toe2 (Шпоры), страница 2

Законы Ома и Кирхгафа в комплексной форме:

{i=U/r(закон Ома); Σ_{k}i_k=0(1-ый зн. Кирхг.); Σ_{k}U_k=Σ_{k}e_k(2-ой зн. Кирхг.)}(для мгнов. значений тока и напр.), для записи з-нов в компл. форме переходим к компл. записи всех токов и напряж.: (İ_m[e^jаt]- на мн-ль в квадратных скобках можно сократить). {Σ_{k}i_k=0; Σ_{k}U_k=Σ_{k}E_k}; İ_k=Ů_k/z_k; (z_k- компл. сопр-е эл-та); (Число ур-й з-на Кирхг. должно равнятся числу неизвестных токов). 1з-н: =q-1; 2з-н: =р; всего: n=q-1+p. Пример1:(рис.) 1)выбрать усл. положит. напр-е тока в кождой ветви.(узлы меж. кот. нет эл-тов можно объеденить в один (если нас не интересует ток меж. ними)). 2) → всего 3 неизвестных. 3)2 узла → одно ур-е 1-ого з-на Кирхг. для узла (1): -İ₁-İ₂+İ₃-Ĵ₄=0. 4)ур-я 2 з-на Кирхгофа(2): 1к: İ₁Ż₁-İ₂Ż₂=Ė₁-Ė₂; 2к: İ₁Ż₁+İ₃Ż₃=Ė₁. Нельзя писать ур-я для контура, куда входит источник тока! (т.к. там неизвестно напряжение). Пример2:(рис.) ωL=10Ом; r=10Ом; 1/ωC=10Ом; U=100(2)^1/2*sin(ωt+П/2)В. 1)Запишем комплексное сопр. эл-тов: ωL→jωL; r→r; 1/ωC→1/jωC=-j/ωC=-10j. 2) Комплексное действ. знач. напряж. Ů=Ue^jψU=100e^jП/2= 100j. 3) Эл-ты цепи соед. посл.- паралельно: Z_Э=10j+(10(-10j))/(10-10j)= 10j+ (-10j)/(1-j)= 10j+ (-10j)(1+j)/((1-j)(1+j))=5+5j(Ом) → можно представить цепь в виде резистора соед. посл. с катушкой с сопр. 5j. 4) * İ_L=Ů/Z_Э=100j/(5+5j)= 20j(1-j)/((1+1j)(1-j))= 10j(1-j)= 10+10j(A). → его мгнов. значение: iL=(102+102)1/2(2)1/2sin(ωt+П/4); (arctg(Im/Re)=П/4). * По 2-му з-ну К.: -Ů+(5+5j)*10j+Ů_rC=0; -100j-50+50j=-Ů_rC; Ů_rC=Ů_r=Ů_C=50+50j. * İC=ŮC/(-10j)=-5+5j(A); * İr=Ůr/r=5+5j(A).

Расчет мощностейкомплексным методом.

P=UIcosφ- активная мощность; Q=UIsinφ- реактивная мощность; φ=ψ_u-ψ_i, Ů=Ue^jψu, İ=Ie^jψi, → для пол-я компл. мощ. нужно взять сопряж. İ: Ůİ(*)=Ue^jψuIe^-jψi= UIe^j(ψu-ψi)= UIe^jφ= UIcosφ-jUIsinφ= P+jQ → Re(Ůİ(*))=P; Im(Ůİ(*))=Q; S=UI → Ś=P+jQ → Наоборот возьмем сопряж. значении Ů: Ů(*)İ=Ue^-jψuIe^jψi= Uie^-jφ= UIcosφ-jUIsinφ= P-jQ.

Параметры эквивалентные двухполеснику.

(рис.) двухпол- пассивная электрическая цепь, с двумя внешними зажимами. → с точки зрения источники любой двухполосник эквив. цепи с двумя эл-тами:(рис.) (необходимо только подобрать правильный сдвиг по фазе) → двухп. с φ>0 эквив. RL-цепи; -//- с φ<0 -//- RC-цепь. * Рассм. как осн. эквив. парал. цепи перейти к эквив. послед. цепи: Y=1/Z= 1/(r+jx)= (r-jx)/(r²+x²)=r/(r²+x²)-jx/(r²+x²)= g-jb → g не=1/r; bне=1/x; Z=1/Y=1/(g-jb)= (g-jb)/(g²+b²)= g/(g²+b²)-jb)/(g²+b²)= r_Э-jx_Э → r_Эне=1/g; x_Эне=1/b - в общем случае.

Расчет сложных цепей.

- цепи, которые не состоят из посл.-паралельно соединеных элементов:(рис.) → их необх. расчитывать, составляя ур-я з-на Кирхгофа. → основная идея всех всех методов расчета сложных цепей - уменьшить число одноврем. решаемых уравнений.

Метод основаный на преобразовании источников ЭДС и тока.

(1)(рис.) По з-ну Кирхгофа: Ė=İ_нZ_вн+Ů_н, но: Ů_н=f(İ_н) → Ů_н= Ė-İ_нZ_вн(рис.). (2)(рис.) По 1з-ну Кирхгофа: Ĵ=Ů_нY_вн+İ_н; Ů_н= Ĵ/Y_вн+İ_н/Y_вн → Условие эквив. источников: Z_вн=1/Y_вн; Ė=Ĵ/Y_вн; → параметры ист. тока, эквив. ист. ЭДС: Y_вн=1/Z_вн; Ĵ=Ė/Z_вн. Пример: (рис.) → после замены ист. ЭДС на эквив. источник тока: (рис.) → складываем парал. токи и проводимости. (рис.) → вернемся к эквив. ист. ЭДС: (рис.).

Метод оснований на иссп. принципа наложения.

(рис.) i=2A+3A=5A; u=20B+30B=50B; P=i²r=25*10=250Вт; i=2A+3A; P=4*10+9*10=130Вт; Принцип наложения можно использовать только при линейной зависимости: (рис.) Рассмотрим принцип наложения, приняв источник ЭДС идеальным. При применении принципа наложения при расчете тока от одного источника, все другие источники ЭДС должны быть закорочены, а все ветви с источниками тока должны быть разомкнуть. (1Р)(рис.)(токи могут быть напр. произвольно). İ₁’=Ė₁/Z_экв=Ė₁/(Z₁+Z₂Z₃/(Z₂+Z₃)); İ₁’Z₁+Ů₂’=Ė₁; Ů₂’=Ė₁-İ₁Z₁; İ₂’=Ů₂/Z₂. (2P)(рис.) İ₂’’=Ė₂/(Z₂+Z₁Z₃/(Z₁+Z₃)); -İ₂’’Z₂-Ů₁’’=-Ė₂; Ů₁’’=Ė₂-İ₂’’Z₂; Ů₃’’=Ů₁’’; İ₁’’=Ů₁’’/Z₁; İ₃’’=Ů₃’’/Z₃. (3P)(рис.) İ₃’’’=Ė₃/(Z₃+Z₁Z₂/(Z₁+Z₂)); İ₂’’=(Ė₃-İ₃’’’Z₃)/Z₂; İ₁’’’=(Ė₃-İ₃’’’Z₃)/Z₁. İ₁=İ₁’-İ₁’’+İ₁’’’; İ₂=İ₂’-İ₂’’-İ₂’’’; İ₃=İ₃’+İ₃’’+İ₃’’’.

Метод контурных токов.

(рис.) Сначала находят контурные токи (фиктивные) воображаемые велечины. Записываем 2 ур. Кирхгофа для ветвей. Направление контурного тока всегда совпадает с направл. обхода контура. İ_k1Z₁+İ_k1Z₂+İ_k1Z₃+(учитываем другие контурные токи); Z₁₁=Z₁+Z₂+Z₃; Z₁₂=-Z₂; Z₁₃=0; Z₁₄=-Z₃; Z₁₅=Z₁; Ė_n=-Ė₃+Ė₄; İ_k1Z₁₁-İ_k2Z₂+İ_k3*0-İ_k4Z₃+İ_k5Z₁= İ_k1Z₁₁-İ_k2Z₁₂-İ_k4Z₁₄+İ_k5Z₁₅= -Ė₃+Ė₄=Ė₁₄. Мостовая цепь: (рис.) Z₁₁=Z₁+Z₃+Z₄; Z₂₂=Z₂+Z₃+Z₅; Z₃₃=Z₁+Z₂+Z₆; Z₁₂=-Z₃; Z₁₃Z₁; Z₂₂=Z₂; Ė₁₁=Ė₃; Ė₂₂=-Ė₃; Ė₃₃=-Ė₆; İ_k1(Z₁+Z₃+Z₄)-İ_k2Z₃+İ_k3Z₁=Ė₃; İ_k2(Z₂+Z₃+Z₅)-İ_k1Z₃+İ_k3Z₂=-Ė₃; İ_k3(Z₁+Z₂+Z₆)-İ_k2Z₂+İ_k1Z₁=-Ė₆; [Z₁+Z₃+Z₄; -Z₃; Z₁| -Z₃; Z₂+Z₃+Z₄; Z₂| Z₁;Z₂; Z₁+Z₂+Z₆](матрица симитрична относительно гловной диагонали) [Ė₃| -Ė₃| -Ė₆]; İ₁=İ_k1+İ_k3; İ₄=-İ_k1; İ₂=İ_k2+İ_k3; İ₅=İ_k2; İ₃=İ_k1-İ_k2;İ₆=-İ_k3; {İ_k1Z₁₁+İ_k2Z₁₂+...+İ_knZ_1n=Ė₁₁; İ_k1Z₂₁+İ_k2Z₂₂+...+İ_knZ_2n=Ė₂₂; ...; İ_k1Z_n1+İ_k2Z_n2+...+İ_knZ_nn=Ė_nn}; İ_k1=Δ11Ė₁₁/Δ+Δ21Ė₂₂/Δ+…+Δn1Ė_nn/Δ.

Метод узловых напряжений:

(рис.) Ů₁₂+Ů₂₀+Ů₁₂=0; → Ů₁₂=Ů₁₀-Ů₂₀→ этот метод позволяет писать q-1 ур-й, где q- число узлов. Рассм. обобщеную ветвь: (рис.) Напишим чему равен ток отходящий от узла (к): (КМ): -Ů_КМ+İ_КМ*Z_KM=Ė_KM; İ_KM=Ů_KM/Z_KM+Ė_KM/Z_KM; (рис.) Ů_KM+Ů_MO-Ů_KO=0; Ů_KM=Ů_KO-Ů_MO; → İ_KM=Ů_KO/Z_KM-Ů_MO/Z_KM+Ė_KM/Z_KM. По I-му з-ну Кирхгофа: Σ_{m}İ_KM+Σ_{m}Ĵ_KM =0 → Σ_{m}Ů_KO/Z_KM-Σ_{m}Ů_MO/Z_KM= -Σ_{m}Ė_KM/Z_KM-Σ_{m}Ĵ_KM; Ů_KOΣ_{m}Y_KM-Σ_{m}Ů_MOY_KM= -Σ_{m}Ė_KM/Z_KM-Σ_{m}Ĵ_KM(задающий ток k-го узла=Ĵ_KM); Σ_{m}Y_KM- собственная проводимость k-го узла=Y_KM; (проводимость с разными индексами наз. общей проводимостью меж. двумя узлами) Ů_KOY_KK-Σ_{m}Ů_MOY_KM= Ĵ_KK. Пример: (рис.) 1- выбрать условное напр. токов, 2- вабрать опорный узел. (1узел): Ů₁₀(1/Z₁+1/Z₄+1/Z₆)-Ů₂₀/Z₁-Ů₃₀/Z₆=Ė₄/Z₄-Ė₆/Z₆; (2узел): -Ů₁₀/Z₁+Ů₂₀(1/Z₁+1/Z₂+1/Z₃)-Ů₃₀/Z₂=0; (3узел): -Ů₁₀/Z₆-Ů₂₀/Z₂+Ů₃₀(1/Z₂+1/Z₅+1/Z₆)=Ė₆/Z₆; → матрица коэфф. для этих ур-й получится симметр. относ. главной диагонали (это основное св-во этих ур-й). Теперь найдем все токи: → (рис.) İ₁Z₁+Ů₂₀-Ů₁₀=0; İ₁=Ů₁₀/Z₁-Ů₂₀/Z₁; → (рис.) -İ₃Z₃+Ů₂₀=0; İ₃=Ů₂₀/Z₃; → (рис.) -Ů₁₀-İ₄Z₄=-Ė₄; İ₄=-Ů₁₀/Z₄+Ė₄/Z₄; (Аналогично с пом-ю з-нов Кирхгофа находятся и остальные токи). *При записи матрицы коэфф. стоящие на диагонали всегда будут с плюсом, а остальные с минусом. *Ур-е в общем виде: Ů₁₀Y₁₁+Ů₂₀Y₁₂+...+Ů_q-1;0Y_1;q-1=Ĵ₁₁- для первого узла; Ů₁₀Y₂₁+Ů₂₀Y₂₂+...+Ů_q-1;0Y_2;q-1=Ĵ₂₂- для второго узла; → здесь тоже получится симм. матрица, а все слогаемые положительными. *Рассм. ветвь с идеальным источником ЭДС, а сопр. меж. узлами нет: (рис.) -ŮKO=E; ŮKO=-E; → для этого узла не нужно писать ур-е для k-го узла; т.е. число ур-ий сократится на еденицу!

Метод эквивалентного генератора:

Исспользуется, когда нужно опред. не все токи, токи только в одной ветви → этот метод позволяет найти один ток, не составляя всей сист. ур-й. (рис: всю остальную цепь по отнош. к нагрузке Zн можно считать генератором). (1)сделаем разрыв в цепи => меж. точками возникнет напряж. направл. также, как и ток (рис.) (2)Чтобы обратить ток в ноль надо выбрать ЭДС напр. против тока, а его модуль должен быть равен U. (3)Включим два противонапр. ист. ЭДС и воссп. методолм наложения: 1режим- İ_M=İ_M1+İ_M2(İ_M1=0); действует Ė_ген и -Ů0; 2режим- İ_M=İ_M2=Ů₀/(Z_M+Z_r); при такой записи генератор можно изобразить как: (рис-ки(2)) Y_r=1/Z_r; Ĵ=Ė/Z_r. Пример: (рис.) İ5=Ů0/(Z5+Zr); преобразуем схему(разомкнем приёмник) (рис.) → все эл-ты в этой цепи уже соед. последоват. - паралельно. → -Ů₀-İ₂Z₂+İ₄Z₄=0; İ₂=Ė₆/(Z₁+Z₂); İ₄=Ė₆/(Z₃+Z₄). Теперь найдём внутр. сопр. генер.: (рис.) → сопр. между точками и будет сопр. генератора (рис.) → Z_r=Z₁Z₂/(Z₁+Z₂)+Z₃Z₄/(Z₃+Z₄).

Согласование источника и нагрузки:

(1)Постоянный ток: Неидеальный источник (вн. сопр. не равно нулю) (рис.) → каким должно быть r_н, чтобы выделялась наибольшая мощность? -//- что КПД было максимальным? Если r_н=0- мощность не выдел.; Р_н=0; r_н=∞ → разрыв → Р_н=0 → (рис.) Р_н=i_н²r_н= (e/(r_вн+r_н))²*r_н → так: r_н=r_вн; Р_н=e²/4r_вн=max. Но при этом КПД не будет максимум. → (рис.) η=Р_н/(Р_вн+Р_н)=Р_н/Р_ист. при r_н=0 → η=0, r_н →∞ → η →1, → для маломощных сигналов выгодно иссп. r_н=r_в, чтобы добиться макс. мощности (в радиоэлектроных цепях) → В электроэнергетике необх. добиться большого КПД, поэтому стремятся использовать r_н>>r_вн. (2) Цепи синусоидального тока: (рис.) Z_н=r_н+jX_н; Z_вн=r_вн+jX_вн; P_н=I_н²Z_н=E²*Z_н/((r_вн+r_н)²+(Х_вн+Х_н)²); Z=(r²+X²)^1/2=((r_вн+r_н)²+(Х_вн+Х_н)²)^1/2; → для получения макс мощности необх.: 1) Х_н=-Х_вн (→ как правило Хн должно быть отрицат. → ёмкостным). 2)r_н=r_вн.

Метод основаный на преоброзовании соедин. Δ→Y и обратно:

Можно преобр. часть цепи, если режим работы остывшейся цепи не меняется. Рассм. на примере мостовой цепи: (рис.) {(Z₁;Z₃:Z₅); (Z₂;Z₄;Z₅)}→ образуют треугольник; {(Z₃;Z₄;Z₅); (Z₁;Z₂;Z₅)}→ образуют звезду. (1) преобраз. Δ Z₁;Z₃;Z₅ в Y: (рис.) т.к. токи и напряж. меж. точками остаются прежними, можно найти новые сопротивления: Z₁₀=Z₁Z₃/(Z₁+Z₃+Z₅); Z₂₀=Z₁Z₅/(Z₁+Z₃+Z₅); Z₃₀=Z₃Z₅/(Z₁+Z₃+Z₅); → Теперь полученая цепь, все эл-ты которой соед. посл.-паралельно → İ₆=Ů₆/Z_экц; оналогично легко найти İ₂ и İ₄ → потом с пом-ю II з-на Кирхгофа можно найти токи исходной задачи, которых уже нет после преоброзований: -İZ₂+İ₄Z₄-İ₅Z₅=0 → İ₅=… (2) Аналогичный рез-т можно получить преобразовывая Δ Z₂Z₄Z₅ в Y: (рис.) (3) Рассм. преобр. Y (Z₁Z₂Z₅) в Δ: (рис.) Новые сопр. полученого Δ выражается через старые эл-ты Y: Z₁₂=Z₁+Z₅+Z₁Z₅/Z₂; Z₁₃=Z₁+Z₂+Z₁Z₂/Z₅;Z₂₃=Z₂+Z₅+Z₂Z₅/Z₁. Все эл-ты получ. цепи соед. посл.-парал. → все токи можно найти с пом. з-нов Ома и Кирхгофа. Затим по I з-ну Кирхг. можно найти оставшиеся неизв. токи в исходной цепи: İ₂+İ₄-İ₆=0… *Сущ. методы и для преобр. многолучевых звезд в n-угольники(но они редко используются).

Принцип взаимности и основаный на нем метод расчета сложн. цепей: