II.3 Метод Монте-Карло пробной частицы для свободномолекулярного режима (Нестреров С.Б., Васильев Ю.К., Андросов А.В. Методы расчета вакуумных систем), страница 4

Рис.II.3.3. Построение полярной диаграммы

II.3.4. Нахождение пространственного распределения частиц

Пространственное распределение можно находить в определенном сечении, например в выходном сечении трубопровода. Тогда координаты частиц фиксируются при достижении ими поверхности выходного сечения. А можно искать распределение частиц через некоторое время после старта. Тогда нужно задать время, через которое частицы будут останавливаться, и будет происходить фиксация их положения.

Результат нахождения пространственного распределения можно условно разбить на две части: 1) нахождение всех координат частицы и дальнейшее построение точечной диаграммы, где каждая точка определяет позицию одной частицы; 2) нахождение распределения частиц вдоль какой-то координаты, и построение графика, каждая точка которого определяет относительное количество частиц в каком-то малом отрезке заданной координаты.

В первом случае происходит просто фиксирование координат частицы в трех- или двумерном массиве, в зависимости от решаемой задачи. Таким образом, получается массив с размером, который определяется количеством зафиксированных частиц, содержащий значения координат.

Во втором случае необходимо накопление количества частиц, координаты которых лежат в определенных пределах. Наиболее часто ищутся распределения частиц вдоль радиуса или продольной координаты. Например, для определения распределения частиц в выходном сечении трубопровода вдоль радиуса нужно разбить радиус трубопровода на некоторое количество частей (PartsNumber). При этом само выходное сечение трубопровода разбивается на PartsNumber колец или PartsNumber шаровых слоев для трехмерного случая. И далее анализировать координаты каждой частицы с целью поиска ее радиуса-вектора и соответственно промежутка радиуса трубопровода, в который он попадает:

ParticleR:=Sqrt(CurrentX*CurrentX+CurrentY*CurrentY);

Здесь ParticleR – радиус-вектор частицы; CurrentX и CurrentY – координаты частицы. Для трехмерного случая внутрь функции квадратного корня вносится еще квадрат координаты Z:

ParticleR:=Sqrt(CurrentX*CurrentX+CurrentY*CurrentY+
CurrentZ*CurrentZ).

После определения радиуса-вектора частицы находим номер промежутка в радиусе трубопровода, куда попала частица. Другими словами, находим номер кольца, в которое попала частица:

PartIndex:=Trunc(ParticleR*PartsNumber/TubeR)+1;

Здесь PartIndex – номер промежутка в радиусе трубопровода (номер кольца); TubeR – радиус трубопровода.

Далее производим увеличение значения элемента массива, который характеризует число частиц, попавшее в данное кольцо:

ParticlesNumber[PartIndex]:= ParticlesNumber[PartIndex]+1;

Здесь ParticlesNumber – массив, содержащий количество частиц в разных кольцах выходного сечения в зависимости от радиуса (номера элемента).

Таким образом, в результате накопления получается массив, элементы которого содержат число частиц в кольцах определенного радиуса. Радиус определяется номером элемента: так радиус растет от 0 до TubeR, а номера элементов соответственно растут от 1 до PartsNumber.

Для определения концентрации частиц, т. е. числа частиц на единицу площади (объема для трехмерного случая) нужно значение каждого элемента массива разделить на площадь соответствующего кольца (объем шарового слоя в трехмерном случае). Как площадь кольца, так и объем шарового слоя определяется радиусом данного кольца или слоя и его толщиной. Так как толщина у всех колец (слоев) одинаковая, то для определения относительной концентрации можно использовать только радиус соответствующего кольца (слоя). Если ищется относительная концентрация частиц, то можно использовать не значение радиуса, а значение номера элемента массива. Необходимый пересчет производится следующим образом:

For i:=1 to PartsNumber do
ParticlesNumber[i]:= ParticlesNumber[i]/i.

II.3.5. Типы угловых распределений

Взаимодействие частицы с поверхностью происходит следующим образом. Столкнувшись с поверхностью, частица некоторое время находится на ней, и потом, вылетая, уже «забывает» свой маршрут, по которому она летела до столкновения. Поэтому типы используемых в моделировании угловых распределений не учитывают угол падения частицы на поверхность, как это происходит, например, в зеркальном распределении – «угол падения равен углу отражения».

Обычно при моделировании используются три основных типа угловых распределений: диффузное (косинусный закон), лепестковое и равномерное. Графическое изображение этих распределений показано на
рис. II.3.4. Здесь положение частицы показано звездочкой, а точечный график показывает вероятность вылета частицы в определенном направлении. Например, для диффузного распределения самое большое количество частиц летит в направлении, перпендикулярном поверхности – на рисунке показано штриховой линией. Как видно, эта линия между положением частицы и графиком, определяющим вероятность, самая длинная. Меньшая вероятность у частицы вылететь в направлении, показанном на рисунке пунктирной линией – она короче, чем штриховая. Таким же образом, вероятность вылета в определенном направлении находится и для других распределений. Однако стоит учесть, что на самом деле эти графики не плоские, а объемные, например, для диффузного распределения график представляет собой не окружность, а сферическую поверхность.

Рис. II.3.4. Диаграммы направлений частиц для разных угловых распределений

а – диффузное, б – равномерное, в и г – лепестковое

Направление вылета частицы с поверхности определяется двумя углами (см. рис. II.3.2). Первый – угол θ между траекторией полета и нормалью к касательной плоскости зависит от типа распределения (табл. II.3.1). Второй – угол ψ поворота направления вылета относительно поперечной вектору нормали оси обычно распределен равномерно в пределах .

В формулах, показанных в таблице, показатель n определяет тип лепесткового распределения – если n = 1, то лепестковое распределение вырождается в диффузное (рис. II.3.4.а), если 0 < n < 1, то диффузное распределение как бы «сплющивается» (рис. II.3.4.в), а если n > 1, то, наоборот, «вытягивается» (рис. II.3.4.г). При n = 0 лепестковое распределение вырождается в равномерное (рис. II.3.4.б).

Таким образом, чем ближе значение показателя n к 0, тем более «сплюснутый» характер имеет распределение, тем соответственно выше вероятность вылета частицы в направлении по касательной к поверхности и ниже в направлении, перпендикулярном поверхности. А чем больше значение показателя n, тем более вытянутым становится «язык», и соответственно выше вероятность вылета в направлении по нормали к поверхности и ниже по касательной.

Формулы углов, определяющих направление вылета частицы с поверхности и (ξ θ χ – случайные числа)

Таблица II.3.1

Т. е., изменяя в алгоритме уравнения нахождения углов, определяющих направление вылета, можно варьировать характер распределения. Причем надо отметить, что в реальном алгоритме могут использоваться сразу несколько разных типов распределений. Например, на разных поверхностях системы могут быть заданы разные типы угловых распределений.

II.3.6. Учет времени полета частицы

Расстояние, которое пролетает частица равно модулю полученного значения параметра t. Значение параметра t получается в тех единицах, в которых описывается геометрия системы. Таким образом, время полета частицы от точки до точки определяется как , где v – скорость частицы. Как правило, для расчетов достаточно задать одинаковую для всех частиц постоянную скорость. Если необходимо анализировать общее время полета частицы с начала старта, то соответствующие значения времени полета от точки до точки надо просуммировать.

Для некоторых задач может потребоваться зафиксировать координату частицы через некоторое время TimeH после старта. Для этого перед каждым суммированием нужно делать следующую проверку:

if ((Abs(PossibleTValue)+CurrentDistanceS)>=DistanceS)
\\ Время TimeH (расстояние
\\ DistanceS) наступает до того, как
then
\\ частица достигнет следующей
begin
\\ поверхности?
\\ Если «да», то три следующие строки определяют
\\координаты, в которых частица будет в момент
\\времени TimeH
StopXS:=CurrentX+LCos*(DistanceS-CurrentDistanceS)*(PossibleTValue/Abs(PossibleTValue));
StopYS:=CurrentY+MCos*(DistanceS-CurrentDistanceS)*(PossibleTValue/Abs(PossibleTValue));
StopZS:=CurrentZ+NCos*(DistanceS-CurrentDistanceS)*(PossibleTValue/Abs(PossibleTValue));
\\ Здесь нужно поместить действия с полученными координатами.
CurrentDistanceS:=0;
\\ Пройденное расстояние можно снова обнулить,
\\если нужно отсекать
end
\\ позицию частицы через определенное время
\\(как, например, при поиске давления).
else
begin
\\ Если «нет», то происходит добавление к общему
\\расстоянию (CurrentDistanceS) модуля текущего значения
\\параметра t (PossibleTValue), и вычисления продолжаются
CurrentDistanceS:=CurrentDistanceS+Abs(PossibleTValue);
end;

Здесь PossibleTValue – значение параметра t, соответствующее следующей точке; CurrentDistanceS – уже пройденное частицей расстояние с начала старта; DistanceS – расстояние, которое должна пролететь частица до наступления времени TimeH: DistanceS:=TimeH*v; StopXS, StopYS, StopZS – значения координат частицы в момент времени TimeH.

Нахождение координат, соответствующих времени TimeH делается уменьшением значения параметра t с сохранением его знака.

II.3.7. Учет скорости частицы

При расчетах молекулярных потоков бывает необходимо задавать скорость частицы. В подавляющем большинстве случаев достаточно задать общее для всех частиц постоянное значение. Обычно в качестве значения скорости частицы используется тепловая скорость молекулы:

.

Здесь T – температура газа в Кельвинах; k = 1,38·10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана; m – масса молекулы газа в кг.