014.Вопросы теории обратной связи (Ответы на экзаменационные билеты (МСТ)), страница 2

            Недостаток такого способа вывода выражения передаточной функции усилителя с ОС заключается в том, что он не отражает сущности процесса происходящего в усилителе, что, в свою очередь, затрудняет анализ полученного выражения, в том числе определение устойчивости усилителя с ОС. Ставится задача разработать такой способ вывода выражения передаточной функции усилителя с обратной связью, который был бы лишён этих недостатков, и обосновать его применение для основных видов устройств с ОС. В математическом плане ставится задача разработать такой метод анализа устройств с ОС, который бы не требовал применения теории линейных дифференциальных уравнений, так как она имеет тот недостаток, что, строго говоря, не может быть применена для анализа нелинейных систем, к которым относится любое реальное устройство с ОС, хотя в отдельных случаях её применение и оправдано.

           4. Рассматривая структурную схему (Рис.45) усилителя с ОС можно сделать вывод, что сигнал, поданный на вход схемы, обходит замкнутый контур и снова подаётся на вход, откуда вторично обходит замкнутый контур и снова подаётся на вход, и так бесконечное число раз.

            На входе усилителя с ОС происходит сложение сигналов поданного на вход в виде напряжения , с этим же сигналом, совершившим один обход контура ОС, два, три и так далее, до бесконечного числа раз. 

            Передаточная функция прямой цепи усилителя с ОС равна (Рис.45):

                  .

            Передаточная функция, составленная из прямой цепи и цепи ОС, равна: 

                .             (7.2)

             Если сигнал  обходит контур дважды, то это равносильно прохождению сигнала через четырёхполюсник с передаточной функцией - , если n раз, то с передаточной функцией - .

            Таким образом, напряжение на выходе усилителя с ОС равно:

  .

            Но           при   .

            Или:                   .

            Следовательно:   .

            Или:         .             (7.3)

            Известно [22], что предел ряда , при < 1, равен .

Отсюда, при <1, , или [19,11,23,24]: . (7.4)

            Получена такая же формула (7.4), как и формула полученная путём решения системы уравнений (7.1). Пользуясь представлением формулы (7.4) в виде степенного ряда (7.3) можно составить два варианта эквивалентных схем усилителей с ОС (Рис.46,47).  

 

Рис.46	Рис.47

              Знак в знаменателе (7.4) зависит от того, положительной или  отрицательной связью охвачен усилитель. Известно [19] что передаточная функция цепи, в частности контура обратной связи, может быть представлена в виде: (7.5) , то есть вектора. Производя замену в Рис.47 (7.3) согласно (7.5), коэффициент передачи усилителя можно представить в виде суммы векторов (Рис.48)

Рис.48

Рис.49

             Из Рис.48 видно, что при |K|<1, независимо от фазового сдвига, сумма векторов   имеет предел в виде вектора , из которого, при прохождении сигнала через прямую цепь, формируется выходное напряжение , откуда можно сделать вывод, что здесь показан устойчивый режим. На Рис.49 показано, что при |K|>1, сумма векторов предела не имеет, точнее, её предел определяется границами линейности цепи. Такой режим является неустойчивым. Сложение производится на комплексной плоскости .

           К такому выводу можно прийти и аналитически. Ряд (7.3) мажорируется рядом , который при не имеет предела.

            Поскольку сложение производится в комплексной форме, время исключено, то есть взаимосвязь между векторами только причинная, но не временная. Сложение векторов происходит мгновенно, поэтому при вектор суммы      вращается со скоростью равной бесконечности, то есть частота вектора равна бесконечности. Естественно, что такой сигнал не может пройти через реальную цепь, что позволяет сделать вывод об устойчивости усилителя, если  (при n = 0,1,2, … ). Такой вывод соответствует критерию Найквиста. Однако если сигнал, проходя по цепи контура ОС, приобретает временную задержку t, то частота вращающегося вектора будет конечна и усилитель может стать неустойчивым, даже если годограф вектора коэффициента передачи разомкнутой цепи ОС не охватывает точку с координатами (-1;0). Более подробно вопрос о применимости критерия Найквиста будет рассмотрен ниже.

            Устойчивость схемы (Рис.45) не зависит от того, обладает ли полубесконечная линия, составленная из звеньев , конвективной или абсолютной неустойчивостью[24,26].

            5. Рассмотрим теперь вопрос о влиянии передаточной функции на знак обратной связи. Необходимость этого обуславливается тем, что выше было дано определение знака ОС с использованием понятия инверсии и упоминалось, что оно позволяет считать знак ОС независимым от частотных характеристик цепи. Причина этого объясняется ниже.

        Любая передаточная функция действительной и положительной цепи может быть, представлена в виде непрерывной дроби, то есть, действительную и положительную цепь можно представить в виде схемы показанной на Рис.50 [19]:

 

Рис.50

Каждая из пар (Zn;Yn) представляет собой элементарное звено, передаточную функцию которого можно обозначить - . Тогда передаточную функцию всей цепи можно представить в виде [19,27]: . Каждое из звеньев имеет в общем случае комплексный коэффициент передачи. В некоторый, достаточно малый, начальный период времени переходного процесса, являющегося реакцией на единичный скачёк поданный на вход цепи, выходное напряжение можно аппроксимировать выражением: ; где - постоянная времени цепи.

            Эквивалентная схема элементарного звена (Zn;Yn) может быть представлена в виде набора из трёх элементов - активного сопротивления (R), индуктивности (L) и ёмкости (С), которые могут представлять собой как отдельные конструктивные элементы, так и электрические характеристики конструкции элементов и монтажа.

            Переходная функция звена может быть выражена формулой [19]:

( ),

где: - пара сопряжённых корней, равных: .

Переходные функции при разных соотношениях и показаны на Рис.51.

 

Рис.51

            При небольшой величине t все звенья могут считаться апериодическими, инерционными звеньями, так как начальный участок переходной функции может аппроксимироваться функцией:  . Производная при t = 0 положительна для этой функции. Известно [19], что при передаче на вход цепи, представляющее элементарное звено, напряжения  u(t) = 1 при t<0 и u(t)=0 при t>0, переходная функция  примет вид  . Если звено имеет усиливающий активный элемент, то . При соединении таких звеньев в цепь, передаточная функция будет иметь вид:  , или, если все звенья одинаковы: . Производная такой функции при t=0 имеет тот же знак, что и производная единичного скачка, поданного на вход цепи, которая равна бесконечности при t=0.

            Если на вход усилителя подаётся напряжение  равное 0 при , то на выходе контура ОС будет отклик также равный нулю при , и производная его, при t=0, будет иметь тот же знак, что и производная входной функции. Это значит, что от t=0 до некоторого времени полярность отклика на входное воздействие будет совпадать с полярностью входного воздействия, то есть знак ОС будет определяться только наличием, или отсутствием инверсии. Из вышеизложенного следует, что соотношение характеристик входной функции и её отклика при t  0 и при t   настолько отличаются, что выводы, полученные при анализе установившегося режима, могут быть противоположны выводам, полученным при анализе переходного режима.