВЕТ: ; ; ; .

Потенциальная энергия упругой деформации определяется только изменением во взаимных расположениях линейных точек линейно деформированной системы.

.

3. Доказательство теоремы Бетти о взаимности работ.

ОТВЕТ: .

Работа усилия на перемещении точки приложения этого усилия на перемещении, вызванного силой равно работе силы на перемещении, вызванном усилием .

4. Доказательство теоремы Максвелла о взаимности перемещений.

ОТВЕТ: ; ; ; .

Перемещение точки приложения единичной силы по направлению силы до единичного усилия равно перемещению точки единичной силы по направлению единичного усилия .

5. Вывод формулы для вычисления интеграла Мора по способу А.Н. Верещагина.

ОТВЕТ: Возьмём интеграл от произведения двух функций на участке длиной l:

при условии, что по крайней мере одна из этих функций – линейная. Пусть . Тогда . - площадь эпюры . - статический момент площади эпюры относительно оси y1, где - координата центра тяжести первой эпюры. Получим: , но . Следовательно, . Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой.

6. Расчет статически неопределимых плоских рам по методу сил. Установление степени статической неопределимости плоской рамы при наличии замкнутых контуров и шарниров. Основная, единичные, грузовая и эквивалентная системы. Канонические уравнения, их физический смыл. Капитальная проверка.

ОТВЕТ: Метод сил – метод раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами.

Разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, носит название степени или числа статической неопределимости.

Основная система – система, освобожденная от дополнительных связей (становится статически определимой).

Канонические уравнения служат для определения неизвестных силовых факторов.

- канонические уравнения метода сил.

7. Расчет статически неопределимых плоских рам по методу сил. Использование геометрической и силовой (прямой и обратной) симметрии системы. Привести примеры.

ОТВЕТ: Составляем m канонических уравнений . Число m – степень статической неопределимости системы.

Симметричные системы – системы, в которых силовые факторы образуют зеркальные отображения относительно плоскости сечения.

В симметричной раме не возникает взаимных кососимметричных перемещений под действием симметричных нагрузок. Также не возникает симметричных перемещений под действием кососимметричных факторов. При симметричной нагрузке кососимметричные силовые факторы в плоскости симметрии обращаются в нуль.

Обратно симметричные системы (кососимметричные системы) – системы, в которых каждый силовой фактор противоположен по знаку зеркальному отображению взаимного фактора.

В кососимметричной системе в плоскости симметрии обращаются в нуль симметричные силовые факторы.

Если система не обладает свойствами ни прямой, ни обратной симметрии, всегда имеется возможность разложить её на кососимметричную и симметричную.

8. Расчет статически неопределимых плоских рам по методу сил. Рациональный выбор основной системы. Привести примеры.

ОТВЕТ: Составляем m канонических уравнений . Число m – степень статической неопределимости системы.
Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Но нужно помнить, что не каждая система с отброшенными связями может быть принята как основная. Оставшиеся связи должны обеспечивать кинетическую неизменяемость системы, с одной стороны, и статической определимости во всех узлах, - с другой. После того, как были отброшены дополнительные связи и система превращена в статически определимую, необходимо вести вместо связей неизвестные силовые факторы.

9. Определение перемещений в статически неопределимых плоских рамах. Привести примеры.

ОТВЕТ: δ_ik – взаимное смещение точек системы. Первый символ при δ соответствует направлению перемещения, а второй – силе, вызвавшей это перемещение.

Каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, отсюда: . Если , то . Отсюда, δ_ik – есть перемещение по направлению i-го силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего k-й фактор. Но в данном случае (рама работает только на изгиб, а может работать на: кручение, растяжение, и изгиб) определения перемещения не обуславливается то, каким образом возникают перемещения δ_ik. Для более полного определения перемещений пользуются интегралом Мора. Для определения величины δ_ik следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k-й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы M_kP, M_xP, M_yP, N_P, Q_xP, Q_yP заменим на M_кk, M_xk, M_yk, N_k, Q_xk, Q_yk. Получим: .

10. Трехмерное напряженное состояние в точке. Тензор напряжений, его особенности и форма записи. Закон парности касательных напряжений.

ОТВЕТ: Напряжённым состоянием в точке называется совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку. Полное напряжение может быть разложено на три составляющие: одну по нормали к площадке и две в плоскости сечения. Нормальное напряжение обозначается символом σ с индексом, соответствующим осям x, y, z. Касательное напряжение обозначается буквой τ с двумя индексами: первый соответствует оси, перпендикулярной к площадке, а второй – оси, вдоль которой направлен вектор τ. Ориентация самих осей является произвольной. Иными словами, напряжённое состояние в точке определяется шестью компонентами.

Закон парности напряжений. На двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра. , , .

Напряжённое состояние определяется не тремя, а шестью числами и представляет собой тензор. Тензору в отличие от вектора не может быть дано простого толкования, и тензор обычно задают матрицей (таблицей), написанной, например, в виде: , где каждое число представляет собой значение σ_x, τ_yx,… в соответствии с расположением коэффициентов в трёх уравнениях: .

11. Трехмерное напряженное состояние в точке. Определение напряжений в произвольно заданной площадке.

ОТВЕТ: Напряжённым состоянием в точке называется совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку. Полное напряжение может быть разложено на три составляющие: одну по нормали к площадке и две в плоскости сечения. Нормальное напряжение обозначается символом σ с индексом, соответствующим осям x, y, z. Касательное напряжение обозначается буквой τ с двумя индексами: первый соответствует оси, перпендикулярной к площадке, а второй – оси, вдоль которой направлен вектор τ. Ориентация самих осей является произвольной. Иными словами, напряжённое состояние в точке определяется шестью компонентами.

Выделим в окрестности точки элементарный объём в виде параллелепипеда в виде четырёхгранника. Три грани совпадают с координатными плоскостями симметрии x, y, z. Четвёртая грань образована секущей плоскостью общего положения. Её ориентацию в пространстве будем определять направляющими косинусами нормали υ, т.е. величинами l, m, n. Вектор полного напряжения на площадке общего положения спроектируем на оси x, y, z. Обозначим эти проекции через X, Y, Z соответственно. Отсюда получим, что , . Отсюда видно, что напряжённое состояние в точке определяется шестью компонентами.

12. Главные напряжения и главные площадки трехмерного напряженного состояния в точке. Инварианты тензора напряжений.

ОТВЕТ: Главные оси – такая система осей x, y, z, в которых в исследуемой точке касательные напряжения τ_zy, τ_zx, τ_xy равны нулю.

Главные площадки – площадки, перпендикулярные соответствующим главным осям.