Условия существования стационарного режима в ЧАПЧ и ФАПЧ (S_ЧДS_УЭ < 0 и S_ФДS_УЭ < 0) необходимы, но не достаточны. Это объясняется тем, что наличие ФНЧ создает дополнительные фазовые сдвиги в контуре регулирования, из-за чего отрицательная ОС по частоте, свойственная как ФАПЧ, так и ЧАПЧ, может превратиться в положительную и произойдет самовозбуждение системы. Влияние ФНЧ на устойчивость системы АПЧ оценивается по одному из известных критериев: Рауса – Гурвица, Найквиста, Михайлова и др.

7.5.2 Переходный режим в системах АПЧ

Анализ переходного режима — нерабочего в АПЧ — необходим для того, чтобы найти быстродействие системы. Длительность t_пер и характер процессов установления стационарного состояния в ЧАПЧ и ФАПЧ определяются из решения дифференциальных уравнений (7.8) и (7.9, а) или (7.9, б). Если эти уравнения имеют первый порядок, то особых проблем не возникает, так как разделение переменных с последующим интегрированием и подходящая аппроксимация нелинейных функций ( f) и  () дают приемлемую точность результатов. При втором и более высоких порядках указанных уравнений приходится применять приближенные процедуры поиска решений. Для выявления некоторых закономерностей, свойственных переходному режиму, упростим задачу, предположив, что в пределах возможных изменений f(t) и (t) корректна аппроксимация статических характеристик ЧД и ФД прямыми линиями. Угол наклона прямой линии, аппроксимирующей статическую характеристику детектора, определяется крутизной этой характеристики (S_ЧД или S_ФД) в точках с абсциссами f_ОСТ и _ОСТ для ЧД и ФД соответственно.

Дифференциальное уравнение линеаризованной ЧАПЧ с учетом того, что S_ЧДS_УЭ < 0, запишется на основании (7.8) в операторной форме:

f_Г(p) = f_Г.С(p) + К_Ф(p) S_ЧДS_УЭ[f_Г(p) – f_С(p) – f_Д(p)], (7.17)

где p = d/dt – дифференциальный оператор.

Следуя той же последовательности рассуждений, что и при выводе

(7.10), положим, что f_Г.С(p) = f _Н, f_С(p) = 0 и f_Д(p) = 0. Тогда f_Г(p) = f(p) и (7.17) для однозвенной RC-цепи с К_Ф(p) = 1/(1 + Т_Р)

приводится к виду

f _Н = pf(p) + (1+ S_ЧДS_УЭ) f(p). (7.18)

Решение (7.18) после разделения переменных и перехода к оригиналам имеет вид

f(t) = [f _Н/(1 + S_ЧДS_УЭ)]{1+ S_ЧДS_УЭ exp[–(1+ S_ЧДS_УЭ) t/_RC]}, (7.19)

где _RC = RC — постоянная времени RC-звена.

При t   правые части (7.19) и (7.11) совпадают – наступает эффективный стационарный режим. Из (7.19) следует, что переходный процесс имеет затухающий апериодический характер с постоянной времени, в К_а = (1+ S_ЧДS_УЭ) раз меньшей _RC. Для определения длительности процесса установления стационарного состояния t_пер можно считать, что установившееся состояние наступает при f(t_пер)  1,1 f_ОСТ. Тогда из (7.19) t_пер = (_RC/ К_а)ln 10 S_ЧДS_УЭ.

При двухзвенной RC-цепи дифференциальное уравнение (7.17) имеет второй порядок и переходный процесс остается затухающим, но может иметь как апериодический, так и колебательный характер. Последний вид неустановившегося режима может быть использован для того, чтобы уменьшить t_пер. С учетом нелинейности СХ ЧД значение t_пер определяется в основном падающей ветвью характеристики и при f _Н f _З t_пер  . Поэтому для повышения быстродействия в нелинейной ЧАПЧ следует расширять полосу захвата или при заданной величине f_З уменьшать f_Н.

Исследование переходного режима в ФАПЧ значительно сложнее, чем в ЧАПЧ. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, из-за периодичности функции () и явления «проскальзывания» в нелинейной инерционной системе неустановившиеся процессы могут состоять из двух сложных движений: от асинхронного к синхронному состоянию, а затем к положению устойчивого фазового рассогласования (_ОСТ). Во-вторых, порядок дифференциального уравнения, описывающего ФАПЧ, выше, чем ЧАПЧ, при одном и том же типе ФНЧ. Это означает, что даже линеаризация ФАПЧ не всегда позволяет получить точное решение из-за возникающих математических трудностей.

Используем линейные приближения и запишем на основании (7.9б) дифференциальное уравнение ФАПЧ в операторной форме.

С учетом того, что S_ФДS_УЭ < 0, имеем

f_Г(p) = f_Г.С(p) – {[2К_Ф(p) S_ФДS_УЭ] / p}[f_Г(p) – f_С(p) – f_Д(p)], (7.20)

где 1/p = dt – интегральный оператор.

Рассмотрим простейший случай, когда ФНЧ отсутствует, т.е.

К_Ф(p) = 1 и f_Г.С(p) = f _Н = const, f_C(p) = 0, f_ОП(p) = 0.

Тогда, учитывая, что

pf _Н = 0 и f_Г(p) =f(p) , из (7.20) получаем

p f(p) + 2 S_ФДS_УЭ f(p) = 0.

Решение этого уравнения имеет вид f(t) = f_Нexp(–2S_ЧДS_УЭt), что подтверждает лимитационный характер переходного процесса в бесфильтровом ФАПЧ. Интервал времени, в течении которого f_Н уменьшается в 100 раз, равен t_пер = 4,6/2S_ЧДS_УЭ.

Анализ результатов, полученных при определении длительности переходных процессов в различных системах АПЧ, позволяет подтвердить вполне ожидаемый вывод о том, что их быстродействие при прочих равных условиях тем выше, чем с большей частотой среза используется ФНЧ.

7.5.3 Помехоустойчивость систем АПЧ

Действие внешних и внутренних возмущений на системы АПЧ

В реальных условиях к системе АПЧ приложены различные возмущения: полезные и вредные. Часто одни и те же возмущения могут быть необходимыми для нормальной работы РПрУ в целом и в то же время мешать процессам автоматической подстройки частоты гетеродина (разумеется, возможна и обратная ситуация).

Так, при приеме ЧМ сигналов информационные изменения f_C(t) представляют собой помехи для функционирования следящей АПЧ, которая не должна реагировать на них во избежание демодуляции колебаний. В то же время нежелательные отклонения средней частоты ЧМ сигнала (из-за эффекта Доплера или воздействия дестабилизирующих факторов), приводящие к расширению полосы пропускания приемника, для той же АПЧ полезны, либо их присутствие необходимо для осуществления рабочего процесса – коррекции частоты f_Г(t).

Возмущения могут быть детерминированными и случайными. Первые имеют дискретный частотный спектр (комбинационные составляющие, не отфильтрованный фон питания, изменение f_C(t) по определенному закону и др.), вторые – сплошной (частотные и фазовые шумы, преднамеренные изменения f_C(t) по псевдослучайному закону в линиях связи с «прыгающей» частотой и др.).

Реакция системы на те или иные возмущения определяется ФНЧ. Требования, которые предъявляются к характеристикам ФНЧ с этой точки зрения, обычно находятся во взаимном противоречии. Для пояснения вернемся к предыдущему примеру приема ЧМ сигналов. С одной стороны, ФНЧ должен быть инерционным для того, чтобы АПЧ не успевала отслеживать информационные вариации f_C(t). С другой стороны, инерционность ФНЧ не должна быть слишком большой, поскольку при этом могут не компенсироваться изменения средней частоты ЧМ колебаний. Решение задачи облегчается тем, что первый вид возмущений является процессом, значительно более быстрым, чем второй. Соответственно спектры их концентрируются в высокочастотной и низкочастотной областях.

Ниже рассматривается воздействие детерминированных возмущений. Предположим, что АПЧ находится в стационарном режиме, и возможные отклонения от него не изменяют линейных приближений при описании статических характеристик ЧД, ФД и УЭ. При этом воспользуемся операторными уравнениями (7.17) и (7.20) для ЧАПЧ и ФАПЧ:

f_Г(p) = К₁(p)f_Г.С(p) + К₂(p)[f_С(p) + f_Д(p)]; (7.21)

f_Г(p) = К₃(p)f_Г.С(p) + К₄(p)[f_С(p) + f_ОП(p)], (7.22)

где К₁(p) = 1/ [1 + S_ЧДS_УЭ К_Ф(p)]; (7.23)

К₂(p) = S_ЧДS_УЭ К_Ф(p) / [1 + S_ЧДS_УЭ) К_Ф(p)]; (7.24)

К₃(p) = p / [p + 2 S_ФДS_УЭ К_Ф(p)]; (7.25)

К₄(p) =2 S_ФДS_УЭ К_Ф(p)/ [p + 2 S_ФДS_УЭ К_Ф(p)]; (7.26)

f_Г(p) — изображение функции; f_Г(t) —отклонения частоты при замкнутой АПЧ под действием внутренних и внешних возмущений.

Из (7.21) и (7.22) следует, что изменения частот f_C(t), f_Д(t) и f_ОП(t) одинаково влияют на f_Г(t), и поэтому соответствующие возмущения можно считать внешними, так как всегда могут быть приведены к входу системы. В то же время возмущения, приложенные к выходному звену АПЧ – гетеродину, относятся к внутренним возмущениям. Операторные коэффициенты (7.23)…(7.26) определяют «вес» слагаемых в правых частях (7.21) и (7.22), т.е. характеризуют реакцию ЧАПЧ и ФАПЧ на внутренние и внешние воздействия. Как видно, эта реакция неодинакова. Так, если f_Г.С(p) – внутренняя помеха, то для максимального ослабления ее влияния на частоту гетеродина необходимо, чтобы S_ЧДS_УЭ и S_ФДS_УЭ были как можно больше, ибо при их безграничном увеличении К₁(р)  0 и К₃(р)  0. Наоборот, при внешней помехе желательно, чтобы указанные произведения были минимальными, так как при их предельном уменьшении К₂(р)  0 и К₄(р)  0.

Амплитудно-частотные характеристики ЧАПЧ и ФАПЧ по отношению к рассматриваемым возмущениям также различны. Для уточнения этого вопроса допустим, что частоты f_C(t), f_Г(t) и f_Д(t) [или f_ОП(t)] изменяются по гармоническому закону с круговой частотой . Затем, совершив формальную замену р на j, найдем зависимость модулей коэффициентов передачи от . Результаты расчетов по (7.23) и (7.24) при S_ЧДS_УЭ = 10 для ЧАПЧ первого порядка (ФНЧ – однозвенная RC-цепь с постоянной времени _RC = RC) в нормализованном виде – на рис. 7.15.

При отсчете П_АПЧ и П_ФНЧ по уровню 0,7 с учетом обозначений на рис. 7.15