ТФКП (Шпоры по тфкп на экзамен), страница 5

1.Несобственный интеграл. (от - до +)f(x)dx (xR). Вместо f(x) рассмотрим f(z), где zC. Если f(z) имеет в верхней полуплоскости конечное число изолированных особых точек, а на оси Ох не имеет, то эти особые точки можно заключить в достаточно большой полукруг радиуса R. Тогда [(по )f(z)dz=2iRes f(z)]  [(от -R до R)f(z)dz+(по C_R)f(z)dz= =2iRes f(z)]  [(от -R до R)f(x)dx=2i - (по C_R)f(z)dz]  R  [(от - до +)f(x)dx=2i - lim (по C_R)f(z)dz (при R)]. Доказано, например, что если lim zf(z)=0 (при z) (т.к. если f(z) - рациональная дробь, то это имеет место если степень знаменателя больше степени числителя на 2 и более), то lim (по С_R)f(z)dz=0 (при R+), и потому (от - до +)f(x)dx=2iRes f(z) (в точке z=a_k)

Пример: (от - до +)dx/(x⁴+4). Рассмотрим f(z)=1/(z⁴+4). Особые точки: z=⁴-4=1+i, -1+i, -1-i, 1-i. В верхней полуплоскости z=1+i, -1+i (простые полюсы). lim zf(z)=lim z/(z⁴+4)=0 (при z). Поэтому (от - до +)dx/(x⁴+4)=

=2i(Res f(z) (в точке z=1+i) + Res f(z) (в точке z=-1+i))=2i((1-i)/16 - (1+i)/16)=/4.

2. (от 0 до 2)R(cost, sint)dt, где R(cost, sint) - выражение, рациональное относительно cost, sint (т.е. они связаны четырьмя арифметическими действиями). Будем считать, что этот интеграл есть результат вычисления интеграла от некоторой функции комплексного переменного f(z) по окружности z=1: (по z=1)f(z)dz= на z=1: z=1e^it, t[0, 2]= =(от 0 до 2)f(e^it)ie^itdt=(от 0 до 2)R(cost, sint)dt. Установим вид этой функции. Должно быть: [f(e^it)ie^it=R(cost, sint)]

 [f(e^it)ie^it=R((e^it+e^-it)/2, (e^it-e^-it)/2i)]  e^it=z  [f(z)=1/(iz)R(1/2(z+1/z), 1/2i(z-1/z)]. Здесь z участвует в четырех арифметических действиях, значит f(z) есть рациональная функция от z, т.е. частное двух многочленов: f(z)=P_m(z)/Q_n(z). Многочлен Q_n(z) имеет только конечное число нулей, следовательно, f(z) может иметь только конечное число особых точек - полюсов. Поэтому (по z=1) может быть вычислен с помощью вычетов, попавших в круг z1:

(от 0 до 2)R(cost, sint)dt=подставка e^it=z=(по z=1)f(z)dz=2iRes f(z).

Пример: (от 0 до 2)dt/(cost-2)= e^it=z, ie^itdt=dz, iz=dz, dt=dz/(iz), cost=1/2(z+1/z) =(по z=1)dz/(iz(1/2(z+1/z)-2))= =2/i(по z=1)dz/(z²-4z+1). f(z)=1/(z²-4z+1) имеет простые полюсы z₁=2-3, z₂=2+3. Из них z₁=2-3=2-31, z₂=2+31 - вне круга  (от 0 до 2)dt/(cost-2)=2/i2iRes f(z) (в точке z=2-3)=2/i2i(-1/(23))=-2/3.

8.Операционное исчисление.

8.1.Преобразование Лапласа.

Определение 1: Преобразованием Лапласа для комплекснозначной функции действительного переменного f(t) наз-ся несобственный интеграл с комплексным параметром р: (от 0 до +)f(t)e^-ptdt=F(p)=(f(t)) (1)

Эта функция комплексного переменного F(p) наз-ся также изображением функции f(t) (по Лапласу). (Оператор Лапласа). F(p)f(t), F(p)f(t).

Т-ма о существовании изображения.

Если: 1) f(t) кусочно-непрерывна на [0, +[ (т.е. на каждом конечном отрезке [a, b][0, +[ может иметь только конечное число точек разрыва 1-го рода - устранимых или скачков), 2) f(t) при t+ растет не быстрее экспоненты: f(t)Me^t, где М0 и 0 - некоторые постоянные, то в полуплоскости Rep сущ-ет изображение F(p) (т.е. несобственный интеграл (1) сходится), аналитическое в этой полуплоскости.

• Сначала заметим, что благодаря равенству (от a до b)z(t)dt=(от a до b)x(t)dt+i(от a до b)y(t)dt определенный интеграл от комплекснозначной функции действительного переменного обладает обычными св-вами интеграла от действительнозначной функции действительного переменного. Т.к. e^-ptC[0, +[, то f(t)e^-pt, f(t)e^-pt тоже кусочно-непрерывны на [0, +[, и потому сущ-ют (от 0 до b)f(t)e^-ptdt и (от 0 до b)f(t)e^-ptdt. Если покажем, что при Rep интеграл (1) абсолютно сходится, т.е. сущ-ет (от 0 до +)f(t)e^-ptdt=lim (от 0 до b)f(t)e^-ptdt (при b), то отсюда будет следовать, что и сам интеграл (1) сходится, т.е. сущ-ет F(p)=(от 0 до +)f(t)e^-ptdt=lim (от 0 до b)f(t)e^-ptdt (при b). Воспользуемся признаком сравнения ( если (x[a, +[)[f(x)0, (x)0, f(x)(x)], то из сходимости (от a до +)(x)dx следует сходимость интеграла (от а до +)f(x)dx ). Если Rep, то (t[0, +[): f(t)e^-pt=f(t)e^-pt=  e^z=e^x=e^Rez = =f(t)e^Re(-pt)=f(t)e^-(Rep)tMe^te^-(Rep)tdt  f(t)e^-ptMe^(-Rep)t. Интеграл (от 0 до +)Me^(-Rep)tdt сходится:

lim (от 0 до b)Me^(-Rep)tdt=Mlim (e^(-Rep)t/(-Rep)) (от 0 до b)=M/(-Rep)lim (e^(-Rep)b-1)= -Rep0  e^(-Rep)b0(e^-) = =M/(Rep-). Значит, и (от 0 до +)f(t)e^-ptdt сходится  (от 0 до +)f(t)e^-ptdt сходится. Аналитичность F(p) в области Rep примем без док-ва. 

Определение 2: Комплекснозначная функция действительного переменного f(t), определенная на [0, +[ и удовлетворяющая условиям 1) и 2) т-мы о существовании изображения, наз-ся оригиналом. Число  наз-ся показателем роста оригинала.

Ясно, что если ₁, то тем более f(t)Me^1t, поэтому любое большее число ₁ также явл-ся показателем роста. Если бывает нужно рассмотреть оригинал f(t) на всем интервале ]-, +[ , то полагают f(t)=0 при t0. Оригиналами явл-ся все ограниченные кусочно-непрерывные функции: f(t)M  f(t)Me^0t (показатель роста =0). Например, f(t)=cost, sint. Все степенные функции f(t)=t^ (R), т.к. они растут медленнее экспоненты. Все показательные функции f(t)=a^t (aC): a^t=

=e^tLna=e^{t(lna+iArga)}=e^tlna  =lna. Примеры не оригиналов: f(t)=tgt (имеет разрывы 2-го рода t=/2+k). f(t)=e^{t^2} (растет быстрее e^t). Согласно т-ме о существовании изображения, для каждого оригинала f(t) с показателем роста  сущ-ет и притом единственное изображение F(p), аналитическое в полуплоскости Rep.

Т-ма обращения. Если f(t) - оригинал с показателем роста , а F(p) - его изображение, то во всех точках, где f(t) непрерывна, выполняется равенство f(t)=1/(2i)(от a-i до a+i)F(p)e^ptdp=^-1(F(p)), (2)

где а - любое действительное число, большее , а интеграл берется по прямой ={p: Rep=a} и понимается как предел интеграла по отрезку от a-ib до a+ib при ba.

 Без док-ва 

Т.о., каждому изображению F(p) по формуле (2) соответствует единственный оригинал f(t) (с точностью до значений в точках разрыва: оригиналы, отличающиеся значениями только в точках разрыва, имеют одно и то же изображение F(p)=

=(от 0 до +)f(t)e^-ptdt, т.к. значения функции f(t) в конечном числе точек не влияют на величину интеграла. Интеграл (2) наз-ся обратным преобразованием Лапласа.

Изображения некоторых элементарных функций.

1) Единичная функция Хевисайда. =1(t)={0, при t0; 1, при t0.

(т.к. для изображения F(p) значение функции f(t) в одной точке не имеет значения, то (0) можно не задавать). Т.к. (t) ограничена, то показатель роста =0, и в полуплоскости Rep0 сущ-ет аналитическое изображение F(p)=((t))=

=(от 0 до +)(t)e^-ptdt=(от 0 до +)e^-ptdt=e^-pt/-p (от 0 до +)= e^-pt=e^-Rept0  e^-pt0=0+1/p; (t)1/p, или 11/p.

2.Экспонета e^t, C. e^t=e^Ret  =Re, и в полуплоскости RepRe: F(p)=(e^t)=(от 0 до +)e^te^-ptdt=e^(-p)t/(-p) (от 0 до +)=  e^(-p)t=e^(Re-Rep)t0  e^(-p)t0 =0+1/(p-); e^t1/(p-).

3.Степенная функция tⁿ (nN). При t tⁿe^t при любом 0, так что показатель роста =inf{}=0, и в полуплоскости Rep0: F(p)=(tⁿ)=(от 0 до +)tⁿe^-ptdt= u=tⁿ; dv=e^-ptdt =tⁿ(-1/pe^-pt)(от 0 до +) - (от 0 до +)(-1/pe^-pt)nt^n-1dt=  e^-pt=

=e^-Rept0  tⁿe^-pt=tⁿe^-Rept0  tⁿe^-pt0 =0+n/p(от 0 до +)t^n-1e^-ptdt= u=t^n-1; dv=e^-ptdt =n/p[t^n-1(-e^-pt/p) (от 0 до +) -

(от 0 до +)(-1/pe^-pt)(n-1)t^n-2dt] =n(n-1)/p² (от 0 до +)t^n-2e^{- pt}dt=...=n(n-1)...(n-(n-1))/pⁿ(от 0 до +)t^n-ne^-ptdt=

= n!/pⁿ(-1/pe^-pt) (от 0 до +)=n!/pⁿ(0+1/p)=n!/pⁿ⁺¹; tⁿ  n!/pⁿ⁺¹.

8.2.Св-ва преобразования Лапласа.

Св-ва изображения позволяют находить изображения сложных оригиналов через известные изображения простых оригиналов, не вычисляя интеграла Лапласа.

1) Линейность. Линейная комбинация оригиналов преобразуется в линейную комбинацию изображений: для любых комплексных постоянных с₁,...,с_n c₁f₁(t)+...+c_nf_n(t)  c₁F₁(p)+...+c_nF_n(p).

 Если f_i(t) имеют показатели роста _i (i=1,...,n), то f(t)=c₁f₁(t)+...+c_nf_n(t) - оригинал с показателем роста =max{₁,...,_n}. Действительно, f(t) кусочно-непрерывная кака линейная комбинация кусочно-непрерывных функций. Кроме того, f(t)

 c₁f₁(t)+...+c_nf_n(t) c₁M₁e^1t+...+c_nM_ne^nt все _i c₁M₁e^t+...+c_nM_ne^t =Me^t, где M=c₁M₁+...+c_nM_n и по определению оригинала f(t) - оригинал с показателем роста . В полуплоскости Rep0 она имеет изображение F(p) =(от 0 до +)f(t)e^-ptdt =(от 0 до +)(c₁f₁(t)e^-pt+...+c_nf_n(t)e^-pt)dt =линейность интеграла =с₁(от 0 до +)f₁(t)e^-ptdt+...+c_n(от 0 до +)f_n(t)e^-ptdt =c₁F₁(p)+...+c_nF_n(p) 

Примеры: При любом С: sint =(e^it-e^-it)/(2i) =1/(2i)e^it-1/(2i)e^-it 1/(2i)1/(p-i)-1/(2i)1/(p+i) =/(p²+²);

sint /(p²+²). Аналогично cost p/(p²+²); sht /(p²-²); cht p/(p²-²).

2.Подобие. [f(t) F(p), Rep]  [(0): f(t) 1/F(p/), Rep] (при умножении аргумента оригинала на положительное число изображение и его аргумент делятся на это число).

 f(t) кусочно-непрерывная как сложная функция, составленная из кусочно-непрерывной функции f() и непрерывной функции =t. Кроме того, по условию f(t)Me^t, так что f(t) Me^(t)  f(t) Me^1t, где ₁=. Значит, f(t) - оригинал с показателем роста , и в полуплоскости Rep: (f(t)) =(от 0 до +)f(t)e^-ptdt =t=, t=/, dt=d/ =

=1/(от 0 до +)f()e^-p/d =1/F(p/) 

3.Запаздывание оригинала. [f(t) F(p), Rep]  [(0): f(t-) e^-pF(p), Rep] (включение оригинала с запаздыванием на  влечет умножение изображения на e^-p).

 f(t-) кусочно-непрерывна как сложная функция из кусочно-непрерывной функции f() и непрерывной =t-. Кроме того, по условию f(t) Me^t, так что f(t-) Me^(t-) =(Me^-)e^t  f(t-) M₁e^t, где M₁ =e^- = const. Значит, f(t-) - оригинал с показателем роста , и для Rep (f(t-)) =(от 0 до +)f(t-)e^-ptdt =при t f(t-)=0 =(от  до +)f(t-)e^-ptdt =t-=, dt=d, при t= =0, при t= = =(от 0 до +)f()e^-p(+)d =e^-p(от 0 до +)f()e^-pd =e^-pF(p) 

Пример: Найти изображение импульса величиной А за промежуток времени : f(t) ={0 при t0, A при 0t, 0 при t.