9-10 (Полный курс лекций)

38

Лекция 9,10. Электрические свойства кристаллов.

1. Электронная природа тока в металлах.

Ток электронов в металлах (Ме) обусловлен наличием в Ме свободных элек­тронов, которые перемещаются между узлами кристаллической решетки. Это под­тверждается опытами.

О пыт Мандельштама-Папалекси заключается в быстрых крутильных колебаниях катушки. Это приводит к появлению переменного тока в гальванометре (см. рис. 9.1). Объяснение опыта заключается в том, что газ электронов в металле имеет инерцию и эквивалентен воде в корыте: при повороте корыта вода остается на месте, и ее уровень повышается то на одной, то на другой стенке.

Опыт Мандельштама-Папалекси подтверждает наличие свободных электронов в металле.

9.2. Классическая электронная теория электропроводности

металлов (Друде-Лоренца).

В классической теории Друде-Лоренса:

1. Электроны проводимости рассматриваются как электронный газ, обладающий свойствами идеального одноатомного газа.

(В действительности электроны в металле являются квантовыми частицами, вол­нами Де-Бройля, взаимодействующими с большой областью кристалла. Но, в пер­вом приближении, классическая теория хорошо описывает основные свойства ме­таллов).

1. В отсутствии внешнего электрического поля электроны хаотически движутся с тепловыми скоростями . Однако, из-за упорядоченного тока электронов нет.

Для идеального газа: mV²_тепл /2=3kT/2 отсюда . При комнат­ной температуре . Тепловые скорости свободных электронов в металле порядка 100 км/с!

3. В электрическом поле напряженностью Е на хаотическое тепловое движение электронов на­кладывается их упорядоченный дрейф V_др..

Плотность тока j = - n₀ e V_др , (9.1)

где n₀ – концентрация электронов, e – заряд электрона.

Скорость дрейфа – ничтожно мала по сравнению с .

1. При ударах с решеткой электрон полностью теряет скорость упорядоченного движения.

На основе этой классической теории выведем законы Ома и Джоуля-Ленца.

Вывод закона ОМА.

а) В электрическом поле напряженностью Е на электрон действует сила еЕ=ma, приводящая к ускорению a =eE /m.

б) Так как движение электрона равноускоренное, то средняя скорость дрейфа , где  – время между соударениями.

в) С другой стороны , где  – средняя длина свободного пробега электрона. В результате получаем:

г) Плотность тока:

Итак, мы получим закон Ома в дифференциальной форме:

, (сравни с I=U/R) (9.2)

где величина  является удельной электропроводностью.

Термин «дифференциальная» означает не производные, а применимость закона к малым объемам вещества.

(9.3)

Величина – называется удельным электрическим сопротивлением металла.

Закон Джоуля-Ленца. (вывод).

а) Можно показать, что, в среднем, при каждом соударении электрон теряет энергию дрейфа , которая переходит в тепло

б) Но скорость дрейфа

в) За 1 секунду каждый электрон столкнется раз.

г) В единице объема содержится n₀ электронов, которые за 1 секунду выделяют энергию:

^w

Итак, мы получили закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

(9.4)

где w - энергия, выделяемая током в единице объема за единицу времени,

- удельная электропроводность вещества, Е – напряженность электрического поля.

9.3. Недостатки классической теории Друде-Лоренца

Как мы уже знаем, (см. например рис.7.2.) в действительности, не все валентные электроны металла свободно движутся по решетке с тепловыми скоростями, а лишь малая их часть. Подавляющее боль­шинство валентных электронов в электрических явлениях и теплоемкости не участ­вуют. Это приводит к расхождениям между классической теорией и практикой.

Примеры расхождений: 1) Из (9.3) следует, что , а на практике в большом диапазоне температур .

По классической теории теплоемкость металла:

С_мет = С_{решетки} + С_эл-нов = 3R + 3/2 R = 9/2 R, а на практике С_мет=3R.

Эти расхождения объясняет квантовая теория.

9.4. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов

1. Квантовая теория учитывает движение электрона в периодическом поле ре­шетки, что можно учесть введя эффективную массу электрона m*, т.е. масса электрона движущегося в решетке как бы изменится. Удельная электропроводность примет вид:

~ λ/Р, где Р – импульс электрона (9.5).

1. Газ электронов в металле вырожден, подчиняется статистике Ферми-Ди­рака. Разгоняться в электрическом поле могут только электроны, энергия которых близка к уровню Ферми (см. рис.9.2), т. е. в проводимости участ­вует малая часть электронов, импульс которых m^*V близок к импульсу электрона Р_F на уровне Ферми .

Э то приводит к тому, что . Но, с другой стороны, длина свобод­ного пробега , где – площадь сечения колеблющихся атомов решетки, а - амплитуда колебаний, которая связана с температурой Т соотношением: .

Следовательно, , и удельная электропроводность .

Зависимость согласуется с экспериментом, что также подтверждает справедливость квантовой теории.

1. Элементы зонной теории кристаллов

Давайте мысленно создадим твердое тело из отдельных атомов, постепенно сближая их друг с другом.

При этом, по мере сближения, поля отдельных атомов начинают взаимодейст­вовать. Это приводит к расщеплению энергетических уровней и созданию разре­шенных энергетических зон, причем, наиболее сильно взаимодействуют и, соответ­ственно, уширяются верхние уровни (см. рис.9.3).

В результате, при равновесных расстояниях между атомами кристалла r₀ полу­чаем: зоны разрешенных значений энергии, которые разделены зонами запрещен­ных значений энергии электронов. В зависимости от структуры энергетических зон различают три типа твердых тел: металлы, полупроводники и диэлектрики (см. рис. 9.4).

1. МЕТАЛЛЫ образуются в тех случаях, когда валентная зона заполнена электронами частично, либо разрешенные зоны перекрываются. В том и другом случае при Т = 0 К часть уровней зоны свободны, и электроны под дейст­вием электрического поля могут переходить на более высокие уровни энергии, т. е. разгоняться в электрическом поле.

1. У ПОЛУПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ при Т = 0 К валентная зона полностью заполнена электронами. Ближайший свободный энергетический уровень находится в свободной зоне, а, чтобы электрон туда попал, ему необходимо сооб­щить энергию большую, чем ширина запрещенной зоны W_зап . Электрическое поле такую энергию сообщить не может, поэтому электропроводность у таких тел резко меньше, чем у металлов.

У полупроводников ширина запрещенной зоны W_зап составляет около 1эВ, и при Т ~ 300 К часть электронов за счет энергии теплового движения забрасываются в свободную зону и там могут легко разгоняться электрическим полем (переходить на ближайшие, более высокие свободные уровни).

В диэлектриках W_зап > 2эВ и энергии теплового движения недостаточно, чтобы забросить электроны из валентной зоны в свободную зону. Поэтому, даже при комнатной температуре диэлектрики являются изоляторами, не проводят ток.

Таким образом, различие полупроводников от диэлектриков заключается в ширине запрещенной зоны W_зап.

Рис. 9.4. Тип твердого тела определяется заполненостью валентной зоны и шириной запрещенной зоны W_зап

а) у металла при Т=0 валентная зона заполнена электронами частично

б) у полупроводников при Т=0К валентная зона заполнена полностью, а W_зап ~ 1эВ.

в) диэлектрики отличаются от полупроводников тем, что W_зап >2эВ.

9.6. Собственная проводимость проводников. Электроны проводимости и дырки

Полупроводники (п/п) – это вещества, у которых при Т = 0 К валентная зона полностью заполнена электронами, а ширина запрещенной зоны W_зап около 1эВ (см. рис.9.5 а). Например: W_зап (Si) = 1,1 эВ; W_зап(Gе) = 0,72 эВ.

При Т >0 К часть электронов за счет энергии теплового движения kT могут за­брасываться в свободную зону (зону проводимости, см. рис. 9.5 б).

Собственная проводимость п/п возникает при переходе электронов из ва­лентной

зоны в свободную зону, которую также называют зоной проводимо­сти. Электроны в зоне проводимости легко ускоряются электрическим полем, т. к. у электронов есть возможность увеличить энергию за счет перехода на более высокие свободные уровни. Их называют электронами проводимости. При уходе электрона из валентной зоны там остается положительно заряженная ва­кансия, (свободный уровень). На это место может перескочить соседний электрон, т. е. вакансия (дырка) передвинется.

Образованная при уходе электронаиз валентной зоны вакансия эквивалентна положительной ква­зичастице, которую называют дыркой.

Процесс перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости назы­вают рождением электронно-дырочной пары. При встрече электрона проводимо­сти и дырки может произойти их соединение - рекомбинация. В результате пара исчезает.

В равновесии число актов рождения (генерации) пар равно числу актов рекомбина­ции.

Р ассмотрим зависимость собственной проводимости от температуры (см. рис.9.6). Вероятность f перехода электрона на свободный уровень задается распределением Ферми: f = (exp[(W – W_F)/kT] – 1)^-1

Величина kT при Т~300К составляет около 1/40эВ, поэтому в зоне проводимости W-W_F >> kT и f = exp[-(W – W_F)/kT]  exp (- Wзап/kT)