КИ лекция 15 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекция 15. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Свойства мажорируемых рядов: непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование (без доказательства). Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов: непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

ОЛ-2, гл. 16 § 13-15; ОЛ-9, гл.2, § 2.5; ДЛ-1, гл.1, § 1,2,4.

Определение. Пусть функции f_n(z), , определены в области D. Выражение

, (1)

называется функциональным рядом.

Если для числовой ряд сходится, то говорим, что функциональный ряд (1) сходится в точке x₀. Если в каждой точке числовые ряды сходятся, то ряд (1) называется сходящимся в области D₁.

Определение. Совокупность тех значений x, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Критерий Коши. Для того чтобы функциональный ряд (1) был сходящимся в области D₁ необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 и любого существовало N = N(ε, x) такое, что

для всех n > N(ε, x) и .

Для определения области абсолютной сходимости функционального ряда (1) следует воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши. Именно, если или , то для определения области абсолютной сходимости ряда (1) следует решить функциональное неравенство l(x) < 1, а для определения области расходимости − функциональное неравенство l(x) > 1. При этом для изучения поведения ряда в граничных точках получаемой области, т. е. в точках, описываемых уравнением l(x) = 1, требуется дополнительное исследование.

Равномерная сходимость. Сходящийся в области D₁ функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся в этой области, если для любого ε > 0 найдется N = N(ε) такое, что для остатка ряда (1) при всех n > N(ε) и имеет место оценка .

Критерий Коши равномерной сходимости. Для того чтобы функциональный ряд (1) был равномерно сходящимся в области D₁, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало N = N(ε) такое, что для всех n > N(ε) и , выполнялись неравенства

,

Признак Вейерштрасса. Пусть функциональный ряд (1) сходится в области D₁, и пусть существует сходящийся знакоположительный числовой ряд такой, что для всех и для n > N₀ члены ряда (1) удовлетворяют условию . Тогда ряд (1) сходится абсолютно и равномерно в области D₁.

Ряд называется мажорирующим для ряда (1).

Пример 1. Этот ряд сходится при всех х.

Действительно, если х ≠ 0, то мы имеем геометрическую прогрессию со знаменателем . И в этом случае сумма s(x) ряда легко вычисляется: s(x) = 1 + x². Если же х = 0, то все члены ряда равны нулю, поэтому он, очевидно, сходится и s(0) = 0. Таким образом, ряд из непрерывных функций сходится к функции имеющей разрыв.

Пример 2. Ряд равномерно сходится на R и сходится условно на R.

Теорема. Пусть функциональный ряд (1) мажорируем на отрезке [a, b]. Пусть s(x) − сумма этого ряда, s_n(x) − сумма n первых членов этого ряда. Тогда для каждого как угодно малого числа ε > 0 найдется положительное число N такое, что при всех n ≥ N будет выполняться неравенство , каково бы ни было x из отрезка [a, b].

Теорема 1. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке [a, b], есть функция, непрерывная на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть имеем ряд (1) непрерывных функций мажорируемый на отрезке [а, b], и пусть s(x) есть сумма этого ряда. Тогда интеграл от s(x) в пределах от а до х, принадлежащих отрезку [а, b], равняется сумме таких же интегралов от членов данного ряда, т. е.

Теорема 3. Если ряд (1) составленный из функций, имеющих непрерывные производные на отрезке [а, b], сходится на этом отрезке к сумме s(х) и ряд составленный из производных его членов, мажорируем на том же отрезке, то сумма ряда производных равна производной от суммы первоначального ряда, т. е.

Справедлива и более сильная теорема, но сначала определение:

Определение. Функции f(z) называется аналитической в точке z₀, если существует такое R > 0, что в круге |z − z₀| < R она представима степенным рядом вида (3), т. е. существуют такие комплексные числа a, n = 1, 2, ..., что .

Теорема Вейерштрасса. Если члены функционального ряда (1), т. е. функции f_n(z), являются аналитическими в области D функциями и в любой замкнутой подобласти ряд (1) сходится равномерно, то:

а) сумма ряда (1), т. е. функция f(z), является аналитической в области D;

б) ряд (1) можно почленно дифференцировать любое число раз, т. е. справедливы равенства , , (2)

в) в любой замкнутой подобласти полученные в результате дифференцирования ряды (2) сходятся равномерно.

Область сходимости и свойства степенных рядов. Ряд

(3)

называется степенным по степеням (x − x₀). В частности, ряд

(4)

является степенным по степеням x. С помощью замены x − x₀ = X ряд (3) сводится к ряду (4).

Теорема Абеля. Если степенной ряд (4) сходится в точке x = x₁ ≠ 0, то он абсолютно сходится для всех x таких, что |x| < |x₁|, причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом круге |x| ≤ r < |x₁|.

Если же ряд (2) расходится в точке x = x₂, то он расходится и для всех x таких, что |x| > |x₂|.

Доказательство. 1) Так как по предположению числовой ряд

сходится, то его общий член при , а это значит, что существует такое положительное число М, что все члены ряда по абсолютной величине меньше М. Перепишем ряд (4) в виде

(5)

и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:

(6)

Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда

(7)

При |x| < |x₁| последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. Так как члены ряда (6) меньше соответствующих членов ряда (7), то ряд (6) тоже сходится, а это и, значит, что ряд (5) или (4) сходится абсолютно.

2) Теперь нетрудно доказать и вторую часть теоремы: пусть в некоторой точке x₂ ряд (4) расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке х, удовлетворяющей условию |x| > |x₂|. Действительно, если бы в какой-либо точке x, удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу только что доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться и в точке x₂, так как |x₂| < |x|. Но это противоречит условию, что в точке x₂ ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке x. Таким образом, теорема полностью доказана.

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является круг с центром в начале координат (с центром в точке x₀), радиус которого может быть определен применением либо признака Даламбера, либо признака Коши, т. е. из условий

или

Отсюда для вычисления радиуса R круга сходимости получаем соотношения

или

Теорема. Степенной ряд (4) мажорируем на любом отрезке [−ρ, ρ], целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Доказательство. По условию ρ < R, а потому числовой ряд (с положительными членами)

(8)

сходится. Но при |x| < ρ члены ряда (4) по абсолютной величине не больше соответствующих членов ряда (8). Следовательно, ряд (4) мажорируем на отрезке [−ρ, ρ].

Следствие. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция.

Действительно, на этом отрезке ряд мажорируем, а члены его являются непрерывными функциями от х. Следовательно, на основании теоремы 1 сумма этого ряда есть непрерывная функция.

Следствие. Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда, так как область интегрирования можно заключить в отрезок [−ρ, ρ], где ряд мажорируем (см. теорему 2 о возможности почленного интегрирования мажорируемого ряда).