Вопросы к экзамену по второй части курса (1092902), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Рассмотрим симметричную оболочку (такая оболочка, в которой срединная поверхность представляет собой поверхность вращения) толщиной h. Обозначим через ρm радиус кривизны дуги меридиана срединной поверхности, а через ρt - второй главный радиус, т.е. радиус, т.е. радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного к дуге меридиана. Этот радиус равен отрезку нормали, заключённой между срединной поверхностью и осью симметрии. ρm и ρt являются в общем случае функцией угла θ – угла между нормалью и осью симметрии.
Двумя парами меридиональных и нормальных конических сечений выделим из оболочки элемент ds1, ds2. Будем считать, что на гранях элемента возникают напряжения σm и σt. Первое будем считать меридиональным напряжением. Вектор этого напряжения направлен по дуге меридиана. Второе напряжение σt называется окружным напряжением. Напряжения σm и σt, умноженные на соответствующие площади граней элемента, дадут силы σm·h·ds2 и σt·h·ds1. К этому же элементу приложена сила нормального давления p·ds1·ds2. Проектируя все силы на нормаль, получим: 
. Так как 
, 
, то в итоге: 
- уравнеие Лапласа. Спроектируем все силы на направление оси оболочки. Удобнее это делать не для элемента, а для част оболочки, отсечённой коническим нормальным сечением. Обозначая через Р осевую равнодействующую внешних сил, получим: 
.
26. Безмоментная теория тонких оболочек вращения. Вывод уравнения Лапласа.
ОТВЕТ: Безмоментной теория оболочек – теория, построенная на предположении, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по величине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует.
Рассмотрим симметричную оболочку (такая оболочка, в которой срединная поверхность представляет собой поверхность вращения) толщиной h. Обозначим через ρm радиус кривизны дуги меридиана срединной поверхности, а через ρt - второй главный радиус, т.е. радиус, т.е. радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного к дуге меридиана. Этот радиус равен отрезку нормали, заключённой между срединной поверхностью и осью симметрии. ρm и ρt являются в общем случае функцией угла θ – угла между нормалью и осью симметрии.
Двумя парами меридиональных и нормальных конических сечений выделим из оболочки элемент ds1, ds2. Будем считать, что на гранях элемента возникают напряжения σm и σt. Первое будем считать меридиональным напряжением. Вектор этого напряжения направлен по дуге меридиана. Второе напряжение σt называется окружным напряжением. Напряжения σm и σt, умноженные на соответствующие площади граней элемента, дадут силы σm·h·ds2 и σt·h·ds1. К этому же элементу приложена сила нормального давления p·ds1·ds2. Проектируя все силы на нормаль, получим: . Так как , , то в итоге: - уравнеие Лапласа.
27. Расчет сферической оболочки под газовым давлением по безмоментной теории
тонких оболочек вращения.
ОТВЕТ: Для сферической оболочки 
. По условию полной симметрии 
. Уравнение Лапласа ( ) примет вид: 
. Напряжённое состояние будет являться двухосным: 
. Наименьшее напряжение 
принимаем равным нулю. По теории Мора, независимо от величины k (
): 
.
28. Расчет цилиндрической оболочки под газовым давлением по безмоментной теории тонких оболочек вращения.
ОТВЕТ: Цилиндрический сосуд находится под действием внутреннего давления p. Радиус цилиндра равен R, толщина равна h. Определяем напряжения.
Отсекаем поперечным сечением часть цилиндра и составляем для неё уравнение равновесия: 
. Осевая составляющая сил давления, независимо от формы днища, будет равна 
. Таким образом, 
. Для цилиндра 
, 
. Поэтому из формулы Лапласа ( ): 
, т.е. окружное напряжение оказывается вдвое больше меридионального. Выделим элемент цилиндрической оболочки. Он будет находится в двухосном напряжённом состоянии: 
, 
, 
. Эквивалентное напряжение: 
. Как видно, эквивалентное напряжение для цилиндрической оболочки в два раза больше чем для сферической.
29. Расчет конической оболочки под газовым давлением по безмоментной теории.
ОТВЕТ: Полусферический сосуд радиуса R и толщины h заполнен жидкостью с удельным весом γ. Определяем напряжения в сосуде.
Нормальным коническим сечением с углом 2φ при вершине отсекаем нижнюю часть сферической оболочки и составляем для неё уравнение равновесия, где Р – равнодействующая сила давления жидкости. Сила Р будет равно весу жидкости в объёме, расположенном выше отсечённой части оболочки. Введём вспомогательный угол ψ и определим объём жидкости, расположенной выше отсечённой част оболочки: 
или 
. Таким образом: 
, 
. Из уравнения Лапласа ( ): , 
. Подставляя σm, находим из этого уравнения:
.
30. Расчет па прочность толстостенных труб из линейно-упругого материала.
Постановка задачи Ламе. Физическая сторона задачи.
ОТВЕТ: Осевое напряжение в толстостенной трубе: 
,
Радиальное напряжение в толстостенной трубе: 
, где 
Окружное напряжение в толстостенной трубе: 
, где . Определяем главные напряжения (при условии, что 
) и проверяем тубу по гипотезам прочности.
Задача Ламе – задача определения напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре. Толстостенным цилиндром является такой цилиндр, у которого отношение 
.
31. Расчет на прочность толстостенных труб из линейно-упругого материала. Статическая сторона задачи Ламе.
ОТВЕТ: Осевое напряжение в толстостенной трубе: ,
Радиальное напряжение в толстостенной трубе: , где
Окружное напряжение в толстостенной трубе: , где . Определяем главные напряжения (при условии, что ) и проверяем тубу по гипотезам прочности.
Задача Ламе – задача определения напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре. Толстостенным цилиндром является такой цилиндр, у которого отношение .
32. Геометрическая сторона задачи Ламе.
Задача Ламе – задача определения напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре. Толстостенным цилиндром является такой цилиндр, у которого отношение .
33. Решение задачи Ламе. Синтез физической, геометрической и статической сторон задачи. Составление разрешающего уравнения и его решение. Вывод формул главных напряжений, возникающих в толстостенной трубе под наружным и внутренним давлением.
ОТВЕТ: Задача Ламе – задача определения напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре.
Толстостенным цилиндром является такой цилиндр, у которого отношение .
Осевое напряжение в толстостенной трубе: ,
Радиальное напряжение в толстостенной трубе: 
, где
Окружное напряжение в толстостенной трубе: , где .
34. Определение перемещений точек в стенках трубы, нагруженной наружным и
внутренним давлениями.
ОТВЕТ: По закону Гука: 
, где . На величину радиального перемещения сказывается только наличие осевого напряжения 
. В случае, если цилиндр нагружен силами давления в осевом направлении, то 
, где .
Если осевая сила отсутствует, то: 
, где .
35. Расчет на прочность трубы из линейно-упругого материала под внутренним давлением с использованием III и IV гипотез прочности.
ОТВЕТ: Радиальное напряжение: 
, где .
Окружное напряжение: 
, где .
У внутренней поверхности 
достигает наибольшего значения: 
. Радиальное напряжение при этом равно –р. По теории наибольших касательных напряжений (в случае отсутствия осевой силы, т.е. при 
): 
.
36. Расчет на прочность трубы из линейно-упругого материала под наружным
давлением с использованием III и IV гипотез прочности.
ОТВЕТ: Радиальное напряжение: 
, где .
Окружное напряжение: 
, где .
Наибольшее эквивалентное напряжение имеет место у внутренней поверхности цилиндра. При отсутствии осевой силы: 
.
37. Способы повышения прочности толстостенных труб, работающих под внутренним
давлением.
ОТВЕТ: Если толщина цилиндра увеличивается, то наибольшие напряжения в нём при неизменном давлении уменьшаются, но не беспредельно. При b→∞:
Радиальное напряжение: 
, где .
Окружное напряжение: 
, где . Это значит, что для цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки радиальное напряжение в любой точке равно окружному и при отсутствии осевых напряжений все точки находятся в состоянии чистого сдвига. Далее, напряжения находятся в обратно пропорциональной зависимости от квадрата радиуса r. Если принять r=4a, то в точках, расположенных на таком расстоянии от оси, напряжения составляют всего 1/16 от максимальных. Следовательно, когда можно довольствоваться точностью расчётов в пределах 5-6% (практически большая точность и недостижима, хотя бы из-за упругих несовершенств материала), то цилиндр с отношением b/a>4 можно уже рассматривать как имеющий бесконечно большую толщину стенки. Эквивалентное напряжение при b→∞ будет равно: 
. Следовательно, если, например, предел упругости материала равен 6000 кГ/см2, то при бесконечно большой толщине цилиндра деформации будут упругими при давлении 3000 кГ/см2.
38. Расчет на прочность элементов конструкций, работающих при напряжениях, изменяющихся во времени. Основные понятия и характеристики циклов. Виды часто встречающихся циклов. Понятие об «усталостном» разрушении.
ОТВЕТ: Расстояние у от определённой точки до нейтральной оси меняется во времени: 
, где 
- угловая скорость вращения колеса. Следовательно: 
.
Таким образом, нормальное напряжение в сечениях оси меняется по синусоиде с амплитудой 
.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
