Занятие 3. Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта (Семинары по линейной алгебре)

Занятие 3. Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.

Пространства со скалярным произведением. Действительное линейное пространство E называется евклидовым пространством, если каждой паре векторов x и y из E поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом (х, у) и называемое скалярным произведением векторов x и y причем выполнены следующие условия

1) (x, y) = (y, x); 2) (x₁ + x₂, y) = (x₁, y) + (x₂, y); 3) (λx, y) = λ(x, y)

4) (x, x) ≥ 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0. Длиной вектора x называется число .

Вектор х, длина которого равна единице, называется нормированным. Для любых векторов x, у евклидова пространства справедливо неравенство Коши−Буняковского , которое позволяет следующим образом определить угол между ненулевыми векторами: .

Cauchy-Schwarz inequality. The inequality for sums was published by Augustin-Louis Cauchy (1821), while the corresponding inequality for integrals was first proved by Viktor Bunyakovsky (1859). The modern proof of the integral inequality was given by Hermann Amandus Schwarz (1888)

Ненулевые векторы называются ортогональными (из греч. ὀρθός  (orthos) − «прямой; правильный» + греч. γωνία  (gonia) − «угол»), если (х, y) = 0.

Базис B = (e₁, ..., e_n) n-мерного евклидова пространства называется ортонормированным, если

Если в пространстве задан произвольный базис (f₁, f₂, ..., f_n), то векторы , где образуют ортогональный базис в этом пространстве (процесс ортогонализации Шмидта).

Jørgen Pedersen Gram (1850 – 1916). The mathematical method that bears his name, the Gram–Schmidt process, was first published in the former paper, in 1883.

Erhard Schmidt (1876 – 1959). The method is named after Jørgen Pedersen Gram and Erhard Schmidt but it appeared earlier in the work of Laplace and Cauchy.

Задачи: ОЛ-6, гл. 4: 4.63 (а), 4.64 (а), 4.65 (а,б), 4.67–4.76 (неч.)

4.63. Пусть х = (х₁, х₂) и у = (у₁, y₂) произвольные векторы арифметического пространства R². Показать, что скалярное произведение в R² можно определить следующими способами:

а) (х, у) = 2х₁y₁ + 5x₂y₂;

Вычислить скалярное произведение векторов х = (1, −2) и y = (5, 1) каждым из указанных способов.

4.64. Доказать, что в пространстве P_п многочленов степени ≤ n − 1 скалярное произведение многочленов

и

можно определить способами:

а) (p, q) = a₀b₀ + a₁b₁ + ...+a_n-1b_n-1;

Вычислить скалярное произведение многочленов и каждым из указанных способов (n = 4), если в случае б) , , , .

4.65. а) Доказать, что в пространстве C_{[a, b]} соотношение: задает скалярное произведение

б) Написать неравенство Коши − Буняковского для этого пространства.

Применить процесс ортогонализации к следующим системам векторов евклидова пространства Rⁿ:

4.67. f₁ = (1, 1, 1, 1), f₂ = (3, 3, −1, −1), f₃ = (−2, 0, 6, 8).

4.69. f₁ = (1, 2, 2, −1), f₂ = (1, 1, −5, 3), f₃ = (3, 2, 8, −7)

Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов в евклидовом пространстве Rⁿ:

4.71. f₁ = (1, 2, 2, −1), f₂ = (1, 1, −5, 3), f₃ = (3, 2, 8, −7).

Проверить ортогональность следующих систем векторов в евклидовом пространстве Rⁿ и дополнить их до ортогональных базисов:

4.73*. e₁ = (1, −2, 1, 3), e₂ = (2, 1, −3, 1).

4.75. e₁ = (2/3, 1/3, 2/3), e₂ = (1/3, 2/3, −2/3).

Домашнее задание: 4.63 (б), 4.64 (б), 4.65 (в), 4.67–4.76 (четн.)

4.63. б) (х, у) = х₁y₁ + x₁y₂ + х₂y₁ + х₂y₂.

4.64. б) , t₁, ..., t_n − произвольные попарно различные действительные числа.

4.65. в) Написать неравенства треугольника для этого пространства.

4.68. f₁ = (1, 2, 1, 3), f₂ = (4, 1, 1, 1), f₃ = (3, 1, 1, 0).

4.70*. f₁ = (2, 1, 3, −1), f₂ = (7, 4, 3, −3), f₃ = (1, 1, −6, 0), f₄ = (5, 7, 7, 8).

4.72. f₁ = (2, 1, 3, −1), f₂ = (7, 4, 3, −3), f₃ = (1, 1, −6, 0), f₄ = (5, 7, 7, 8).

4.74. e₁ = (1, 1, 1, 1, 1), e₂ = (1. 0, 0, 1, −2), е₃ = (2, 1, −1, 0, 2).

4.76. e₁ = (1, 1, 1, 2), e₂ = (1, 2, 3, −3).

Ответы: