Лекции

Неопределённый интеграл.

О: Первообразной от функции y=f(x) называется функция F(x), такая что F’(x)=f(x)

Т: Всякая непрерывная функция y=f(x) имеет бесконечное множество первообразных, причём любые две из них отличаются друг от друга постоянным числом.

Д: Ф(x)≠F(x), F’(x)=f(x) и Ф’(x)=f(x) => [F(x)-Ф(x)] ’=0 => F(x)-Ф(x)=const <=> F(x)=Ф(x)+const

О: Выражение, охватывающее множество всех первообразных для данной функции y=f(x), называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается следующим образом: ∫f(x)dx=F(x)+c

Свойства неопределённых интегралов.

1. [∫ f(x)dx]’=[ F(x)+c]’=f(x) => [∫ f(x)dx]’=∫f ‘(x)dx

2. ∫[f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x)]dx=∫f₁(x)dx +∫f₂(x)dx+…+∫f_n(x)dx

Д: [∫[f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x)]dx]’=f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x); [∫f₁(x)dx+∫f₂(x)dx+…+∫f_n(x)dx]’=[∫f₁(x)dx]’+[∫f₂(x)dx]’+…+[∫f_n(x)dx]’=f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x)

1. ∫сf(x)dx=с∫f(x)dx

Д: (с∫f(x)dx)’=c(∫f(x)dx)’=cf(x)

1. Инвариантность (неизменность) формул интегрирования:

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид, если вместо независимой переменной использовать любую другую независимую переменную,т.е

∫f(x)dx=F(x)+c => ∫f(u)du={u=u(x)}=F(u)+c

Д: dF(u)=F’(u)du => ∫dF(u)= ∫F’(u)du=∫f(u)du => ∫dF(u)=F(u) => ∫f(u)du=F(u)+c

Интегрирование по частям.

U=U(x), V=V(x), тогда ∫U(x)dV(x)=U(x)V(x)-∫V(x)dU(x)

Д: d(U·V)=VdU+UdV => ∫ d(U·V)= ∫(VdU+UdV) <=> ∫UdV=UV-∫VdU

Понятие рациональной дроби.

Пусть даны два многочлена Р_n(х)=a_nxⁿ+a_n-1xⁿ⁺¹+…+a₁x¹+a₀ и Q_m(x)= b_mx^m+b_m-1x^m+1+…+b₁x¹+b₀

(a_n, b_m≠0).

О: Функция R(х) называется дробнорациональной функцией, если она представлена в виде R(х)= Р_n(х)/ Q_m(x).

О: Если n<m, то функция R(х) называется правильной дробнорациональной функцией. Если n>(=)m, то R(х) – неправильная дробно-рациональная функция. Любую дробнорациональную функцию при помощи деления числителя на знаменатель уголком можно представить в виде суммы многочлена неправильных дробнорациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей.

1. Q_m(x)={ b_m=1}=x^m+b_m-1x^m+1+…+b₁x¹+b₀=(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_m), где x_1, x_2, x_m – корни многочлена Q_m(x).

R(x)={R(x)-правильная дробнорациональная функция}=Р_n(х)/Q_m(x)=Р_n(х)/((x-x₁)(x-x₂)…(x-x_m))

О: Выражение А_i / (x-x_i) (iєN) называется простейшей рациональной дробью.

R(x)=А₁ /(x-x₁)+А₂ /(x-x₂)+…+А_ь /(x-x_m).

1. Q_m(x)={ b_m=1}=x^m+b_m-1x^m+1+…+b₁x¹+b₀=(x-x₁)^k1(x-x₂)^k2…(x-x_m)^km _, (k₁+k₂+…+k_m=m)

Если Q_m(x) имеет кратные корни 2, то к каждому множителю соответствует степень ((x-x_i)^mi_).

1≤i≤m.

Разложение функции R(x) на простейшие дроби с суммой m_i простейших дробей.

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций.

Пусть R= R(sinx,cosx) является рациональной функцией.

Т: Интеграл ∫R(sinx,cosx)dx при помощи подстановки t=tg(x/2) [1] преобразуется в интеграл ∫R*(t)dt, где R*(t) является также рациональной функцией. Равенство [1] называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Если в выражение функции R(sinx,cosx) sinx и cosx входят только с чётными степенями, то используется подстановка t=tg(x). Такой же подстановкой вычисляется интеграл вида ∫R(tgx)dx.

Вычисление интегралов вида ∫sin^mx·cosⁿx·dx; m, n є Z.

1. m>0, n – нечётное, тогда t=cosx.

2. n >0, m – нечётное, тогда t=sinx.

3. m>0, n>0, m, n – чётные. В этом случае исходный интеграл вычисляется при помощи тригонометрических формул понижения степени.

4. m<0, n<0, m+n – чётное => t=tg x.

5. m=0, n<0, n – нечётное => t=tg(x/2).

6. При других значениях показателей степеней m и n соответствующие интегралы сводятся к одному из рассмотренных случаев.

Определённый интеграл.

Примеры функций, неопределённые интегралы от которых не выражаются через элементарные функции.

О: Элементарные функции, неопределённые интегралы которых не выражаются никакими конечными комбинациями элементарных функций называются неинтегрируемыми в элементарных функциях.

Задачи о нахождении площади плоской фигуры.

y=f(x) [a,b]=[x₀,x₁]+[x₁,x₂]+…+[x_n-1,x_n] a=x₀< x₁< x₂<…< x_n-1< x_n=b

О: Отрезки [x_i,x_i+1] (0≤i≤n-1, iєZ) называются частичными отрезками.

Выберем в каждом частичном отрезке [x_i,x_i+1] произвольную точку ε_iє[x_i,x_i+1], т.е:

ε₁є[x₀,x₁]; ε₂є[x₁,x₂]; … ; ε_nє[x_n-1,x_n].

Пусть S_n – площадь ступенчатой фигуры. Поскольку площадь этой фигуры складывается из площадей соответствующих прямоугольников, то

∆=max, S – площадь криволинейной трапеции => (1)

О: Величина I_n называется интегральной сумой.

О: Определение интегралом называют предел, к которому стремится интегральная сумма при неограниченном увеличении числа точек разбиения отрезка АВ и стремящееся к нулю длины наибольшего из них, т.е . (2)

О: В формуле (2) величины a, b называются нижним и верхним пределом интегралов.

Геометрический смысл определённого интеграла.

О: Площадь криволинейной трапеции равна определённому интегралу, вычисленному от функции, график которой является верхним основанием, а ось абсцисс – нижним основанием.

Теорема существования определённого интеграла.

Т: Если функция f(x) непрерывна на отрезке АВ, то её интегральная сумма стремится к пределу при неограниченном увеличении числа точек разбиения и стремящейся к нулю длины наибольшего отрезка разбиения, не зависит от способа разбиения отрезка АВ на частичные отрезки и выбора в них промежутка точки.

Свойства определённого интеграла.

1. Определённый интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от подынтегральных функций.

Д:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла.

Д:

1. Если поменять местами пределы интегрирования, то знак перед интегралом поменяется на противоположный.

Д:

1. Если отрезок интегрирования [a,b] разбить на две части точкой С так, что [a,b]=[a,c]+[c,b], то

Д: Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезки, выберем точку С таким образом, чтобы она совпадала с одной из точек разбиения. Тогда , (1), где первая сумма правой части функции

1. – сумма, соответствующая точкам разбиения отрезка [a,c], а вторая - отрезку [c,b],

С: Если С₁, С₂,… С_nє[a,b], то

1. Если подынтегральная функция на отрезке [a,b] не меняет знак, то интеграл является числом такого же знака, что и подынтегральная функция на отрезке интегрирования [a,b], т.е., если f(x)≥0, хє[a,b] =>

Д:

1. Значение определённого интеграла находится между произведением наименьшего и наибольшего значения подынтегральной функции на длину отрезка интегрирования, т.е. где .

Д:

1. Если то интеграл

Д:

1. Теорема о среднем.

Т: Внутри отрезка [a,b] существует хотя бы одно значение х=εє[a,b], такое что:

Д: Пусть , тогда ;

- Теорема о среднем для определения интеграла.

1. Формула для вычисления производной от определённого интеграла по переменному верхнему пределу.

Д:

1. Формула Ньютона – Лейбница.

О: Значение определённого интеграла равняется разности значений любой первообразной для подынтегральной функции в точках верхнего и нижнего предела соответственно, т.е

Д: Рассмотрим интеграл .

Из функции (1) следует, что I(x) является первообразной для подынтегральной функции f(x), т.к. I’(x)= f(x). Пусть F(x) – какая-то первообразная для подынтегральной функции, тогда I(x)=F(x)+c (2).

Из (1) =>

Из (2) =>

Замена переменной в определённом интеграле.

Т: Если на отрезке [х_1,х₂] функции непрерывны и , то интеграл от

Д:

Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Т: Пусть U=U(x), V=V(x), тогда

Д: Т.к. определённый интеграл равен разности значений первообразной в точках верхнего и нижнего и верхнего пределов, то интеграл

Несобственный интеграл.

Несобственные интегралы I рода.

О: Несобственным интегралом I рода от функции f(x), определённым на множестве [а,∞], называется предел, к которому стремится интеграл ,

О: Если существует конечный предел в функции (1), то несобственный интеграл называется сходящимся.

О: Если предел в функции (1) является бесконечным, или его не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Если первообразная функции F(x) для подынтегральной функции f(x) известна, то

Признаки сходимости интегралов I рода.

Т: (Признак сравнения) Пусть для любого допустимого значения х выполняется неравенство: , тогда:

1. Если интеграл - сходящийся, то сходится интеграл .

2. Если - расходящийся, - тоже расходящийся.

Д: 1. Пусть интеграл - сходящийся, тогда на основе определения сходимости несобственного интеграла I рода следует, что - огр. и монотонно возрастает. - сходящийся.

2. - расходящийся при , но по условию - расходящийся.

Т: Если интеграл - сходящийся, то сходящийся и . В этом случае называется абсолютно сходящимся интегралом.

Д: Рассмотрим 2 функции: Из определения функции f⁺(x) и f^¯(x) следует, что эти функции не отрицательные. f⁺(x)≥0 и f^¯(x)≥0, т.к. - сходящийся, то и - сходящиеся. 0≤f⁺(x)≤|f(x)| и 0≤f^¯(x)≤|f(x)|, т.к f(x)= f⁺(x)+f^¯(x), то (1).

Поскольку оба несобственных интеграла в правой части функции (1) – сходящиеся, то и интеграл также сходящийся.