ТФКП (Шпоры по тфкп на экзамен)

Т Ф К П

1. Комплексные числа и действия над ними.

z= x+ iy= |x=Re z – действит. часть, y=Jm z – мнимая часть| = Re z + Jm z. z^-= x- iy – сопряжённое число для z= x+ iy. Задание компл. Числа z= x+ iy равносильно заданию точки или свободного вектора (х,у). Поэтому оно изображается на плоскости R² как точка или вектор (х,у). Компл. Числа z₁= x₁+ iy₁ и z₂= x₂+ iy₂ сладываются и вычитаются как векторы (х₁,у₁) и (х₂,у₂). Но в умножении есть отличие. Если для векторов определено скалярное умножение, результатом которого является действ. число: (х₁,у₁) (х₂,у₂)= х₁х₂+ у₁у₂, то результатом умножения комплексных чисел является комплексное число: (x₁+ iy₁)(x₂+ iy₂)= (х₁х₂- у₁у₂) + i(y₁х₂+ x₁у₂). Для векторов деление вообще не определено, а для комплексных чисел определено: (x₁+ iy₁)/ (x₂+ iy₂)= ((x₁+ iy₁) (x₂- iy₁))/ ((x₂+ iy₂) (x₂- iy₂))= (х₁х₂+ у₁у₂)/ (x₂²+y₂²)+ i(y₁х₂- x₁у₂)/ (x₂²+ y₂²). Этим отличается С – множество комплексных чисел z= x+ iy (комплексная плоскость) от R² – множества векторов (х,у). Числа z= x+ i0= xR изображаются как точки действительной оси Ох или как векторы (х,0)|| Ох, числа z= 0+ iy= iy (чисто мнимые) изображаются как точки мнимой оси Оу или как векторы (0,у)|| Оу. = d(z,0)= (x²+y²)= |z| - модуль числа z. В частности, если z=xR, то |z|= (x²+0²)= (x²)= |x| - абсолютная величина = (Ох,^z)= Arg z – аргумент числа z. Arg z определяется многозначно с точностью до 2k. Его значение, взятое в промежутке ]-,[, называется главным значением аргумента: arg z. -<arg z. Поскольку tg(arg z)= y/x, то arg z можно выразить через arctg(y/x). Однако arg z]-,[, тогда как arctg(y/x) ]-/2,/2[. Плэтому arg z= arctg(y/x), только для точек полуплоскости. Для точек левой полуплоскости arg z отличается от arctg(y/x) на , и для получения arg z следует к arctg(y/x) добавить + или - с тем расчётом, чтобы получилось число в промежутке ]-,[.

[x= cos, y=sin] z= x+ iy= (cos+ isin) – тригонометрическая форма комплексного числа. По формуле Эйлера cos+ isin= e^i, поэтому z= e^i= |z|e^iArgz- показательная форма комп. числа. В показательной (и тригономнтрической) форме удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение натурального корня. z₁z₂= ₁e^i ₂e^i= ₁₂e^i1e^i2= | раньше показано, что e^z1+z2= e^z1e^z2|= ₁₂e^i1+i2= ₁₂e^{i(1+2)} |z₁z₂|= |z₁||z₂|, Arg(z₁z₂)= Arg(z₁)+ Arg(z₂). При умножении модули умножается, а аргументы складываются (равенство с участием Arg понимается с точностью до 2к, т.е. левая и правая части равенства могут отличаться на 2к). Геометрически: при умножении z₁= ₁e^i1 на z₂= ₂e^i2 вектор ₁e^i1 растягивается в ₂ раз и поворачивается на угол ₂. z₁/z₂= ₁e^i1/₂e^i2= (₁/₂) e^i1 (1/e^i2)= | раньше показано 1/e^z= e^-z|= (₁/₂) e^i1e^-i2= (₁/₂) e^i(1-2) |z₁/z₂|= |z₁|/|z₂|, Arg(z₁/z₂)= Arg z₁- Arg z₂. При делении модули делятся аргументы вычетаются. Вектор ₁e^i1 стягивается в ₂ раз и поворачивается на угол -₂. zⁿ= (e^i)ⁿ= ⁿ(e^i)ⁿ= ⁿ e^i e^i… e^i= ⁿe^{i+i+…+i}= ⁿe^in |zⁿ|= |z|ⁿ, Arg zⁿ= nArg z.

ⁿ(z)= w= ?. Пусть w= re^i. Должно быть wⁿ= z. [wⁿ= z] [(re^i)ⁿ= e^i] [rⁿe^in)= e^i] [rⁿ= & n= +2k] [r= ⁿ₊()& = /n+ 2k/n] [w= ⁿ(z)= ⁿ₊()e^{i(/n+2k/n)}]. ⁿ(e^i)= ⁿ₊()e^{i(/n+2k/n)}, |ⁿ(z)|= ⁿ₊(|z|), Arg ⁿ(z)= Argz/n+ 2k/n. При любом кZ, отличном от 0,1,2,…,n-1, получается значение корня, совпадающее с одним из значений, вычисленных при k=0,1,…,n-1. Действительно, пусть k0,1,..,n-1. Поделив k на n, получим k=nq+ r, где qZ – частное, rZ – остаток, 0rn-1. Отсюда 2к/n= 2q+ 2r/n, где r- одно из чисел 0,1,…,n-1 и Arg ⁿ(z)= Argz/n+ 2k/n= Argz/n+ 2r/n+ 2q= |равенство с точностью до 2q|= Argz/n +2r/n, r= 0,1,…,n-1. Т.о. ⁿ(z) имеет n значений. Их модули одинаковы: | ⁿ(z)|= ⁿ₊(), поэтому они лнежат на окружности радиуса ⁿ₊(|z|) с ценром 0. Аргументы корней: /n, /n+ 2/n, /n+ (2/n)2,…, /n+ (2/n)(n-1). Поэтому все значения корня ⁿ(z₀), ⁿ(z₁), ⁿ(z₂),…, ⁿ(z_n-1) лежат в вершинах правильного n-угольника.

2. Комплексная функция действительного переменного.

Задание комплексной функции действительного переменного z= z(t)= x(t)+ iy(t), где tR, равносильно заданию вектор-функции (x(t),y(t)). Поэтому понятие предела, непрерывности, производной вектор-функции переносятся на комплекснозначную функцию действительного переменного z=z(t): [lim(tt₀)z(t)= a+bi] [lim(tt₀)x(t)= a & lim(tt₀)y(t)= b]; [z(t) c{t₀}] [x(t) c{t₀} & y(t) c{t₀}], z(t₀)= lim(tt₀)(z(t)-z(t₀))/(t-t₀)= x(t₀)+ iy(t₀). z(t₀) есть касательный вектор к кривой z=z(t) в точке z(t₀), указывающий положительное направление. Если z(t) непрерывна и отлична от нуля, то кривая гладкая. Определённым интегралом от комплекснозначной функции действительного переменного z= z(t)= x(t)+ iy(t) называется комплексное число (а to b)z(t)dt= (а to b)x(t)dt+ i(а to b)y(t)dt.

3. Функция комплексного переменого. Предел. Непрерывность.

Отображение : СС называеься функцией комплексного переменного w=(z). Она отображает точки z=x+ iy плоскости (z) в точки w=u+ iv плоскости (w). Если каждая точка z имеет только один образ w=(z), то функция называется однозначной, если несколько образов, то многозначной. Определения предела и непрерывности функции комплексного переменного (z) дословно совпадают с определениями для функции действительного переменного. Поэтому теория пределов и непрерывности переносится и на функции комплексного переменного. Если выделим у функции w=(z) действительную и мнимую части: w=u+ iv= (z)= (x+iy)= u(x,y)+ iv(x,y), то получим, что задание функции комплексного переменного w=(z) равносильно заданию двух действительнозначных функций действительных переменных u= u(x,y), v= v(x,y). Можно доказать, что если (z)= u(x,y)+ iv(x,y), z₀=x₀+ iv₀, то [lim(zz₀)(z)= A+ iB] [lim((x,y)(x₀,y₀))u(x,y)= A & lim((x,y)(x₀,y₀))v(x,y)= B]. Отсюда следует, что [lim(zz₀)(z)= (z₀)] [lim((x,y)(x₀,y₀))u(x,y)= u(x₀,y₀) & lim((x,y)(x₀,y₀))v(x,y)= v(x₀,y₀)], т.е. непрерывность функции комплексного переменного w=(z) в точке z₀ равносильна непрерывности её действительной и мнимой частей u(x,y), v(x,y) в точке (x₀,y₀).

4. Основные элементарные и гиперболические функции.

Экспонента. w= e^z= expz= e^x(cosy+ isiny). u= Ree^z= e^xcosy, v= Jme^z= e^xsiny, |e^z|= e^x= e^Rez, Arge^z= y+2k= Jmz+ 2k.

1) ( z₁,z₂ C) [e^z1+z2= e^z1e^z2], ( zC, nN) [(e^z)ⁿ= e^nz, e^-z= 1/e^z];

2) Экспонента – периодическая функция с чисто мнимым периодом Т= 2i: e^z+2i= e^ze^i2= e^z(cos2+ isin2)= e^z.

3) ( zC) [e^z0]: [e^z=0] |e^z|=0  e^x=0, что невозможно.

4) lim(z)e^z не существует: lim(z=x-)e^z= lim(x-)e^x= 0, lim(z=x+)e^z= lim(x+)e^x= + - разные пределы.

5) [u= e^xcosy c(R²), v=e^xsinyc(R²)] [w= e^zc(C)], при z=x R (y=0) e^z совпадает с обычной показательной функцией e^x.

Тригонометрические функции.

cosz= (e^iz+e^-iz)/2, sinz= (e^iz-e^-iz)/2i, tgz= sinz/cosz, ctg= cosz/sinz.

1) Сохраняются все известные тригонометрические формулы.

2) cosz и sinz имеют период Т=2, tgz и ctgz – период Т=.

3) Нули тригонометрических функций. sinz=0 z=k, cosz=0 z=/2+k, tgz=0 z=k, ctgz=0 z=/2+ k.

4) [e^iz, e^-iz c(C)] [cosz, sinz c(C)], [cosz, sinz c(C)] [tgz непрерывна при z/2+k, ctgz непрерывна при zk]. При z=x R (y=0) тригонометричекие функции совпадают с особыми тригонометричекими функциями действительного переменного.

Гиперболические функции, их связь с тригономнтрическими функциями.

chz= (e^z+e^-z)/2, shz= (e^z-e^-z)/2, thz= shz/chz, cthz= chz/shz.

1) Верны известные свойства:

ch²z- sh²z= 1, ch²z+ sh²z= ch2z, 2shzchz=sh2z, ch(z₁+z₂)= chz₁chz₂+ shz₁shz₂, sh(z₁+z₂)= shz₁ch₂+ chz₂shz₁

2) Из периодичности экспоненты e^z (T=2i) следует, что chz, shz имеют тот же период T=2i, thz и cthz имеют преиод T=i.

3) из e^z(Незнаю! У Минора написано - самостоятельно)

4) Сравнивая определения cosz и chz, sinz и shz, видим: chiz= cosz, shiz/i= sinz.

Логарифм. w= Lnz – функция, обратная для z=e^w. Найдём w=u+ iv, если z=e^i, где =argz. [e^w=z] [e^u+iv= e^i] [e^ue^iv= e^i] [e^u=  & v=+2k] [u=ln, v=+2k] Lnz= ln|z|+ i(argz+2k)= ln|z|+ iArgz.

1) Ln0 не определён (т.к. ln0 и arg0 не определены).

2) w=Lnz – бесконечнозначная функция (из-за 2ki). Главным значением логарифма называется значение lnz= ln|z|+ iargz, это – однозначная функция. Общий логарифм Lnz= lnz+2ki.

3) Верны обычные правила логарифмирования: Ln(z₁z₂)= Lnz₁+ Lnz₂, Ln(z₁/z₂)= Lnz₁- Lnz₂, Lnzⁿ= nLnz, Lnⁿ(z)= (1/n)Lnz (nN) (равенства с точностью до 2ki). При z=xR, x>0, главный логарифм совпадает с обычным логарифмом числа x: lnz= ln|z|+ iargz= |z=x, argx=0|= ln|x|= lnx.

Комплексная степень комплексного числа.

Для положительных чисел , известно равенство: ^= |= e^ln|= e^ln= exp(ln). Выражение e^Ln= exp(Ln) имеет смысл для любых компл. чисел 0 и , и его принимают за комплексныю степень  комплексного числа 0: ^= e^Ln= exp(Ln). w=z^= e^aLnz – общая степенная функция (z0). w=a^z= e^zLna – общая показательная функция (а0).

4.1.Производная функции комплексного переменного.

Определение 1. [однозначная функция комплексного переменного w=f(z) дифференцируема в точке z₀ (f(z)D{z₀})]  [приращение w представимо в виде w =kz+(z)z, где k =a+ib =const, lim(при z0)(z) =0]. Как и для функции одного действительного переменного, можно доказать, что [f(z)D{z₀}]  [сущ-ет конечная производная f `(z<sub>0</sub>) =lim(при z0)w/z], причем оказывается, что k=f `(z₀). Можно доказать также, что f(z)D{z₀}  f(z)C{z₀}.

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексной переменной. [w=f(z) =u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема в точке z₀ =x₀+iy₀]  [1) u(x,y), v(x,y)D{(x₀, y₀)}, 2)ðu/ðx(x₀, y₀) =ðv/ðy(x₀, y₀); ðu/ðy(x₀, y₀) =-ðv/ðx(x₀, y₀) (условия Коши-Римана)]

  [w=f(z)D{z₀}] определение 1 [w =kz+(z)z, где k =a+ib=const, (z) =(x, y)+i(x, y)0 при z0  (x, y)(0, 0)]  [w =u+iv =(a+ib)(x+iy)+(+i)(x+iy) =(ax-by+x-y)+i(bx+ay+x+y)]  [u =ax-by+x-y, где a=A₁, b=B₁, =₁, =₁; v =bx+ay+x+y, где b=A₂, a=B₂, =₂, =₂; где A_j, B_j =const, _j(x, y), _j(x, y)0 при (x, y)(0, 0)]  [по определению дифференцируемости двух переменных: u(x, y),