Занятие 2. Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства (Семинары по линейной алгебре)

Занятие 2. Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства.

Подпространства и линейные многообразия. Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество L' ⊂ L, которое обладает свойствами:

а) ;

б) для всякого числа λ.

Если L' − некоторое подпространство в L, то множество векторов

L' + х₀ = {х ∈ L | х = х' + x₀, х' ∈ L' для некоторого х₀ ∈ L}

называется линейным многообразием, полученным сдвигом подпространства L' на вектор х₀.

Пусть Q − произвольная система векторов из линейного про­странства L.

Линейной оболочкой системы Q называется множество векторов

.

а) − подпространство в L

б) dim  = rank Q, причем в качестве базиса в можно взять любой базис системы Q.

Задачи: ОЛ-6, гл. 4: 4.45–4.53 (неч.)

В задачах 4.45 − 4.49 требуется установить, являются ли заданные множества подпространствами в соответствующих пространствах. В случае положительного ответа найти их размерность.

4.45. Множество всех геометрических векторов из V₃

а) компланарных фиксированной плоскости;

б) удовлетворяющих условию (x, a) = 0, где а − фиксированный вектор;

в) удовлетворяющих условию |х| = 1.

4.47. Множество всех векторов произвольного пространства L_n, координаты которых в фиксированном базисе удовлетворяют условиям:

а) х₁ = х_п; б) x₁ + х₂ + ... +х_n = 0, в) x₁ − x₂ = 1;

г) a₁₁x₁ + ... +a_1nx_n = 0, ..., a_m1x₁ + ... +a_mnx_n = 0 или, в матричной форме, АХ = 0, где А − заданная матрица размера .

4.49. Множество всех функций (см. задачу 4.4), удовлетворяющих условиям:

а) f(t₀) = 0 для некоторого ; б) f(t₀) = 1 для некоторого ; в) f(t) = a_n−1t ⁿ⁻¹ + ... +a₁t + a₀ т. е. f(t) − многочлен степени не выше n − 1.

4.51. Найти размерность линейной оболочки арифметических векторов x₁ = (l, 0, 2, −1), x₂ = (0, −1, 2, 0). Показать, что .

Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы арифметических векторов:

4.53. x₁ = (1, 1, 1, 1, 0), x₂ =  (1, 1, −1, −1, −1), x₃ = (2, 2, 0, 0, −1), х₄ = (1, 1, 5, 5, 2), x₅ =  (1, −1, −1, 0, 0).

Домашнее задание: 44.46, 4.48, 4.52, 4.54

4.46. Множество всех векторов из Rⁿ вида:

а) x = (0, х₂, 0, х₄, х₅, ..., х_п); б) х = (1, х₂, 1, х₄, х₅, ..., x_n).

4.48. Множество всех матриц А порядка n, удовлетворяющих условиям:

а) А^T = А (симметричные матрицы); б) det A = 0.

4.52. x₁ =  (1, 0, 0, −1), х₂ = (2, 1, 1, 0), x₃ = (1, 1, 1, 1), x₄ = (1, 2, 3, 4), x₅ = (0, 1, 2, 3).

4.54. Показать, что линейная оболочка системы многочленов −3t² − 1, 2t² + t, −t совпадает с пространством P₃ всех многочленов степени .

Ответы

4.45. а), б) Подпространство размерности 2, базисом является любая пара неколлинеарных векторов из заданием о множества; в) не является подпространством.

4.46. а) Подпространство размерности n − 2; б) не является под­пространством.

4.47. Множества, указанные в пп. а), б), г), − полпространства, а множество из п. в) подпространством не является. Условие которому удовлетворяют координаты в любой из задач этой серии, можно записать в виде АХ = 0, где А − некоторая матрица, имеющая n столбцов, а X − столбец координат в фиксированном базисе Поэтому размерность соответствующею подпространства равна n − rank A, а в качестве базиса можно взять любую фундаментальную систему решений системы уравнении АХ = 0.

4.48. а) Подпространство размерности ; б) не является подпространством.

4.49. а) Бесконечномерное подпространство, б) не является подпространством; в) подпространство размерности п.

4.51. 2. 4.52. 3; один из базисов есть, например, B = (x₁, x₂, x₄) 4.53. 3; один из базисов есть, например, B = (x₁, x₂, x₅) 4.54. Заданная система многочленов линейно независима.