Андрусевич Л.К. - Электромагнитные поля и волны, страница 4

. (2.4)

Тогда закон Гаусса в окончательной форме можно записать как:

. (2.5)

Заменив вектор на вектор , закону Гаусса (2.3) можно придать иную форму:

. (2.6)

4 Закон непрерывности магнитных силовых линий. Математическая форма закона имеет вид:

. (2.7)

Закон формулируется следующим образом: поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность S всегда равен нулю. Этим самым подтверждается факт, что в природе не существуют магнитные заряды. Магнитные силовые линии не имеют истока и стока, и поэтому всегда замкнуты на себя.

2.2 Система уравнений электродинамики

2.2.1 Уравнения Максвелла

Основные законы электромагнетизма были сформулированы на рубеже 18-19 веков и описывали поведение статических полей и полей постоянного тока. Однако обобщить их на случай переменных полей стало возможным только после того, как Джеймс Клерк Максвелл в 1837г. сформулировал свои уравнения, ставшие фундаментом современной классической электродинамики. Его постулат о токе смещения позволил ему сделать вывод о существовании электромагнитных волн и установить электромагнитную природу света.

Первое уравнение Максвелла

Закон Ампера устанавливает связь между постоянным электрическим током в проводнике и образовавшимся вокруг проводника магнитным полем. В такой формулировке этот закон не действует в случае переменных полей. Поясним на примере (рис.2.2).

О пыт показывает, что в цепи, состоящей из генератора переменного тока Г, амперметра А, конденсатора С и нагрузки Л (лампочки) протекает электрический ток. Об этом свидетельствуют показания амперметра и свечение лампочки. Однако, если пред-положить, что между обкладками конденсатора пустота, то как объяснить протекание электрического тока в фактически разомкнутой цепи? Максвелл предположил, что если закон Ампера верен, то магнитное поле образуется не только вокруг проводов с током, но и вокруг обкладок конденсатора. Следовательно, между обкладками конденсатора существует нечто подобное электрическому току. Это «нечто» Максвелл назвал током смещения. Механизм этого явления нетрудно установить, воспользовавшись законом Гаусса (2.6). Взяв производную по времени от обеих частей равенства (2.6), и учтя, что производная по времени от электрического заряда является током, получим:

. (2.8)

Полагая, что на поверхность интегрирования никаких ограничений не накладывается, окончательно получим:

, (2.9)

где – плотность тока смещения.

Таким образом, ток смещения есть не что иное, как производная по времени от вектора напряженности электрического поля. При заряде или разряде конденсатора в пространстве между его обкладками изменяется электрическое поле (движется в широком смысле). Это изменение электрического поля и следует рассматривать как особую форму тока. Размерность величины , то есть такая же, как и у плотности электрического тока. Этот вывод имеет принципиальное значение, смысл которого заключается в том, что источником магнитного поля может быть не только электрический ток, но и переменное электрическое поле. Это еще раз подтверждает, что электромагнитное поле едино, а электрическое поле и магнитное поле являются лишь его частными проявлениями.

Таким образом, полный ток в цепи представляет собой сумму тока проводимости и тока смещения, который замыкает электрическую цепь. С учетом сказанного, окончательная форма первого уравнения Максвелла принимает вид:

. (2.10)

Максвелл записал свои уравнения в дифференциальной форме. Для того чтобы перейти от интегральной формы к дифференциальной, нужно воспользоваться теоремой Стокса, согласно которой циркуляция вектора по замкнутому контуру равняется потоку ротора вектора через поверхность, ограниченную этим контуром:

. (2.11)

Учитывая то, что поверхность S выбрана произвольно, уравнение (2.11) примет вид:

. (2.12)

Второе уравнение Максвелла

Максвелл обобщил закон электромагнитной индукции Фарадея (2.2) на случай переменных полей:

. (2.13)

В представлении Фарадея контур является проводящим. Максвелл предположил, что закон справедлив и для непроводящих сред, По Максвеллу воображаемым контуром можно ограничить часть пространства с площадью S, и в этом контуре за счет переменного магнитного потока в принципе будет наводиться ЭДС. С другой стороны, циркуляция вектора по воображаемому контуру, ограничивающему часть свободного пространства, порождает переменный магнитный поток Ф сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. Именно это навело Максвелла на мысль о волновом характере переменного электромагнитного поля, источником которого является ток смещения в виде изменяющегося во времени электрического поля. Примером может служить свет далеких звезд, который дошел до Земли через огромное количество световых лет, в то время как звезда уже прекратила свое существование как источник света.

Используя теорему Стокса, как это было сделано в случае первого уравнения Максвелла, и положив, что поверхность интегрирования S неизменна в пространстве и времени, нетрудно записать второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

. (2.14)

Третье уравнение Максвелла

До Максвелла закон Гаусса (2.5) был сформулирован на случай постоянных полей. Обобщая закон Гаусса, Максвелл предположил, что он справедлив и в случае переменных полей. Дифференциальную форму закона можно получить, воспользовавшись теоремой Остроградского–Гаусса, согласно которой интеграл по замкнутой поверхности S от вектора можно заменить интегралом по объему V, ограниченному этой поверхностью, от дивергенции вектора. Полагая, что на объем никаких ограничений не накладывается, третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме можно записать в виде:

, или . (2.15)

Здесь операция div переводится как расходимость вектора Е из объема, ограниченного поверхностью S.

Из формулы (2.15) следует, что дивергенция вектора не равна нулю в области, где есть свободные заряды. Вектор (или ) имеет исток, если заряды положительные, и сток, если заряды отрицательные. Следует подчеркнуть, что истоком и стоком вектора могут служить не только свободные, но и связанные заряды:

. (2.16)

Четвертое уравнение Максвелла

Четвертое уравнение Максвелла является обобщением на случай переменных полей закона непрерывности магнитных силовых линий (2.7):

.

Как было установлено выше, в основе закона лежит утверждение об отсутствии в природе магнитных зарядов. Соответственно, силовые линии вектора магнитной индукции не имеют истока и стока, то есть всегда замкнуты на себя, так же как и в случае переменных полей. Дифференциальную форму четвертого уравнения Максвелла можно получить по аналогии с третьим уравнением, воспользовавшись теоремой Остроградского–Гаусса:

. (2.17)

2.2.2 Закон сохранения заряда.

Уравнение непрерывности

Закон сохранения заряда является одним из фундаментальных физических законов. Смысл его в том, что электрические заряды не могут самопроизвольно возникать и исчезать. Следовательно, всякое изменение величины заряда, сосредоточенного внутри некоторого объема V, ограниченного замкнутой поверхностью S, неизбежно сопровождается возникновением тока проводимости , пронизывающего эту поверхность:

. (2.18)

Знак «минус» подчеркивает тот факт, что именно уменьшение заряда в объеме вызывает наличие тока проводимости, вытекающего из объема V.

Перейдем к дифференциальной форме закона сохранения заряда. Для этого возьмем дивергенцию от левой и правой частей первого уравнения Максвелла (2.12):

. (2.19)

По определению , следовательно,

. (2.20)

Воспользовавшись третьим уравнением Максвелла в дифференциальной форме (2.15), окончательно получим:

. (2.21)

Формула (2.21) носит название уравнения непрерывности. Этим подчеркивается факт непрерывности линий полного тока. Следует, однако, заметить, что линии плотности тока проводимости и плотности тока смещения могут иметь начало и конец. Например, линии тока смещения начинаются и заканчиваются на пластинах конденсатора.

2.2.3 Закон Ома в дифференциальной форме

К основным уравнениям электродинамики относится также закон Ома в дифференциальной форме, который устанавливает соотношение между плотностью тока проводимости и напряженностью электрического поля в средах с конечной проводимостью. Эту взаимосвязь исследуем на примере.

Пусть в отрезке проводника весьма малых размеров, цилиндрической формы, длиной dℓ и площадью поперечного сечения dS протекает ток величиной dI. Из-за малости размеров цилиндра будем считать, что плотность тока проводимости в пределах его торцов постоянна, а линии тока параллельны его оси. Согласно закону Ома:

, (2.22)

где R – сопротивление цилиндра,

dU – напряжение между его торцами, которое равняется