Занятие 5. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (Семинары по линейной алгебре)

Занятие 5. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Диагонализация симметричных матриц ортогональным преобразованием.

Пусть число λ и вектор , х ≠ 0, таковы, что

Ах = λх. (1)

Тогда число λ называется собственным числом линейного оператора A, а вектор x − собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу λ.

В конечномерном пространстве L_n векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству

(А – λЕ)x = 0, х ≠ 0. (2)

Отсюда следует, что число λ есть собственное число оператора А в том и только том случае, когда det(А – λЕ) = 0, т.е. λ есть корень многочлена p(λ) = det(А – λЕ), называемого характеристическим многочленом оператора А. Столбец координат X любого собственного вектора, соответствующий собственному числу λ, есть некоторое нетривиальное решение однородной системы (2).

Линейные операторы в пространствах со скалярным произведе­нием. Пусть А − линейный оператор, действующий в пространстве со скалярным произведением (x, y). Линейный оператор А* называется сопряженным к оператору А, если для любых векторов х, у выполняется равенство (Aх, у) = (х, А*у).

Линейный оператор H в пространстве со скалярным произведением называется самосопряженным, если H = H*. Самосопряженный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называется также эрмитовым (симметричным). Для того чтобы оператор А был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица А = (а_ij) удовлетворяла соотношению а_ij = а_ji. Такие матрицы называются симметричными.

Линейный оператор U в унитарном (евклидовом) пространстве называется унитарным (ортогональным), если

UU* = U*U=E, т. е. U* = U⁻¹

Для того чтобы оператор А был унитарным (ортогональным) необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица А = (а_ij) удовлетворяла соотношению А⁻¹ = А* (А⁻¹ = А^T). Такие матрицы называются унитарными (ортогональными).

Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Если оператор A, действующий в пространстве L_n имеет n линейно независимых собственных векторов е₁, е₂, ..., е_n соответствующих собственным числам λ₁, λ ₂, ..., λ_n, то в базисе из этих векторов матрица оператора А имеет диагональный вид

(3)

Матрица А самосопряженного оператора всегда приводится к диагональному виду. При этом, используя понятие унитарного оператора, ее можно представить в виде A = UDU⁻¹, где U − матрица унитарного оператора, осуществляющего переход oт исходного базиса к базису из собственных векторов оператора A, a D − диагональная матрица вида (3).

Задачи:

В задачах 4.129−4.133 найти собственные числа и собственные векторы операторов в V₃.

4.129. Ах = ах, а − фиксированное число.

4.131. Ax = [i, x].

В задачах 4.134–4.143 найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

В задачах 4.172–4.179 выяснить, какие из заданных матриц линейных операторов можно диагонализировать переходом к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы.

В задачах 4.183–4.184 найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданною в некотором ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис определен неоднозначно)

Для данной матрицы А найти диагональную матрицу D и унитарную (ортогональную) матрицу U такие, что A = UDU⁻¹:

Домашнее задание: 4.130, 4.132, 4.134–4.142 (четн.), 4.176, 4.184, 4.186

4.130. Ax = (x, i)i − оператор проектирования на ось Ох.

4.132. А = U(е, φ) − оператор поворота на угол φ вокруг оси, заданной вектором е.

Ответы