КИ лекция 15 (Лекции по криволинейным интегралам), страница 2
Описание файла
Файл "КИ лекция 15" внутри архива находится в папке "Лекции по криволинейным интегралам". Документ из архива "Лекции по криволинейным интегралам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "кратные интегралы и ряды" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "КИ лекция 15"
Текст 2 страницы из документа "КИ лекция 15"
Теорема. Если степенной ряд
(9)
имеет интервал сходимости (−R, R), то ряд
(10)
полученный почленным дифференцированием ряда (9), имеет тот же интервал сходимости (−R, R), при этом 
, если |x| < R,
т. е. внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда (9) равна сумме ряда, полученного почленным дифференцированием ряда (9).
Доказательство. Докажем, что ряд (9) мажорируем на любом отрезке [−ρ, ρ] целиком лежащем внутри интервала сходимости.
Возьмем точку ξ такую, что ρ < ξ < R. В этой точке ряд (9) сходится, следовательно, 
, поэтому можно указать такое постоянное число М, что 
, (n = 1, 2, ...). Если |x| ≤ ρ, то
где 
. Таким образом, члены ряда (10) при |x| ≤ ρ по абсолютной величине меньше членов числового положительного ряда с постоянными членами
Но последний ряд сходится, в чем можно убедиться, применяя признак Даламбера. Следовательно, ряд (10) мажорируем на отрезке [−ρ, ρ], и на основании теоремы 3 его сумма есть производная от суммы данного ряда на отрезке [−ρ, ρ], т. е.
Так как всякую внутреннюю точку интервала (−R, R) можно заключить в некоторый отрезок [−ρ, ρ], то отсюда следует, что ряд (2) сходится в любой внутренней точке интервала (−R, R).
Докажем, что вне интервала (−R, R) ряд (10) расходится. Допустим, что ряд (10) сходится при х1 > R. Интегрируя его почленно в интервале (0, х2), где R < x2 < x1, мы получили бы, что ряд (9) сходится в точке х2 а это противоречит условиям теоремы. Таким образом, интервал (−R, R) есть интервал сходимости ряда (2). Теорема полностью доказана.
Ряд (10) снова можно почленно дифференцировать и продолжать так сколь угодно раз. Таким образом, получаем вывод:
Теорема. Если степенной ряд сходится в интервале (−R, R), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, получающегося в результате почленного дифференцирования данного ряда соответствующее число раз; при этом интервал сходимости каждого ряда, получившегося в результате дифференцирования, есть тот же интервал (−R, R).
