Занятие 14-15. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Без-условный и условный экстремум ФНП (Семинары по линейной алгебре)

Занятие 14-15. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Безусловный и условный экстремум ФНП.

Геометрические приложения частых производных. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M₀ (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Если уравнение поверхности имеет вид F(x, y, z) = 0, то уравнение касательной плоскости в точке M₀(x₀, y₀, z₀) есть

Уравнения нормали

В случае задания поверхности в явной форме z = f(x, y) уравнение касательной плоскости в точке M₀(x₀, y₀, z₀) имеет вид

а уравнения нормали

Экстремум функции. Функция u = f(P) имеет максимум (минимум) в точке , если существует такая окрестность точки P₀, для всех точек которой, отличных от точки P₀, выполняется неравенство f(P₀) > f(P) (соответственно f(P₀) < f(P)). Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция f(P) достигает экстремума в точке Р₀, то в этой точке для всех k = 1, 2, ..., n (1) или тождественно относительно

Точки, в которых выполняются условия (1), называются стаци­онарными точками функции u = f(P). Таким образом, если Р₀ ‑ точка экстремума функции u = f(P), то либо Р₀ ‑ стационарная точка, либо в этой точке функция недифференцируема.

Достаточные условия экстремума. Пусть ‑ стационарная точка функции u = f(P), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P₀ и все ее вторые частные производные непрерывны в точке Р₀. Тогда:

1) если второй дифференциал как функция , ..., имеет постоянный знак при всевозможных наборах значений не равных одновременно нулю, то функция u = f(P) имеет в точке Р₀ экстремум, а именно ‑ максимум при и минимум при ;

2) если является знакопеременной функцией т. е. принимает как положительные, так и отрицательные значения, то точка Р₀ не является точкой экстремума функции u = f(P);

3) если или причем существуют такие наборы значений не равных одновременно нулю, для которых значение второго дифференциала обращается в нуль, то функция u = f(P) в точке Р₀ может иметь экстремум, но может и не иметь его (в этом случае для выяснения вопроса требуется дополнительное исследование).

В частном случае функции двух переменных достаточные условия экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть P₀(x₀, y₀) стационарная точка функции z = f(x, у), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P₀ и все ее вторые частные производные непрерывны в точке Р₀. Введем обозначения:

, , и D = AC ‑ B².

1) если D > 0, то функция z = f(x, у) имеет в точке P₀(x₀, y₀) экстремум, а именно ‑ максимум при А < 0 (С < 0) и минимум при А > 0 (С > 0),

2) если D < 0, то экстремум в точке P₀(x₀, y₀) отсутствует;

3) если D = 0, то требуется дополнительное исследование.

Условный экстремум. Функция имеет условный максимум (условный минимум) в точке если существует такая окрестность точки Р₀, для всех точек Р которой удовлетворяющих уравнениям связи , выполняется неравенство f(P₀) > f(P) (соответственно f(P₀) < f(P)). Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа

(k = 1, 2,..., т) называются множителями Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума выражаются си­стемой n + m уравнений

(i = 1, 2,..., n) (k = 1, 2,..., т) (2)

из которой могут быть найдены неизвестные , где ‑ координаты точки, в которой возможен условный экстремум.

Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака 2-го дифференциала функции Лагранжа для каждой системы значений , полученной из (2) при условии, что dx₁, dx₂, ..., dx_n удовлетворяют уравнениям при

(k = 1, 2,..., т)

Задачи

7.229. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных точках:

а) z = sin x cos y в точке (π/4, π/4, 1/2);

б) z = e^x cos y в точке (1, π, 1/е)

7.233. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных точках:

а) x(y + z)(xy − 2) + 8 = 0 в точке (2, 1, 3);

б) 2^x/z + 2^y/z = 8 в точке (2, 2, 1);

в) z² + 4z + x² = 0 в точках пересечения с осью Оz.

7.232. Для поверхности z = 4x − xy + y² найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости 4x + y + 2z + 9 = 0.

7.234. Для поверхности x² − z² − 2х +6y = 4 найти уравнения нормали, параллельной прямой .

Найти экстремумы функций двух переменных:

7.187. z = x² + xy + y² ‑ 3x ‑ 6y. 7.189. z = 3х² ‑ х³ + 3y²  + 4y.

Найти условные экстремумы функций: 7.201. z = x² + y² ‑ xy + x + y ‑ 4 при х + у + 3 = 0. 7.205. z = 2х + y при х² + у² = 1.

7.214. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy² в области .

Домашнее задание 7.233 (б, в), 7.235, 7.187–7.195 (четн.), 7.202–7.204, 7.210–7.213

7.235. На поверхности x² + 2у² + 3z² + 2xy + 2хz + 4уz = 8 найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям.

7.188. z = xy²(1 ‑ x ‑ y) (х > 0, y > 0).

7.204. z = xy² при x + 2y = l.

7.211. Найти наибольшее значение функции z = x ‑ 2у + 5 областях:

а) , , ; б) , , .

7.212. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , ,

7.213. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy в области .

Ответы