Лекции, страница 2

Сходимость несобственных интегралов II рода.

нет точек разрыва π – точка разрыва II рода x₀ - точка разрыва I рода

О: Если на отрезке [a,b] функция у=f(x) имеет крнечное число точек разрыва I рода (x=C_1, C_2, …C_n, где C_i - точка разрыва I рода, 1≤i≤n), то

О: Если в точке b подынтегральная функция у=f(x) имеет разрыв II рода (т.е. ), то несобственным интегралом II рода от функции у=f(x) на отрезке [a,b] называется предел, к которому стремится , т.е. несобственный интеграл II рода есть (2).

О: Если существует конечный предел в функции (2), то несобственный интеграл II рода называется сходящимся, если конечного предела нет, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Вычисление площади плоской фигуры в декартовой прямоугольной системе координат.

1. y=y(x)

1. Подынтегральная функция задана параметрически.

Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат.

Требуется найти площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами ОА и ОВ и линией, уравнение которой в полярной системе координат имеет вид r=r(φ).

Пусть S_n – площадь плоской фигуры, составленной из круговых секторов с вершиной в точке О и радиусами r₁, r₂ …r_n. Тогда

(1)

О: Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат – это предел к которому стремится интегральная сумма (1) при n→∞ b и ∆φ→0, где ∆φ=max(∆φ), 1≤k≤n.

Вычисление длины дуги плоской кривой.

Пусть в декартовой системе координат 0, х, у задан график функции у=f(х). Будем считать, что эта функция непрерывна вместе со своей производной.

О: Длиной дуги графика функции у=f(х) называется предел, к которому стремится длина ломанной линии, вписанной в эту дугу при неограниченном увеличении числа сторон этой ломанной линии и стремлении к нулю наибольшей из этих сторон.

a=x₀<x₁<x₂<…<x_n-1<x_n=b, ∆x_k=x_k-x_k-1; A_kA_k-1=

Длина ломанной линии:

На основании формулы Лаграунда, имеем

Из (1) и (2) => . Переходим к пределу в равенстве (3) при n→∞ и ∆х→0, (4), где L – длина дуги графика функции у=f(х), определённой на отрезке [a,b]. Из (4) =>

Формула для вычисления длины дуги при различном способе задания кривой на плоскости.

График функции задан параметрически

, тогда из (5) =>

Вычисление объёма тела п площади параллельных плоскостных сечений. Вычисление объёма тела вращения.

Пусть в пространстве дано тело, ограниченное некоторой замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого его сечения, полученного плоскость, проведённой перпендикулярно некоторой оси. В начале этой оси можно взять ось Ох. В этом случае площадью произвольного сечения является функция переменной х (S=S(x)).

О: Объёмом тела называется предел, к которому стремится объём вписанного в него многоступенчатого цилиндра при неограниченном увеличении числа ступеней цилиндра и стремлении к нулю объёма наибольшего из них.

а=x₀<x₁<x₂< …<x_k<x_k-1<…<x_n-1<x_n=b, V_k=( x_k-x_k-1)S(x_k)= S(x_k)∆x_k; ∆x=max∆x_k, 1≤k≤n,

Перейдём к пределу в функции (1) при n→∞ b и ∆х→0

Если рассматриваемое тело, полученное при помощи вращения произвольной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у=у(х), то поперечным сечением данного тела в точке х является круг, радиус которого r равен значению функции у в данной точке х. r=y(x). Тогда S(x) – есть площадь круга S(x)=πy²(x).

Нахождение площади поверхности тела вращения.

Q(x) – соответствует площади боковой поверхности данного тела от точки А до точки х. Q(x)→х€[a,x]. Q(x+∆x)→х€[a,x+∆x], тогда ∆Q=Q(x+∆x)-Q(x)→х€[a,x+dx].

Перейдём в (6) к пределу при ∆x→0. В этом случае ∆у также →0. =>

Функция 2^х переменных.

О: Величина z называется функцией переменных х, у, определённых на множестве D x,y€D). Если каждой точке из этого множества с координатами х, у соответствует одно значение z.

z=z(х,у) <=> z=f(x,y).

Способ задания функции двух переменных.

1. Табличный.

2. Аналитический t=x+y.

3. Графический.

О: Функции трёх и более переменных определяются аналогично определению 2^х переменных.

О: Частной производной от функции z=f(x,y) по переменной x называется функция переменных x,y, получающаяся при помощи дифференцирования исходной функции по переменной x с предположением, что переменная y является константой.

Аналогично определение производной по переменной у.

О: Смешанные производные второго порядка называют производными производного вида.

Т: Если вторые смешанные производные от функции z=f(x,y) являются непрерывными функциями, то они равны между собой.

Понятие полного дифференциала для функции 2^ч переменных.

О: Полным приращением функции z=f(x,y) в точке М(x,y) называется величина ∆z=f(x+∆x,y+∆y)=f(x,y).

Можно доказать, что величину ∆z можно представить в виде ∆z=a∆x+b∆y+α, где ρ – определяется

О: Величина a∆x+b∆y называется полным дифференциалом функции z и обозначается, как dz.

Т: Полный дифференциал функции 2^х переменных равен сумме произведения частных производных на дифференциалы соответствующих независимых приращений, т.е. .

Д: Т.к.

Дифференциальные уравнения.

Однородные дифференциальные уравнения I порядка.

О: Дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение, в которое входят независимая переменная х, неизвестная функция у, и её производная у’, т.е. это уравнение имеет вид F(x,y,y’)=0 (1)

Из уравнения (1) производную можно выразить через независимую переменную х и неизвестную функцию у, то дифференциал уравнения (1): y’=f(x,y) (1).

О: Общим решением дифференциального уравнения (1) называется совокупность функций y=у(x,с), где с – производная постоянная, таких, что при подстановке этих функций в исходное уравнение, уравнение (1) обращается в верное числовое равенство (тождество).

О: Частным решением называется общее решение уравнения (1) при фиксированном значении константы с.

с=0, у=х²/2-частное решение.

О: Начальным условием уравнения (1) называется условие вида:

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения y’=f(x,y). (Теорема Каши).

Т: Если функция f(x,y) и непрерывны в некоторой области D, содержащей точку Р₀(х₀,у₀), то существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию .

Геометрический смысл задачи Каши.

Любое частное решения уравнения (1) на координатной плоскости х0у изображено в виде графика функции у=у(х,с) (с=const). В теории дифференциальных уравнений этот график называется интегральной кривой.

Общему решению уравнения (1) соответствует в общем случае бесконечное множество интегральных кривых.

y'=x  y=x²/2+c. y=x²/2 (c=0), y=x²/2-2 (c=-2).

Задании начального условия означает задание на координатной плоскости точки Р₀(х₀,у₀), через которую должна проходить интегральная кривая.

Если f(x,y) и в точке Р₀(х₀,у₀) непрерывны, то через эту точку проходит единственная интегральная кривая.

Если в этой точке условия теоремы Каши нарушены (нет непрерывности), то через точку Р₀(х₀,у₀) проходит либо бесконечное множество интегральных кривых либо вообще не проходит ни одной интегральной кривой.

Точки, в которых нарушается условие теоремы Каши, называются особыми точками.

Методы решения дифференциальных уравнений.

1. Метод разделения переменных.

О: Дифференциальные уравнения, в которых переменные можно разделить посредством умножения обеих частей уравнения на одно и то же выражение называются дифференциальными уравнениями с разделёнными переменными.

1. Решение однородных уравнений.

О: Уравнение (1) называется однородным, если f(x,y) будет представлена в виде f(x,y)=φ(yx).

y=U(x)·x. Переменную х представляют в виде произведения некоторой неизвестной функции U, зависящей от х, умноженной на переменную х.

Линейные дифференциальные уравнения I порядка.

О: Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение вида: y’+p(x)y+q(x) (1).

Метод решения линейных дифференциальных уравнений I порядка.

y=U(x)·V(x) => y’=U’(x)·V(x)+U(x)·V’(x) => (1)  U’(x)·V(x)+U(x)·V’(x)+p(x)·U(x)·V(x)=q(x) , т.к. U(x) и V(x) – произвольные функции независимой переменной х, то функцию V(x) можно определить по условию

Решение уравнения Бернулли.