II.3 Метод Монте-Карло пробной частицы для свободномолекулярного режима (Нестреров С.Б., Васильев Ю.К., Андросов А.В. Методы расчета вакуумных систем), страница 2

Угловое распределение частиц может быть не только диффузным. Однако, с точки зрения построения программы, при изменении типа углового распределения изменится только одна строка, в которой определяется угол θ (во фрагменте кода переменная T). Подробно о разных типах распределения см. параграф II.3.5.

Траектория полета молекулы представляет собой прямую линию, параметрическое уравнение которой представим в виде

(II.3.5)

где x , y , z – координаты точки вылета частицы; l, m, n – направляющие косинусы, определяющие направление полета; t – параметр; x, y, z – координаты возможной точки «посадки». Таким образом, выбор направления полета частицы сводится к определению значений направляющих косинусов, которые зависят, во-первых, от положения точки вылета в пространстве (необходимо учитывать тип поверхности вылета – плоскость, цилиндр, конус, сфера и углы наклона касательной плоскости по отношению к глобальным осям), а во-вторых, от описанных выше углов ψ и θ, которые определяют направление вылета с касательной плоскости.

Направляющие косинусы определяются по следующим соотношениям.

Формулы для нахождения направляющих косинусов при вылете с плоскости z=c:

(II.3.6)

где – углы, определяющие направление вылета
( – значение датчика случайных чисел).

Формулы для нахождения направляющих косинусов при старте с цилиндрической поверхности :

(II.3.7)

где – углы, определяющие направление вылета
( – значение датчика случайных чисел);

– угол наклона точки (x₀, y₀) в плоскости XOY.

Формулы для нахождения направляющих косинусов при старте с конической или сферической поверхности:

(II.3.8)

где – углы, определяющие направление вылета
( – значение датчика случайных чисел);

– угол наклона точки (x₀, y₀) в плоскости XOY;

– угол наклона точки (x₀, z₀) в плоскости XOZ или угол между осью OZ и образующей конуса.

Фрагмент кода на языке Паскаль (выполненный в среде Delphi 3), реализующий функцию нахождения направляющих косинусов в зависимости от типа поверхности (аргумент P: 1 – плоскость z = c, 2 – цилиндр, 3 – конус или сфера), углов определяющих направление вылета ψ и θ (вызов процедуры GetAngleDiff) и углов наклона точки вылета и (аргументы A и G соответственно), показан ниже:

procedure UpdateDirect(var P:Integer; A,G:Extended);
var
Psi,Tetta:Extended;
label UpdateDirect1;
begin
UpdateDirect1:
GetAngleDiff(Psi,Tetta); // отдельно вызывать не нужно
Case P of
1:
begin
NCos:=Cos(Tetta);

// Направляющие косинусы в зависимости от
LCos:=Sin(Tetta)*Cos(Psi); // типа поверхности P: 1-плоскость z=С 2-цилиндр x²+y²=r²
MCos:=Sin(Tetta)*Sin(Psi);

// 3-конус, сфера или плоскость Ax+By+Cz+D=0
end;
2:
begin
NCos:=Sin(Tetta)*Sin(Psi);
LCos:=Sin(Tetta)*Cos(Psi)*Cos(A)-Cos(Tetta)*Sin(A);
MCos:=Sin(Tetta)*Cos(Psi)*Sin(A)+Cos(Tetta)*Cos(A);
end;
3:
begin
NCos:=Cos(Tetta)*Sin(G)-Sin(Tetta)*Cos(Psi)*Cos(G);
LCos:=Sin(Tetta)*Sin(Psi)*Sin(A)-Sin(Tetta)*Cos(Psi)*Sin(G)*Cos(A)-Cos(Tetta)*Cos(G)*Cos(A);
MCos:=Sin(Tetta)*Sin(Psi)*Cos(A)+Sin(Tetta)*Cos(Psi)*Sin(G)*Sin(A)+Cos(Tetta)*Cos(G)*Sin(A);
end;
end;
if ((NCos=0) or (LCos=0) or (MCos=0)) then goto UpdateDirect1;
end;

Значения аргументов A и G данной функции можно задавать вручную или при помощи функции. Эта функция должна определять значения этих углов в зависимости от текущих координат частицы и от рода поверхности, на которой эта частица в данный момент находится.

1. Нахождение точки столкновения частицы со стенкой

   1. Формирование массива параметров t

После того как найдены направляющие косинусы, необходимо найти точки пересечения траектории полета (прямой) с поверхностями системы. Запишем уравнение траектории полета:

В данный момент известными величинами являются координаты точки вылета (x₀, y₀, z₀) и значения направляющих косинусов l, m, n. Для того, чтобы найти точки пересечения этой прямой с поверхностями структуры нужно решить K систем уравнений вида:

(II.3.9)

где i – номер поверхности структуры, причем 1<i<K.

Решениями этих систем будет массив параметров t. Формулы для нахождения значения параметра t при пересечении разных типов поверхностей показаны ниже.

Формула для нахождения параметра t при пересечении плоскости:

, (II.3.10)

где a, b, c, d – члены уравнения плоскости вида ax + by + cz + d = 0;
x₀, y₀, z₀ – координаты точки вылета; l, m, n – направляющие косинусы траектории полета.

Формула для нахождения параметра t при пересечении цилиндра имеет следующий вид:

, (II.3.11)

где – радиус цилиндрической поверхности; x₀, y₀, z₀ – координаты точки вылета; l, m, n – направляющие косинусы траектории полета.

Формула для нахождения параметра t при пересечении сферы
:

,(II.3.12)

где – радиус сферы; – координаты центра сферы;
x₀, y₀, z₀ – координаты точки вылета; l, m, n – направляющие косинусы траектории полета.

Формула для нахождения параметра t при пересечении конуса
(z-c)² = ctg²(x²+y²):

(II.3.13)

где c – координата z вершины конуса; γ – угол между образующей конуса и осью OZ; x₀, y₀, z₀ – координаты точки вылета; l, m, n – направляющие косинусы траектории полета.

Причем для вычисления параметров t пересечения траектории полета со всеми поверхностями используются одни и те же значения как направляющих косинусов, так и координат точки вылета, т. е. имея значения (x₀, y₀, z₀) и l, m, n ищем значения t для всех поверхностей системы. Далее показаны фрагменты кода, реализующие вышеописанные функции нахождения t для различных типов поверхностей:

//Нахождение значения параметра t при пересечении любой
//плоскости, заданной уравнением Ax+By+Cz+D=0
//Аргументы: A, B, C, D – соответствующие члены уравнения //плоскости; X, Y, Z – координаты точки вылета
//(x₀, y₀, z₀); L, M, N – направляющие косинусы l, m, n.
function GetAnyLinearT(var A,B,C,D,X,Y,Z,L,M,N:Extended): Extended;
begin
if ((A*L+B*M+C*N)=0) then GetAnyLinearT:=0 else GetAnyLinearT:=-(A*X+B*Y+C*Z+D)/(A*L+B*M+C*N);
end;
//Нахождение значения параметра t при пересечении
//плоскости, заданной z=C
//Аргументы: C – соответствующий член уравнения
//плоскости; Z – координата точки вылета z₀;
//N – направляющий косинус n.
function GetLinearT(var C,Z,N:Extended): Extended;
begin
if (N=0) then GetLinearT:=0 else GetLinearT:=(C-Z)/N;
end;

//Нахождение значения первого параметра t при пересечении
//цилиндра, заданного уравнением x²+y² =r²
//Аргументы: X, Y – координаты точки вылета x₀, y₀; L, M – направляющие косинусы l, m;
//R – радиус цилиндра r.
function GetCylinderTP(var X,Y,L,M,R:Extended): Extended;
begin
if ((((X*L+Y*M)*(X*L+Y*M)-(L*L+M*M)*(X*X+Y*Y-R*R))<0) or ((L*L+M*M)=0))
then GetCylinderTP:=0
else GetCylinderTP:=(-(X*L+Y*M)+Sqrt(((X*L+Y*M)*(X*L+Y*M)-(L*L+M*M)*(X*X+Y*Y-R*R))))/(L*L+M*M);
end;

//Нахождение значения второго параметра t при пересечении
//цилиндра, заданного уравнением x²+y² =r²
//Аргументы: X, Y – координаты точки вылета x₀, y₀; L, M – //направляющие косинусы l, m; R – радиус цилиндра r.
function GetCylinderTM(var X,Y,L,M,R:Extended): Extended;
begin
if ((((X*L+Y*M)*(X*L+Y*M)-(L*L+M*M)*(X*X+Y*Y-R*R))<0) or ((L*L+M*M)=0))
then GetCylinderTM:=0
else GetCylinderTM:=(-(X*L+Y*M)-Sqrt(((X*L+Y*M)*(X*L+Y*M)-(L*L+M*M)*(X*X+Y*Y-R*R))))/(L*L+M*M);
end;

//Нахождение значения первого параметра t при пересечении
//сферы, заданной уравнением (x-x_c)²+(y-y_c)²+(z-z_c)²=r²
//Аргументы: X, Y, Z– координаты точки вылета
//(x₀, y₀, z₀);
//L, M, N – направляющие косинусы l, m, n;
//XC, YC, ZC – координаты центра сферы (x_с, y_с, z_с); R – //радиус сферы r.
function GetSphereTP(var X,Y,Z,L,M,N,R,XC,YC,ZC:Extended): Extended;
begin
if ((((X-XC)*L+(Y-YC)*M+N*(Z-ZC))*((X-XC)*L+(Y-YC)*M+N*(Z-ZC))-((X-XC)*(X-XC)+(Y-YC)*(Y-YC)+(Z-ZC)*(Z-ZC)-R*R))<0)
then GetSphereTP:=0
else GetSphereTP:=-(L*(X-XC)+M*(Y-YC)+N*(Z-ZC))+Sqrt(((X-XC)*L+(Y-YC)*M+N*(Z-ZC))*((X-XC)*L+(Y-YC)*M+N*(Z-ZC))-((X-XC)*(X-XC)+(Y-YC)*(Y-YC)+(Z-ZC)*(Z-ZC)-R*R));
end;

//Нахождение значения второго параметра t при
//пересечении сферы, заданной уравнением
//(x-x_c)²+(y-y_c)²+(z-z_c)²=r²
//Аргументы: X, Y, Z– координаты точки вылета
//(x₀, y₀, z₀); //L, M, N – направляющие косинусы l, m, n;
//XC, YC, ZC – координаты центра сферы (x_с, y_с, z_с); R –
//радиус сферы r.
function GetSphereTM(var X,Y,Z,L,M,N,R,XC,YC,ZC:Extended): Extended;
begin
if ((((X-XC)*L+(Y-YC)*M+N*(Z-ZC))*((X-XC)*L+(Y-YC)*M+N*(Z-ZC))-((X-XC)*(X-XC)+(Y-YC)*(Y-YC)+(Z-ZC)*(Z-ZC)-R*R))<0)
then GetSphereTM:=0
else GetSphereTM:=-(L*(X-XC)+M*(Y-YC)+N*(Z-ZC))-Sqrt(((X-XC)*L+(Y-YC)*M+N*(Z-ZC))*((X-XC)*L+(Y-YC)*M+N*(Z-ZC))-((X-XC)*(X-XC)+(Y-YC)*(Y-YC)+(Z-ZC)*(Z-ZC)-R*R));
end;

//Нахождение значения первого параметра t при пересечении //конуса, заданного уравнением (z-c)²=ctg²(x²+y²)
//Аргументы: X, Y, Z– координаты точки вылета
//(x₀, y₀, z₀);
//L, M, N – направляющие косинусы l, m, n;
//C – соответствующий член уравнения конуса c; G – угол  //в уравнении конуса.
function GetConusTM(var X,Y,Z,L,M,N,C,G:Extended): Extended;
begin
if (((X*L+Y*M-Tan(G)*Tan(G)*N*(Z-C))*(X*L+Y*M-Tan(G)*Tan(G)*N*(Z-C))-(L*L+M*M-Tan(G)*Tan(G)*N*N)*(X*X+Y*Y-Tan(G)*Tan(G)*(Z-C)*(Z-C)))<0)
then GetConusTM:=0
else GetConusTM:=(-(X*L+Y*M-Tan(G)*Tan(G)*N*(Z-C))-sqrt(((X*L+Y*M-Tan(G)*Tan(G)*N*(Z-C))*(X*L+Y*M-Tan(G)*Tan(G)*N*(Z-C))-(L*L+M*M-Tan(G)*Tan(G)*N*N)*(X*X+Y*Y-Tan(G)*Tan(G)*(Z-C)*(Z-C)))))/(L*L+M*M-Tan(G)*Tan(G)*N*N);
end;