toe2 (Шпоры)

Научн. обстракции в теор. эл. цепей.

В эл. цепи можно выделить участки, с тремя опр. св-ми: 1.св-ва резистора; 2.св-ва конденсатора(запас. энергию в виде эл. поля); 3.св-ва катушки индуктивности(накапл. энергии в виде маг. поля). 1,2,3- идеальные элементы(в реальности у эл-та цепи есть все три св-ва, вопрос только в том в какой мере они проявляются). (рис.) f≈40..100- резистор; f>100МГц- индуктивность;f>100ГГц- емкость. Этих трех св-в хватит, чтобы воспроизвести любые реальные эл-маг. св-ва. I абстракция: Реальный объект облад. всеми тремя св-ми; мы вводим идеальные объекты, облад. одним св-вом и с помощью них описываем реальный обект. II абстракция: Св-ва объекта- это св-ва одной точки, если длина волны поля >> длины объекта → при бвысоких частотах даже объекты ≈1 - нельзя считать маленькимы → - сист. со сосредоточеными параметрами - сист. с распредел. парам-ми. III абстракция: если R,C,L не зависит от токов и напряж. - линейная цепь. Иначе - нелин. цепь. Линейная цепь(рис.) В жизни не бывает лин. эл-тов. Нелин. цепь(рис.).

Источники ЭМ энергии.

Источники ЭМ энергии → источники ЭДС и источники тока(управл., неуправляемые; идеальные, неид.). Источники ЭДС:(идеал.)(рис.) Основное св-во: какие бы небыли внеш. условия напряж. меж. двумя точками всегда =Е; (неид.)(рис.). Источники тока:(ид.)(рис.) Осн. св-во: ток всегда равен J, а напряж. любое; (неид)(рис.) эти четыре типа: независимы, они преобр. к-л. энергию в ЭМ. На ряду с ними сущ. управл. истачники. (k- коэфф. усиления (>1))(рис.) → должен быть еще один источник покр. расходы усил. → он сам не созд. энергию, а только леггулирует поток энергии- такие уустройства и наз. упр. ист. (рис.). Их есть 4 типа: 1)ИНУН:-идеал.(рис.); 2)Неид.(рис.); 3)ИНУТ (источ. напр. упр. током)(рис.); 4)Неид.(рис.); 5)ИТУН(рис.); 6)неид.(рис.); 7)ИТУТ(рис.); 8)Неид.(рис.).

Условн. полож. направл. на эл-тах эл. цепи и их соотнош.

1)(рис.) U=Ri; i=gU.[g]=См. 2)(рис.) i=dU/dt=dC*U/dt=CdU/dt; U(t)=(1/C)∫_{0;t}idt+U_C(0). 3)(рис.) e=-dψ/dt; U=dψ/dt=dL*i/dt; U=Ldi/dt; i(t)=∫_{0;t}Udt+i(0). 4)(рис.) E=ri-U. 5)(рис.). Эл. цепь- совокупн. ЭМ устройств, предн. для протек. эл. тока. Схема эл. цепи- графич. изобр. эл. цепи с иссп. идеалн. эл-том(схема как правило отбраж. представл. о задаче).

Основные топологисечкие понятия; Обобщ. ветвь; граф. цепи.

(рис.). Обобщ. ветвь:(рис.) z не=0. Граф. цепи:(рис.) < - услов. полож. напр. токов в цепи. Дерево графа: связ-ет под граф, содержащие все узлы, но не содерж. контуров.(рис.). Дерево содержит (N-1) ветвей, где N- число узлов. Ветви не вошедшие в дерево наз. связями. Независ. сист. контуров- такая сист. контуров, в которой каждый след. контур содерж. хоть одну ветвь, которую пред. не содержит.(рис.: -6 незав. конт., p=n-(N-1)). Контуров ровно столько сколько связей(рис. n=6, q=4). (рис. - обобщ. ветвь). ĩ=i+J.(рис.). 1З-н Кирхгофа:(точки и узлы) Σ_{k}i_k=0; ∫_{S}JdS=0.(рис.) i₂-i₁-i₃-J=0. (ĩ- токи обобщ. ветви.) (рис. →i₂-i₁-i₃=0)→ для цепи нужно сост. (q-1) ур-й Кирхгофа (иначе получ. не сист. ур-ний, а тождество). (1): ĩ₁+ĩ₄=0. (2): ĩ₃-ĩ₄-ĩ₅=0. (3): ĩ₆+ĩ₂+ĩ₅=0. Запишим эти ур-я в матр. форме: А=(1 1 1 0 0 1 | -1 0 0 -1 0 0 | 0 0 -1 1 1 0 | 0 -1 0 0 -1 -1)- матрица соединений. → нулевую строчку можно вычеркнуть, т.к. информ. содерж. в ней излишня и ее можно вост. по ост. инф. Ĩ=(τ₁|τ₂|τ₃|τ₄|τ₅|τ₆) → это столбец, содержащий токи обобщ. ветвей. → помножим А и Ĩ: А*Ĩ=(-τ₁-τ₄|-τ₃+τ₄+τ₅|-τ₂-τ₅-τ₆)=0 → З-н Кирхгофа в матр. форме: А*Ĩ=0. Рассм. эти три ур-я относ. искомого тока: J=(-J₁|0|0|J₄|0|-J₆); Ĩ=I+J → AI=-AJ. D=… - з-н через независ. сечения. Число независ сеч. должно соотв. числу ур-й по з-ну Кирхгофа (q-1); (каждое новое сеч. должно пересекать новую ветвь дерева) D=(1 0 0 1 0 0|0 1 0 0 1 1|0 0 1 -1 -1 0). D*Ĩ=(ĩ₁+ĩ₂|ĩ₂+ĩ₅+ĩ₆|ĩ₃-ĩ₄-ĩ₅)=0 -матрица сечений(наиболее общий вариант). DI=-DJ. → всеми тремя способами нами были получены одинак. ур-я. 2-ой з-н Кирхгофа:(напряж. и контура) Σ_{k}U_k=0; Σ_{k}U_k=Σ_{k}e_k.(рис.) U₁+U₂-U₃-U₄=e₂-e₃. Для обобщ. ветви: Ũ=U-e. (рис.) → при выборе контуров: каждый новый контур должен захв. одну нов. связь. [4]:Ũ₃-Ũ₁+Ũ₃=0. [5]:Ũ₅-Ũ₂+Ũ₃=0. [6]:Ũ₆-Ũ₂=0. С=(-1 0 1 1 0 0|0 -1 1 0 1 0|0 -1 0 0 0 1), введем вектора Ũ=(Ũ₁|Ũ₂|...|Ũ₆), U=(Ũ₁|Ũ₂|...|Ũ₆). E=(0|0|e₃|e₄|0|-e₆) → С*Ũ=(-Ũ₁+Ũ₃+Ũ₄|-Ũ₂+Ũ₃+Ũ₅|-Ũ₂+Ũ₆) → 2-ой з-н Кирхгофа в матричн. форме, относ. входн. напряж. обобщен. цепи Ũ=U-E → CU=CE → получ. сист. топологических ур-й: DI=-DJ((q-1)штук); CU=CE(n-(q-1)штук). - сист. нельзя решить, если не дополнить ее числом n- компонентами: U=Ri; U=Ldi/dt; i=CdU/dt → U=(1/C)∫_{0;t}idt+U(0). Запишем эти компоненты в матр. виде: R=(R(от1 доn)-по главн. диогонали, остольное равно 0). I=(i₁|i₂|...|i_n(ток текущ. через нагрузку данной ветви)). U=RI - n штук. Для нашей схемы: R=((по главной диогонале)R₁+Ld/dt|R₂+(1/C)∫_{0;t}--dt+U(0)|R₃|R₄|R₅|R₆(остольное =0)) C состоит из некой матрици и еденичной матрици (1) → C=[F][1]; D=[1][-F] → всю топологию можно получить зная матрицу F!

Синусоидальные токи и напряж.

Любая sin ф-я имеет стандартный вед. e(t)(мгнов. знач.)=E_m(амплитудное значение)sin(ω(цикл. частота)t+ψ(начал. фаза в рад.)) (ω=2Пf; f=[Гц]; ω=[1/сек])(рис.) u(t)=U_msin(ωt+ψ_u); i(t)=I_msin(ωt+φ). (рис. изображ. с помощью вращ. векторов) u(t)+e(t)=U_m+E_m → сложение векторов возможно только при одинаковой частоте ω! Действ. знач. синусоид. величин. E=((1/T)∫_{0;T}e²dt)^1/2- формула для вычисл. действ значения для любой вел-ны. Две причины введ. действ. велич. → 1) ] нужно посчтать мощьность на резисторе: ri² → =(1/T)∫_{0;T}ri²dt=r*(1/T)∫_{0;T}i²dt=rI²; где I- действ. значение. 2) f_п=δW_п/δg=|WM=L₁i₁²+L₂i₂²+2Mi₁i₂|=i₁i₂δM/δg=i²δM/δg|_i1=i2. F= (1/T)∫_{0;T}i²δMdt/δg= I²δM/δg. → при расчете действия тока на практике всегда удобно иссп. действ. значения. U=((1/T)∫_{0;T}(U_msin(ωt))²dt)^1/2=((U_m²/T)∫_{0;T}(1-cos(ωt))/2dt)^1/2(=) ∫…=∫1/2-∫_{0;T}cos(ωt)dt/2= ∫_{0;T}1/2dt=T. (=)U_m/(2)^1/2 → U=U_m/(2)^1/2, аналогично для тока ЭДС. Среднее значение sin волны: U_ср=(2/T)∫_{0;T/2}U_msin(ωt)dt(=) (интеграл берется за пол периода т.к. если взять за весь период получится ноль) (=)(2/T)(U_m/ω)∫_{0;П}sin(ωt)dωt= (2U_m/Tω)cos(ωt)|_{0;П}= 2U_m/П. U_ср=2U_m/П. Коэфф. формы: k_ф=U/U_ср=1,11. ЭДС наводимое переменным магнитным потоком. E_ср=(2/T)∫_{0;T/2}еdt(=) e=-dU/dt (=)(2/T)∫_{0;T/2}-dψdt/dt=(2/T)∫_{{ψmin;ψmax}}dψ =2f(ψ_max-ψ_min)=(] ψ_max=-ψ_min)=4fψ → E_ср=4fψ_max → E=4,44*fψ_max.

Установившийся ток в RLC цепи.

(рис.) (1)способ ] u(t)=U_msin(ωt+ψ_u) Мы имеем лин. сист. с пост. параметрами и гармонич. вынуждающую силу → через нек. время в ней уст. гарм. колебания с частотой вынужд. силы. i(t)= U_msin(ωt+ψ_u-φ) т.к. от нач. фазы ничего не зависет выберем ψ_u=φ → i(t)=I_msin(ωt). Запишим ур-я Кирхгофа: U(t)=U_r+U_L+U_C. Запишем компонентные ур-я: U_r=ri= I_msin(ωt)*r; U_L=Ldi/dt=ωL*I_mcos(ωt); U_C=(1/C)∫{0;П}idt+U_C(0)= - I_mcos(ωt)/ωC+ I_m/ωC+U_C(0) → U(t)= I_msin(ωt)*r+ωL*I_mcos(ωt)-I_mcos(ωt)/ωC+ I_m/ωC+U_C(0)= U_msin(ωt+ψ); → Найти этот ток - значит найти I_m и φ → необходимо, чтобы I_m/ωC+U_C(0)=0. Чтобы найти из этого равенства две переменные, подставим в него два произв. момента времени: ωt=П/2; rI_m=U_mcosφ → I_m;φ-? и ωt=0; (ωL-1/ωC)I_m=U_msinφ; (r_mI_m)²+(( ωL-1/ωC)I_m)²=U_m²; I_m=U_m/(r_m²+(ωL-1/ωC)²)^1/2; tgφ=(ωL-1/ωC)/r; I=U/(r²+(ωL-1/ωC)²)^1/2; I=(r²+(ωL-1/ωC)²)^1/2=U; по смыслу ведно, что это нек. сопротивл. z- наз. полное сопр. RLC- цепи перем. тока. z=[Ом], z=r|_L=0,С→∞ (при отс. катушки иконд. в цепи) r- активное сопр., ωL=x_L- реактивное сопр. катушки, ωL=x_с- реактивное сопр. конденсатора, x_L- x_С- реактивное сопр. всей цепи. Активное сопр. → переводит энергию ЭМ поля в тепло. x_L → переводи ЭМ энергию в магн. поле катушки. x_С → -//- в поле конденсатора. Векторные диаграммы нужны для качествунного изучения процесов, как влияют величины друг на друга.(рис.) Треугольник сопротивлений:(рис.).

Паралельное соед. RLC.

Нужно найти угол между i и U токи(рис.). Задаем условно полож. для данного момента времени, g- проводимость сопр. По I закону Кирхгофа: i=i_g+i_L+i_C; U=U_msinωt; U=U_msin(ωt-φ); I_msin(ωt-φ)= U_mgsinωt+(1/L)∫_{0;t}Udt+i_L(0)+Cdu/dt; (1/L)∫_{0;t}Udt+i_L(0)=i_L(t); (1/L)∫_{0;t}Udt+i_L(0)= -(U_m/ωL)cosωt|_{0;t}+i_L(0)= -(U_m/ωL)cosωt+U_m/ωL+i_L(0); Cdu/dt= ωCU_mcosωt; I_msin(ωt-φ)= U_mgsinωt-(U_m/ωL)cosωt+U_m/ωL+i_L(0)+ωCU_mcosωt; U_m/ωL+i_L(0); ωt=0: -I_msinφ= -U_m/ωL+ωCU_m(*(-1)){1}; ωt=П/2: I_mcosφ= U_mg{2}; умножим {1}²на{2}²: I_m²=U_m²[g²+((1/ωL)-ωC)²]; b_L- проводимость катушки; b_C- проводимость конденсатора; I_m²=U_m²[g²+(b_L-b_C)²]; b- общая реактивная проводимость; I_m²=U_m²[g²+b²]; I_m=U_m[g²+b²] ^1/2= U_my; tgφ=(b_L-b_C)/b. Построим векторную диаграмму.(рис.). Треугольник проводимости:(рис.).

Расчет мощности: Активная, реактивная, полная в цепи синусоидального тока.

p=ui. средняя мощность. P=(1/T)∫_{0;T}P(t)dt= (1/T)∫_{0;T}Uidt; U=U_msin(ωt+φ), (фаза напр.> фазы тока), i=I_msinωt; P=(1/T)∫_{0;T}U_mI_msin(ωt+φ)sintdt; P=(U_mI_m/2T)∫_{0;T}(cosφ-cos(2ωt+φ))dt= UITcosφ/T= UIcosφ=P- активная мощность. φ=0: P→max; φ=±П/2: P→0; Q=UIsinφ- реактивная мощность. S=(P²+Q²)^1/2=UI-Полная мощность. Мгновенная мощность и колебания энергии в цепи синусоидального тока.(картинки).

Комплексный метод расчета цепей sin тока.

→ этот метод позволяет расч. токи во всех ветвях при заданых напряж. и параметров цепи. Если при век. диагр. получ. кач. рез-т, то для числ. расч. прим. компл. метод. * Век. диагр.(применяются для:) (рис.) U_r=U_mrsin(ωt+20˚); U_L=U_mLsin(ωt+110˚)(т.к. U_L опереж. свой ток на 90˚). В цепях переменного тока параметры складыв. не линейно, а векторно U=U_msin(ωt+ψ_U) → тригон. преобр. для этой формулы будут очень грамоздкими. (Но когда много цепей тоже неудобно строить бол. кол-во век. диаграм → необх. аналитич. подход: комплексный) (рис.) → зная эти три прост. век. диаграммы можно построить и век. диагр. для смежной цепи: (рис.) → Начальная фаза вх. напряж. больше фазы тока, φ>0 → эту цепь можно заменить более простой цепью, только с двумя эл-тами. (рис.) «эквивалентная цепь», с точки зрения нагрузки на источник (при ее создании необходимо только иметь сдвиг по фазе). Комплексный метод: С ним расчитать цепь с любой заданой точностью. Суть: каждый вектор описывается двумя составн.: иксовой и игриковой (рис.). При век. слож. происх. сложение этих составляющих. → При слож. комплексных чисел также происход. слож. их составляющих → Мы можем применять метод комплексного сложения векторов, при этом не нужно считать амплитуду и сдвиги. Три формы записи компл. чисел: (a+jb)(1)=Ae^jα(2)=(Acosα+jAsinα)(3); свойства: j=(-1)^1/2 → j(-j)=1, 1/j=-j; 1/(a+jb)= (a-jb)/((a+jb)(a-jb))= (a-jb)/(a²+b²)= a/(a²+b²)-jb/(a²+b²); e^j*0=cos0+jsin0=1, e^j*П/2=j, e^j*П= -1, e^j*2П=1, e^j*П/4=2^1/2(1+j)/2. U_me^j(ωt+ψU)= U_mcos(ωt+ψ_U)+jU_msin(ωt+ψ_U). ] дано: U= U_msin(ωt+ψ_U) → оно равно мнимой части компл. числа. → U=J_m(U_me^j(ωt+ψU)) → U_msin(ωt+ψ_U) →|_{соответствует} U_me^j(ωt+ψU). U_me^j(ωt+ψU)= U_me^jψU*e^jωt. U_me^jψU =Ů_m -комплексная амплитуда. → ее предельно просто расчитать при заданом sin, напряж. U= 220*2^1/2*sin(ωt+П/2) → Ů_m= 220*2^1/2*e^jП/2=220*2^1/2*j. Ů- комплексное действующ. знач. → если Ů_m=220*2^1/2*j; Ů=220j; i=I_msin(ωt+ψ_i) → İ_me^jωt. İ_m - комплексная амплитуда тока. U_L=Ldi/dt-?; U_L=ωLI_mcos(ωt+ψ_i)=ωLI_msin(ωt+ψ_i+П/2) → запишим компл. выр-е для U_L: U_L→ ωLI_me^j(ψi+П/2)*e^jωt= ωLI_me^jψi*e^jωt*e^jП/2= jωLİ_me^jωt.( I_me^jψi=İ_m; e^jП/2=j) → Ů_Lm= İ_mjωL. Рассм. отношение компл. напр. к комп. току: Ů_Lm/İ_m= jωL=jx_L → компл. сопр. катушки. Для резистора: Ů_Lm/İ_m=r. Для конденсатора компл. сопротивл.: i= I_msin(ωt+ψ_i) → İ_me^jωt. U_C=(1/C)∫_{0;t}idt+U_C(0)= (1/C)∫_{0;t}I_msin(ωt+ψ_i)dt+U_C(0)= -(I_mcos(ωt+ψ_i))/ωC|_{0;t}+U_C(0)= (I_mcos(ωt+ψ_i))/ωC → напишем компл. выр-е для U_C: U_C=-(I_mcos(ωt+ψ_i+П/2))/ωC; U_C(t)→ -(I_m/ωC)e^{j(ωt+ψi+П/2)}= -(İ_m/ωC)e^jП/2e^jωt=-(jİ_m/ωC)e^jωt=|*(j/j)= (İ_m/jωC)e^jωt → İ_me^jωt/jωCİ_me^jωt= 1/jωC. Рассм. цепь содерж. все три эл-та: (рис.)(по з-ну Кирхгофа) U= ir+Ldi/dt+(1/C)∫_{0;t}idt+U_C(0) → Ů_me^jωt= İ_me^jωt(r+jωL+1/jωC). Ů_me^jωt/ İ_me^jωt= r+jωL+1/jωC. z= r+jωL+1/jωC - Компл. сопрот. цепи RLC. → при компл. подходе сопротивл. эл-том складываются! (рис.) z=(r²+x²)^1/2=(4+25)^1/2=(29)^1/2Ом, а при компл. расчете: z= r+jωL= 2+j5; |z|=z=(4+25)^1/2=(29)^1/2Ом → Комплексным методом легко посчитать сопр. в произв., сложных цепях. Проводимость: y=1/z; y=(g²+b²)^1/2; b=b_L-b_C; b_L=1/ωL; b_C=ωC. Комплексная проводимость: y=1/z; z= r+jx → y=1/(r+jx)=(r-jx)/((r+jx)(r-jx))=(r-jx)/(r²+x²)= r/(r²+x²) -jx/(r²+x²)= g-jb. Задачи: (1) U=U_msin(ωt+ψ_U) → U_me^jψU*e^jωt; Ů_m= U_me^jψU= U_mcosψ_U+jU_msinψ_U; ] U=220*2^1/2*sin(ωt+П/3) → Ů=Ů_m/2^1/2=220*e^jП/3= 220(cos(П/3)+jsin(П/3))= 100(1+j*3^1/2). (2) İ=a+jb → i(t)-?. i= I_msin(ωt+ψ_i) → I_m-?, ψ_i -?. I_m=2^1/2*(a²+b²)^1/2; tgψ_i=b/a;(рис.) (1) ] İ=2-2j; I_m=2^1/2*(2²+2²)^1/2=4 → ψ_i= -П/4; i=4sin(ωt-П/4). (2) İ₁=5-5j; İ₂=-5+5j; (рис.) → i=10sin(ωt-45˚); i=10sin(ωt+135˚). (3) (рис.) z=(1²+1²)^1/2= (2)^1/2Ом. z=1+1/j=1-j; z=|z|=(2)^1/2Ом. → при компл. расчете сопр. в ~ цепи можно иссп. правила расчета в цепях постоянного тока.(при посл. сопр. складываются; при парал. складыв. проводимости).