КИ лекция 2 (1077067)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 2. Численные методы. Тема 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Прямой ход метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Тема 2. Метод наименьших квадратов в классе полиномиальных функций. Приближение функций методом наименьших квадратов в среде MATLAB (MathCAD, Математика).

ОЛ-6, МП-13, ЭР-4

Конспект составлен по материалам методического пособия А.А. Федотов, В.П. Храпов "Численные методы, лекции 1 и 2".

Из курса аналитической геометрии известны следующие методы решения СЛАУ

1) метод Крамера

2) матричный метод

3) метод Гаусса.

Тема 1. Метод Гаусса.

Рассмотрим СЛАУ, записанную в виде,

,

где

,

− известные матрица коэффициентов системы и столбец свободных членов. Требуется отыскать вектор столбец .

Вообще говоря, такая система может иметь бесконечно много решений, единственное решение и не иметь решений вообще. Будем пока считать, что det A ≠ 0 (тогда решение единственно).

Отступление. В среде MATLAB такую систему можно решить одной командой (только заранее нужно определить значения переменных A и b):

x = A^(-1)*b

или

x = A\b

Далее цитата из методички

Другие методы решения СЛАУ:

прямые (например, метод прогонки, метод квадратного корня)

итерационные (например, метод простой итерации, метод Зейделя)

Подробности см.: Самарский А. А. Введение в численные методы //СПб.: Лань. – 2005.

Тема 2. Метод наименьших квадратов.

П остановка задачи. Пусть известны значения y_i в узлах x_i, i = 0,1, ..., n. См. рис.

Зависимость y = y(x) или заранее неизвестна, или значения y_i измерены не точно (со случайной ошибкой).

Отступление. В лабораторных задачах точки (x_i, y_i) заданы как значения известных функций в узлах лишь для облегчения задания таких наборов точек. К реальным задачам, в которых применяется МНК это отношения не имеет.

Возьмем функцию зависящую от параметров . Рассмотрим функцию S (далее цитата из методички):

В результате нашли функцию , которая максимально "хорошо" приближает нашу зависимость y = y(x) в данном классе функций. Например, если мы предположили, что y зависит от x линейно, то (где коэффициенты a₀ и a₁ найдены описанным выше способом) будет задавать прямую, которая максимально "близко" лежит к искомой прямой. Дальше, можно использовать функцию для "предсказания" значений y при других значениях x.

Другие методы интерполирования функций (например):

интерполяционный многочлен Лагранжа

интерполирование сплайнами

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций