Вопросы к экзамену по второй части курса, страница 3

Рассмотрим симметричную оболочку (такая оболочка, в которой срединная поверхность представляет собой поверхность вращения) толщиной h. Обозначим через ρ_m радиус кривизны дуги меридиана срединной поверхности, а через ρ_t - второй главный радиус, т.е. радиус, т.е. радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного к дуге меридиана. Этот радиус равен отрезку нормали, заключённой между срединной поверхностью и осью симметрии. ρ_m и ρ_t являются в общем случае функцией угла θ – угла между нормалью и осью симметрии.

Двумя парами меридиональных и нормальных конических сечений выделим из оболочки элемент ds₁, ds₂. Будем считать, что на гранях элемента возникают напряжения σ_m и σ_t. Первое будем считать меридиональным напряжением. Вектор этого напряжения направлен по дуге меридиана. Второе напряжение σ_t называется окружным напряжением. Напряжения σ_m и σ_t, умноженные на соответствующие площади граней элемента, дадут силы σ_m·h·ds₂ и σ_t·h·ds₁. К этому же элементу приложена сила нормального давления p·ds₁·ds₂. Проектируя все силы на нормаль, получим: . Так как , , то в итоге: - уравнеие Лапласа. Спроектируем все силы на направление оси оболочки. Удобнее это делать не для элемента, а для част оболочки, отсечённой коническим нормальным сечением. Обозначая через Р осевую равнодействующую внешних сил, получим: .

26. Безмоментная теория тонких оболочек вращения. Вывод уравнения Лапласа.

ОТВЕТ: Безмоментной теория оболочек – теория, построенная на предположении, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по величине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует.

Рассмотрим симметричную оболочку (такая оболочка, в которой срединная поверхность представляет собой поверхность вращения) толщиной h. Обозначим через ρ_m радиус кривизны дуги меридиана срединной поверхности, а через ρ_t - второй главный радиус, т.е. радиус, т.е. радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного к дуге меридиана. Этот радиус равен отрезку нормали, заключённой между срединной поверхностью и осью симметрии. ρ_m и ρ_t являются в общем случае функцией угла θ – угла между нормалью и осью симметрии.

Двумя парами меридиональных и нормальных конических сечений выделим из оболочки элемент ds₁, ds₂. Будем считать, что на гранях элемента возникают напряжения σ_m и σ_t. Первое будем считать меридиональным напряжением. Вектор этого напряжения направлен по дуге меридиана. Второе напряжение σ_t называется окружным напряжением. Напряжения σ_m и σ_t, умноженные на соответствующие площади граней элемента, дадут силы σ_m·h·ds₂ и σ_t·h·ds₁. К этому же элементу приложена сила нормального давления p·ds₁·ds₂. Проектируя все силы на нормаль, получим: . Так как , , то в итоге: - уравнеие Лапласа.

27. Расчет сферической оболочки под газовым давлением по безмоментной теории
тонких оболочек вращения.

ОТВЕТ: Для сферической оболочки . По условию полной симметрии . Уравнение Лапласа ( ) примет вид: . Напряжённое состояние будет являться двухосным: . Наименьшее напряжение принимаем равным нулю. По теории Мора, независимо от величины k ( ): .

28. Расчет цилиндрической оболочки под газовым давлением по безмоментной теории тонких оболочек вращения.

ОТВЕТ: Цилиндрический сосуд находится под действием внутреннего давления p. Радиус цилиндра равен R, толщина равна h. Определяем напряжения.

Отсекаем поперечным сечением часть цилиндра и составляем для неё уравнение равновесия: . Осевая составляющая сил давления, независимо от формы днища, будет равна . Таким образом, . Для цилиндра , . Поэтому из формулы Лапласа ( ): , т.е. окружное напряжение оказывается вдвое больше меридионального. Выделим элемент цилиндрической оболочки. Он будет находится в двухосном напряжённом состоянии: , , . Эквивалентное напряжение: . Как видно, эквивалентное напряжение для цилиндрической оболочки в два раза больше чем для сферической.

29. Расчет конической оболочки под газовым давлением по безмоментной теории.

ОТВЕТ: Полусферический сосуд радиуса R и толщины h заполнен жидкостью с удельным весом γ. Определяем напряжения в сосуде.

Нормальным коническим сечением с углом 2φ при вершине отсекаем нижнюю часть сферической оболочки и составляем для неё уравнение равновесия, где Р – равнодействующая сила давления жидкости. Сила Р будет равно весу жидкости в объёме, расположенном выше отсечённой части оболочки. Введём вспомогательный угол ψ и определим объём жидкости, расположенной выше отсечённой част оболочки: или . Таким образом: , . Из уравнения Лапласа ( ): , . Подставляя σ_m, находим из этого уравнения: .

30. Расчет па прочность толстостенных труб из линейно-упругого материала.
Постановка задачи Ламе. Физическая сторона задачи.

ОТВЕТ: Осевое напряжение в толстостенной трубе: ,

Радиальное напряжение в толстостенной трубе: , где

Окружное напряжение в толстостенной трубе: , где . Определяем главные напряжения (при условии, что ) и проверяем тубу по гипотезам прочности.

Задача Ламе – задача определения напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре. Толстостенным цилиндром является такой цилиндр, у которого отношение .

31. Расчет на прочность толстостенных труб из линейно-упругого материала. Статическая сторона задачи Ламе.

ОТВЕТ: Осевое напряжение в толстостенной трубе: ,

Радиальное напряжение в толстостенной трубе: , где

Окружное напряжение в толстостенной трубе: , где . Определяем главные напряжения (при условии, что ) и проверяем тубу по гипотезам прочности.

Задача Ламе – задача определения напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре. Толстостенным цилиндром является такой цилиндр, у которого отношение .

32. Геометрическая сторона задачи Ламе.

Задача Ламе – задача определения напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре. Толстостенным цилиндром является такой цилиндр, у которого отношение .

33. Решение задачи Ламе. Синтез физической, геометрической и статической сторон задачи. Составление разрешающего уравнения и его решение. Вывод формул главных напряжений, возникающих в толстостенной трубе под наружным и внутренним давлением.

ОТВЕТ: Задача Ламе – задача определения напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре.

Толстостенным цилиндром является такой цилиндр, у которого отношение .

Осевое напряжение в толстостенной трубе: ,

Радиальное напряжение в толстостенной трубе: , где

Окружное напряжение в толстостенной трубе: , где .

34. Определение перемещений точек в стенках трубы, нагруженной наружным и
внутренним давлениями.

ОТВЕТ: По закону Гука: , где . На величину радиального перемещения сказывается только наличие осевого напряжения . В случае, если цилиндр нагружен силами давления в осевом направлении, то , где .

Если осевая сила отсутствует, то: , где .

35. Расчет на прочность трубы из линейно-упругого материала под внутренним давлением с использованием III и IV гипотез прочности.

ОТВЕТ: Радиальное напряжение: , где .

Окружное напряжение: , где .

У внутренней поверхности достигает наибольшего значения: . Радиальное напряжение при этом равно –р. По теории наибольших касательных напряжений (в случае отсутствия осевой силы, т.е. при ): .

36. Расчет на прочность трубы из линейно-упругого материала под наружным
давлением с использованием III и IV гипотез прочности.

ОТВЕТ: Радиальное напряжение: , где .

Окружное напряжение: , где .

Наибольшее эквивалентное напряжение имеет место у внутренней поверхности цилиндра. При отсутствии осевой силы: .

37. Способы повышения прочности толстостенных труб, работающих под внутренним
давлением.

ОТВЕТ: Если толщина цилиндра увеличивается, то наибольшие напряжения в нём при неизменном давлении уменьшаются, но не беспредельно. При b→∞:

Радиальное напряжение: , где .

Окружное напряжение: , где . Это значит, что для цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки радиальное напряжение в любой точке равно окружному и при отсутствии осевых напряжений все точки находятся в состоянии чистого сдвига. Далее, напряжения находятся в обратно пропорциональной зависимости от квадрата радиуса r. Если принять r=4a, то в точках, расположенных на таком расстоянии от оси, напряжения составляют всего 1/16 от максимальных. Следовательно, когда можно довольствоваться точностью расчётов в пределах 5-6% (практически большая точность и недостижима, хотя бы из-за упругих несовершенств материала), то цилиндр с отношением b/a>4 можно уже рассматривать как имеющий бесконечно большую толщину стенки. Эквивалентное напряжение при b→∞ будет равно: . Следовательно, если, например, предел упругости материала равен 6000 кГ/см², то при бесконечно большой толщине цилиндра деформации будут упругими при давлении 3000 кГ/см².

38. Расчет на прочность элементов конструкций, работающих при напряжениях, изменяющихся во времени. Основные понятия и характеристики циклов. Виды часто встречающихся циклов. Понятие об «усталостном» разрушении.

ОТВЕТ: Расстояние у от определённой точки до нейтральной оси меняется во времени: , где - угловая скорость вращения колеса. Следовательно: .

Таким образом, нормальное напряжение в сечениях оси меняется по синусоиде с амплитудой .