Занятие 6. Квадратичные формы, критерий Сильвестра. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису (Семинары по линейной алгебре)
Описание файла
Файл "Занятие 6. Квадратичные формы, критерий Сильвестра. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису" внутри архива находится в папке "Семинары по линейной алгебре". Документ из архива "Семинары по линейной алгебре", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Занятие 6. Квадратичные формы, критерий Сильвестра. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису"
Текст из документа "Занятие 6. Квадратичные формы, критерий Сильвестра. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису"
Занятие 6. Квадратичные формы, критерий Сильвестра. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.
Линейные формы. Говорят, что в действительном линейном пространстве L задана линейная форма, если каждому вектору 
поставлено в соответствие число f(x), причем выполнены условия
f(х + y) = f(х) + f(y), 
f(λх) = λf(х), , 
.
Билинейные формы. Числовая функция А(х, у): 
, заданная на действительном линейном пространстве L называется билинейной формой, если при фиксированном у она является линейной формой по x, а при фиксированном x − линейной формой по у. Билинейная форма называется симметрической, если А(x, у) = А(y, x), . Если в пространстве Ln фиксирован некоторый базис B = (e1, ..., en), то матрица A = (aij), aij = А(ei, ej) называется матрицей билинейной формы А(х, у) в базисе B.
Квадратичные формы. Пусть А(х, у) − симметрическая билинейная форма. Форма А(х, х), которая получается из А(х, у), если положить у = х, называется квадратичной. При этом А(х, у) называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме А(х, x).
Если в действительном линейном пространстве Ln фиксирован некоторый базис B = (e1, ..., en), то квадратичная форма А(х, x) в этом базисе имеет вид
(1)
где A = (aij) − матрица квадратичной формы и x = xiei + ... + xnen.
Квадратичная форма А(х, x), определенная в действительном линейном пространстве Ln. называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого 
(
) выполняется А(х, x) > 0 (А(х, x) < 0).
Пусть A = (aij) − матрица квадратичной формы А(х, x) и
, 
, 
− последовательность главных миноров матрицы A.
Критерием положительной определенности квадратичной формы является следующее утверждение (критерий Сильвестра): для того чтобы квадратичная форма А(х, x) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы А были положительны, т.е. Dk > 0, k = 1, 2, ..., n. Форма отрицательно определена, если и только если знаки Dk чередуются, начиная с отрицательного, причем D1 < 0.
Задачи:
Доказать, что в пространстве L функция f(х), является линейной формой:
4.192. 
.
4.194. 
− фиксированный вектор.
Доказать, что в пространстве L функция А(x, у) является билинейной формой:
4.199. А(x, у) =f1(x)f2(y), где f1, f2 − линейные формы в L.
В сдачах 4.218−4.224 определить, какие квадратичные формы являются положительно либо отрицательно определенными, а какие нет:
4.218. 
.
4.220. 
.
4.222. 
.
4.224. 
.
Домашнее задание: 4.193, 4.218–4.225 (неч.)
4.193. 
.
4.207. Доказать, что скалярное произведение (х, у) в евклидовом пространстве E является билинейной формой.
4.219. 
.
4.221. 
.
4.223.
.
4.225. Доказать, что квадрат длины вектора |x|2 в n-мерном евклидовом пространстве En является положительно определенной квадратичной формой.
Ответы
4.218. Положительно определенная. 4.219. Отрицательно определенная 4.220. Общего вида. 4.221. Отрицательно определенная 4.222. Положительно определенная. 4.223. Общего вида. 4.224. Положительно определенная.
