Из рисунка 10.1 видно, что для каждого значения экспериментальное и расчетное значения различаются на некоторую величину , называемую абсолютной разностью. Потребовав, чтобы сумма квадратов абсолютных разностей для всех точек была минимальной, найдем оптимальные параметры функции : если выполняется условие

(10.2)

где , то считается, что функция подобрана наилучшим образом.

Рассмотрим все изложенное выше на примере линейной регрессии.

10.2 Линейная регрессия

Будем искать приближающую функцию в виде:

Абсолютная разность для определяется следующим образом:

формулу (10.2) перепишем в виде:

Рассматриваемая сумма является функцией с двумя параметрами

Задача сводится к отысканию минимума этой функции. Используем необходимое условие экстремума:

т.е.

(10.3)

Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными относительно параметров и , получим

конкретный вид искомой функции

Опуская математические выкладки, запишем выражения для искомых параметров:

(10.4)

Рассчитав значение , получим величину среднеквадратичной ошибки рассматриваемого приближения.

Замечание: найденные значения и определяют точку

экстремума .

Используя неравенство Коши-Буняковского можно доказать, что в этой точке функция принимает минимальное значение (см. [2]).

Как видно из рассмотренного примера, изменение количества параметров не приведет к искажению сущности самого подхода, изменится лишь количество уравнений в системе (10.3) (для параметров соответственно будет записано уравнений).

Линейная, параболическая и кубическая модели метода наименьших квадратов, соответствующие системы нормальных уравнений Гаусса

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

• во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

• во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

• в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Определение коэффициентов модели регрессии осуществляется на третьем этапе схемы построения эконометрической модели. В результате этой процедуры рассчитываются оценки (приближенные значения) неизвестных коэффициентов спецификации модели.

Спецификация линейной эконометрической модели из изолированного уравнения с гомоскедастичными возмущениями имеет вид:

Рассмотрим метод наименьших квадратов на примере оценивания эконометрических моделей в виде моделей парной регрессии (изолированных уравнений с двумя переменными).

Если уравнение модели содержит две экономические переменные – эндогенную yiи предопределенную xi, то модель имеет вид:

Данная модель называется моделью линейной парной регрессии и содержит три неизвестных параметра:

β0 , β1 , σ. (3)

Предположим, что имеется выборка: (х1, y1), (х2, y2),… (хn , yn) (4)

Тогда в рамках исследуемой  модели данные величины связаны следующим образом:

y1 = a0 + a1 * x1 + u1,

y2 = a0 + a1 * x2 + u2, (5)

…

yn= a0 + a1 * x n + u n.

Данная система называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели или схемой Гаусса-Маркова.

Компактная запись схемы Гаусса-Маркова:

где

– вектор-столбец известных значений эндогенной переменной yiмодели регрессии;

– вектор-столбец неизвестных значений случайных возмущений εi;

– матрица известных значений предопределенной переменной xi модели;

β = (β0  β1 )Т (10) – вектор неизвестных коэффициентов модели регрессии.

Обозначим оценку вектора неизвестных коэффициентов модели регрессии как

Данная оценка вычисляется на основании выборочных данных (7) и (9) с помощью некоторой процедуры:

где P (X, ỹ) – символ процедуры.

Процедура (12) называется линейной относительно вектора (7) значений эндогенной переменной yi, если выполняется условие:

где

(14) – матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений (9) предопределенной переменной хi.

Теорема Гаусса-Маркова. Пусть матрица Х коэффициентов уравнений наблюдений (6) имеет полный ранг, а случайные возмущения (8) удовлетворяют четырем условиям:

E(ε1) = E(ε2) = … = E(εn) = 0, (15)

Var(ε1) = Var(ε2) = … = Var(εn) =  σ2(16)

Cov(εi, εj) = 0 при i≠j(17)

Cov(xi,εj) = 0 при всех значениях i и j (18)

В этом случае справедливы следующие утверждения:

а) наилучшая линейная процедура (13), приводящая к несмещенной и эффективной оценке (11), имеет вид:

б) линейная несмещенная эффективная оценка (19) обладает свойством наименьших квадратов:

в) ковариационная матрица оценки (19) вычисляется по правилу:

г) несмещенная оценка параметра σ2 модели (2) находится по формуле:

Следствие теоремы Гаусса-Маркова. Оценка

доставляемая процедурой (19) метода наименьших квадратов, может быть вычислена в процессе решения системы двух линейных алгебраических уравнений:

Данная система называется системой нормальных уравнений. Ее коэффициенты и свободные члены определяются по правилам:

[x] = x1 + x2 +…+ xn,

[y] = y1 + y2 +…+ yn, (24)

x2] = x12 + x22 +…+ xn2,

[xy] = x1*y1 + x2*y2 + … + xn*yn.

Явный вид решения системы (23):

Методы дисконтирования и определение величины будущего денежного потока. Единовременное дисконтирование, дисконтирование отдельных платежей, многократное дисконтирование в течение периода времени.

Метод дисконтированных денежных потоков (ДДП) более сложен, детален и позволяет оценить объе кт в сл учае получения от него неста­бильных денежных потоков, моделируя характерные черты их поступ­ления.

Применяется метод ДДП, когда:

•      предполагается, что будущие денежные потоки будут сущест­венно отличаться от текущих ;

•      имеются данные, позволяющие обосновать размер будущих по­ токов денежных средств от недвижимости;

•      потоки доходов и расходов носят сезонный характер;

•      оцениваемая недвижимость – крупный многофункциональный коммерческий объект;

•      объект недвижимости строится или только что построен и ввод: (или введен в действие).

Метод дисконтированных денежных потоков – наиболее универсальный метод, позволяющий определить настоящую стоимость буду щих денежных потоков. Денежные потоки могут произвольно изменять ся, неравномерно поступать и отличаться высоким уровнем риска. Это связано со спецификой такого понятия, как недвижимое имущество. Недвижимое имущество приобретается инвестором в основном изза опре деленных выгод в будущем. Инвестор рассматривает объект недвижимости в виде набора будущих преимуществ и оценивает его привлекательность с позиций того, как денежное выражение этих будущих преимуществ соотносится с ценой, по которой объект может быть приобретен.

Метод ДДП позволяет оценить стоимость недвижимости на основе текущей стоимости дохода, состоящего из прогнозируемых денежных потоков и остаточной стоимости.

Метод скользящей средней и метод экспоненциального сглаживания. Смотри вопросы 8 и 9.

Кривая Лоренца – принцип построение и получения исходных данных.

Кривая Лоренца – это графическое изображение неравенства распределения доходов среди населения. Предложена в 1905 г. американским экономистом и статистиком Максом Отто Лоренцом (1876—1959). Кривая описывает, какую часть совокупного дохода общества получает каждая доля низкодоходных и высокодоходных домохозяйств.

Рассмотрим механизм построения кривой Лоренца. По оси Х откладывается доля населения (20%, 40% и т.д.), а по оси Y – доля доходов в обществе. Линию, отложенную под углом 45 градусов (линия ОА), можно считать линией равномерного распределения или абсолютного равенства. Естественно, ведь первых 20% (наибеднейших) населения владеют соответствующими 20% богатств, 40% населения – 40% богатств и т.д. Реальное же распределение будет всегда отличаться от этой прямой.

Распределение доходов по линиям ОВ-ВА соответствует абсолютному неравенству, так как все 100% доходов принадлежат всего одному домохозяйству, остальные же не имеют ничего.

На рисунке мы видим кривую Лоренца, которая интерпретируется достаточно просто: 20% наибеднейших домохозяйств обладают 5% совокупного дохода; 40% беднейших домохозяйств обладают 15% доходов и т.д. Чем более выпуклой является кривая, тем большим будет неравенство при распределении доходов в обществе.

Кривые Лоренца наглядно демонстрируют политику выравнивания доходов, проводимую государством посредством налогообложения и разного рода социальных программ. При прогрессивной налоговой системе с более высоких доходов взимается более высокий налог. В результате различных социальных программ увеличиваются доходы наименее обеспеченной части населения. На основе соответствующих данных можно построить кривые Лоренца, которые отражали бы распределение доходов до выплаты налогов, после их уплаты и после получения выплат и пособий по социальным программам (см. рисунок).

Чтобы построить кривую Лоренца, откладываем по оси X процент семей, а по оси Y - процент дохода Абсолютное равенство графически представлено биссектрисой ОЕ.

Линия фактического неравенства строится на основании данных о процентах дохода, приходящихся на каждые 10% населения. Если нижняя первая часть населения получила 3,2% всех доходов, то графически это будет точка А. Чтобы получить точку В необходимо сложить процент дохода первых 10% населения с процентами доходов вторых 10% населения (1,9% + 2,5%) и т.д.

Рассчитаем коэффициенты концентрации доходов (индекс Джини). 
Уровень неравенства определяется с помощью коэффициента Джини. Он рассчитывается как отношение площади фигуры OABCDKLMNPE к площади треугольника ОEG. Для того чтобы определить площадь фигуры, лежащей ниже кривой Лоренца, соединяем прямыми линиями точки ОА, АВ и т.д. Опускаем перпендикуляр на ось X и находим площади фигур, лежащих ниже точек А, B, С.